人教A版（2019）高中数学必修一讲义04不等式性质

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等式的性质与不等式的性质【引入】在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．本节，我们就将在梳理等式性质的基础上，学习掌握不等式的性质．一、 等式的性质对称性：如果 ，那么 ；传递性：如果 ，且 ，则 ；可加性：如果 ，则 ；可乘性：如果 ，则 ；可除性：如果 ， ，则 ．经典例题1. 已知，，，那么．2. 若 ，则 ．巩固练习3. 如果 ，则下列成立的等式是（ ）．A. B.C. D.4. 已知实数 、 、 满足 ，有下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 、 、 中只有两个数相等，则 ．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．二、 不等式的性质与应用1. 不等式的性质对称性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ；传递性：如果 ，且 ，则 ；可加性：如果 ，则 ；可加性的推论：如果 ，则 （移项法则）；如果 ，则 （“大加大大于小加小”）；可乘性：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 ；可乘性的推论：如果 ，那么 ，如果 ， 则 （”大正乘大正大于小正乘小正“）．2. 比较大小的常用方法比较两数大小常见的方法有：①作差比较法：确定它们的差与 的大小关系；②作商比较法：当两数同号时，比较它们的商与 的大小关系；③利用中间值：常见中间值有 和 ；④特殊值法；⑤学习了函数单调性之后，利用指对幂等函数的单调性．经典例题5. 若 ，则下列不等式总成立的是（ ）．A. B.C. D.6. 已知 ，若 ，则（ ）．A. B. C. D.7. 已知 ， ，则 、 的大小关系为（ ）．A. B. C. D. 无法确定8. 已知 ，比较 的大小关系为( )．A.B. C. D.9. 设 ， ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）．A. B.C. D.10. 比较下列两个数的大小：（ 1 ）（ 2 ）与与．．11. 已知 ， ， ， ， ， ，则（ ）．A. B. C. D.巩固练习12. 若 ， 都是正整数，则 成立的充要条件是( )A. B. ， 至少有一个为C. D. 且13. 设实数 ， ， 满足 ， ，则 ， ， 的大小关系是 ．14. 设 ， ，试比较 与 的大小．15. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是 ，16. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．A. B. C. D.17. 已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）．A. B. C. D. 不能确定18. 已知 ，则 的值（ ）．A. 大于 B. 小于 C. 不小于 D. 不大于19. 已知实数 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）．A. B. C. D.20. 甲乙两位同学同时从实验室回教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度相同，跑步速度也相等，则（ ）．A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 不能确定谁先到3. 不等关系的证明（拓展）（一）综合法从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．（二）反证法首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．（三）分析法分析法中，最重要的推理形式是”要证 ，只需证明 "，这可以表示为 ，其中 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．经典例题21. 已知 ， 为正实数，试证明 ．巩固练习22. 已知 ， ， 为正实数，且，求证：．23. 证明不等式： ．导图总结你学会了吗，快来用思维导图总结本节课所学吧！出门测24. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）．A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则25. 如果 且 ，那么以下不等式正确的个数是（ ）．① ．② ．③ ．④ ．A. B. C. D.26. 若 ，则下列不等式成立的是（ ）．A. B.C. D.27. 已知（ 1 ），比较下列各题中两个代数式值的大小：与 .（ 2 ） 与 ．28. 若 ， ，则 、 的大小关系是（ ）．A. B.C. D. 由 的取值确定6