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    12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)
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    人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质练习

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    这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质练习,文件包含123角平分线的性质讲+练8大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、123角平分线的性质讲+练8大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共52页, 欢迎下载使用。


    一、单选题
    1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D;若DC=3,AB=8则△ABD的面积是( )
    A.8B.12C.16D.24
    2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=4,则PQ的长不可能是( )
    A.3.5B.4C.4.5D.5
    3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=40°,则∠BOC=( )
    A.110°B.120°C.130°D.140°
    4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
    A.有且只有1个
    B.有且只有2个
    C.组成∠E的平分线
    D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
    5.如图,在 Rt△ACB 中, ∠ACB=90° , BC=12 , BD=2CD , AD 平分 ∠BAC ,则点 D 到 AB 的距离等于( )
    A.3B.4C.5D.9
    二、填空题
    6.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,AF⊥BC于点F,BE、AF交于点P,若AB=9,PF=3,则△ABP的面积是 .
    7.如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=18°,则∠AOB的度数为 .
    8.如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90° , AC=6 , BC=8 , AB=10 , AD 是 ∠BAC 的平分线.若 P , Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最小值是 .
    9.如图,OP平分∠AOB,PM⊥OA于M,点D在OB上,DH⊥OP于H.若OD=4,OP=7,PM=3,则DH的长为 .
    三、作图题
    10.如图,电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置?请用尺规作图标出它的位置.
    四、解答题
    11.如图,已知 AD⊥BC 于点 D , E 是延长线 BA 上一点,且 EC⊥BC 于点 C ,若 ∠ACE=∠E .求证: AD 平分 ∠BAC .
    12.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.
    13.如图,点P是∠AOB的角平分线OC上一点,PE⊥OA,OE=12cm,点G是线段OP的中点,连接EG,点F是射线OB上的一个动点,若PF的最小值为4cm,求△PGE的面积.
    14.如图,直线AB∥CD,点E在CD上,点O、点F在AB上,连接OE,过点F作FH⊥OE于点H.
    (1)尺规作图:作∠EOF的角平分线OG交CD于点G;(不写作法,保留作图痕迹,并标明字母)
    (2)在(1)的条件下,已知∠OFH=20°,求∠OGD的度数.
    15.如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
    (1)求证:AE=CD;
    (2)求证:AE⊥CD;
    (3)连接BM,有以下两个结论:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD,其中正确的一个是 (请写序号),并给出证明过程.
    角的平分线的性质
    角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等。
    注意:用符号语言表示角的平分线的性质定理:
    若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.
    角的平分线的尺规作图
    角平分线的尺规作图
    (1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.
    (2)分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
    (3)画射线OC.
    射线OC即为所求.
    题型1:作已知角的平分线
    1.尺规作图:已知: ∠CBA ,求作 ∠CAB 的平分线.
    【变式1-1】如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等。(不写作法,保留作图痕迹)
    【变式1-2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
    (1)作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
    (2)在(1)的条件下,若∠BAC=28°,求∠ADB的度数.
    题型2:角平分线的性质的应用-证明线段
    2.如图,已知OE平分∠AOB,BC⊥OA于点C,AD⊥OB于点D,求证:EA=EB.
    【变式2-1】如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,AB = AD,BC = CD,CE⊥AD于E,CF⊥AF于F.求证:CE = CF.
    【变式2-2】已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.
    题型3:角平分线的性质的应用-和差关系
    3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=∠BAD,DE⊥AB于E,点F在边AC上,连接DF.
    (1)求证:AC=AE;
    (2)若AC=8,AB=10,求DE的长;
    (3)若CF=BE,直接写出线段AB,AF,EB的数量关系.
    【变式3-1】如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D,DF⊥AB于点F,且AB>AC,试探究BF、AC、AF之间的数量关系,并说明理由.
    【变式3-2】
    题型4:角平分线的性质的应用-面积相关
    4.如图,BD是ΔABC的角平分线,DE⊥AB垂足为E,ΔABC的面积为70,AB=16,BC=12,求DE的长.
    【变式4-1】如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,如图DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,求△EDF的面积
    【变式4-2】如图,在 ΔABC 中, AD 为 ∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF⊥AC 于点F,若 ΔABC 的面积为 21cm2 , AB=8cm , AC=6cm ,求 DE 的值.
    角的平分线的判定
    角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
    注意:用符号语言表示角的平分线的判定:
    若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB
    题型5:角平分线的判定
    5.如图, ∠B=∠C=90° ,M是BC的中点,DM平分 ∠ADC ,求证:AM平分 ∠DAB .
    【变式5-1】如图所示,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
    【变式5-2】如图所示,AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.
    题型7:角平分线的性质与判定综合
    6.如图,已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.
    求证:
    (1)AB=AD;
    (2)CD平分∠ACE.
    【变式6-1】如图,已知 △ABC 中BC边的垂直平分线DE与 ∠BAC 的平分线交于点E, EF⊥AB 交AB的延长线于点F, BG⊥AC 交AC于点G.求证.
    (1)BF=CG .
    (2)若 AB=6 , AC=8 ,求AF的长度.
    【变式6-2】如图,在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形,其中∠DAB=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE.连接DC、BE交于F点.
    (1)求证:△DAC≌△BAE.
    (2)直线DC、BE是否互相垂直,请说明理由.
    (3)求证:AF平分∠DFE.
    【变式6-3】如图1,射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P,已知∠A=78°,∠BPC=39°,BC=7,AB=4.
    (1)求证:BD平分∠ABC;
    (2)如图2,AC的垂直平分线交BD于点Q,交AC于点G,QM⊥BC于点M,求MC的长度.
    题型7:角平分线的实际应用
    7.某地有两条相交叉的公路, 计划修建一个饭馆:希望饭馆点P既在MN这条公路上,又到直线OA、OB的距离相等.你能确定饭馆应该建在什么位置吗?(保留作图痕迹)
    【变式7-1】如图:某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园,要使公园到三条公路的距离相等,应在何处修建?(使用尺规作图,保留作图痕迹)并证明你的观点.
    【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形(Rt △ ABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界,在其两侧分别种上了不同的花草,在 △ ABD区域内种植了月季花,在△ACD区域内种植了牡丹花,并量得两直角边AB=10m,AC=6m,分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积.
    题型8:三角形中的角平分线
    8.已知 △ ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.求证:OD=OE=OF.
    【变式8-1】如图,△ABC中,AB=6,AC=7,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长.
    【变式8-2】如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于?
    【变式8-3】如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.
    (1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
    (2)如图②,连接OA,求证:OA平分∠BAC.
    (3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证OC⊥PC.
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