36 轻松搞定线面角问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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重难点专题13 轻松搞定线面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：等体积法【方法技巧与总结】线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围： = 3 \* GB3 ③求法：常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2024·高一·湖南湘西·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.  (1)设、分别为，的中点，求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点．(1)求证：//平面；(2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值．【变式1-1】（2024·高二·云南玉溪·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，M为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式1-2】（2024·高二·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．(1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；(2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．【变式1-3】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．设中点为，中点为．(1)求证：平面；(2)若，求直线与面所成的角的正弦值．题型二：等体积法【典例2-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【典例2-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）在四棱锥中，平面PAB⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，，底面ABCD为矩形，，点E是AB的中点．(1)证明：EC⊥平面PED；(2)若F是CD的中点，求直线PF与平面PBC所成角的大小．【变式2-1】（2024·高一·江西·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的动点，在上，且满足.现延长至点，使得.  (1)若二面角的平面角为，求的长；(2)若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【变式2-2】（2024·高二·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求证：；(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．【过关测试】1．（2024·高一·全国·专题练习）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．2．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．  (1)证明：是直角三角形；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．  (1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．4．（2024·高一·云南怒江·阶段练习）如图，在正三棱柱中，平面，分别为的中点，.  (1)求证：∥平面；(2)设的中点为，连接，，求证：平面；(3)求与平面夹角的余弦值．5．（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.  (1)证明：平面；(2)若为等边三角形，求与平面所成角的大小.6．（2024·高二·湖南岳阳·期中）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．  (1)求证：平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值7．（2024·高一·贵州黔东南·阶段练习）如图，在正方体中，．  (1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线和平面所成的角．8．（2024·高一·青海海东·阶段练习）如图，在底面为矩形的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD．  (1)证明：平面平面PBC．(2)若AB＝3，AD＝5，E为侧棱PB上一点，且BE＝2PE，若CE与底面ABCD所成的角大于60°，求PA的取值范围．9．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，且平面，，E为BC的中点.  (1)求三棱锥的体积；(2)探究在PA上是否存在点G，使得平面PCD，并说明理由.(3)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值10．（2024·高一·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，，，，E是PA的中点，平面平面ABCD．  (1)证明：；(2)证明：平面平面PAC；(3)求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值．重难点专题13 轻松搞定线面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：等体积法【方法技巧与总结】线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围： = 3 \* GB3 ③求法：常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2024·高一·湖南湘西·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.  (1)设、分别为，的中点，求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）连接，设，因为底面为平行四边形，所以，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（2）取棱的中点，连接，依题意，因为为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又因为，，平面，所以平面.（3）连接，由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，因为平面，平面，所以，由勾股定理得，在中，，所以直线与平面所成角的余弦值为.【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点．(1)求证：//平面；(2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）取中点为，连接，如下所示：在△中，因为分别为的中点，故//；又，故//，则四边形为平行四边形，//；又面面，故//面.（2）过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示：由（1）可知，//，故平面也即平面；因为//，则；又面面，故；又面，故面；又面，则，又；面，故面，则即为与平面的夹角；在△中，因为，则，；在△中，因为，，则；又，，即直线与平面所成角的正弦值为.【变式1-1】（2024·高二·云南玉溪·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，M为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）取AB中点D，连接，MD，∵M是BC中点，∴，且，又∵，且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又由（1）知，∴就是直线与平面成的角.在中，，，∴，∴.【变式1-2】（2024·高二·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．(1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；(2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．【解析】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，，则侧面积，解得，于是圆锥的高，圆锥的体积．（2）中，，，则点是线段中点，取中点，连接，，则，又，则，由直线平面，平面，得，结合，且，平面，所以平面，因此直线是在平面内的射影，从而是直线与平面所成的角，∵，∴，又，得，即直线与平面所成的角的正切值为【变式1-3】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．设中点为，中点为．(1)求证：平面；(2)若，求直线与面所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：取中点，连接，，则，且，又因为且为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）过点做垂直于，交于点，连接，因为底面，且底面，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以为与平面所成的角，令，则，，在直角中，，在中，可得，所以，在直角中，可得,所以在直角中，可得，直线与面所成的角的正弦值为.题型二：等体积法【典例2-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接交于，如图，由四边形为正方形，得，又平面，平面，则，而，即B，D，E，F四点共面，又，且平面，所以平面.（2）因为，则与平面所成角等于与平面所成角，显然，，，在中，由余弦定理得，，因此，设点到平面的距离为，由平面，知，而，，则平面，又，平面，平面，则平面，即有点F到平面的距离为AB长2，又，由，得，即，解得，所以与平面所成角的正弦值为．【典例2-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）在四棱锥中，平面PAB⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，，底面ABCD为矩形，，点E是AB的中点．(1)证明：EC⊥平面PED；(2)若F是CD的中点，求直线PF与平面PBC所成角的大小．【解析】（1）平面平面，平面平面，因为，点E是AB的中点，所以，又平面PAB，所以平面，平面，所以，底面为矩形，且，所以，所以，则，，且平面，所以平面；（2）由（1）的证明可知，，则平面，平面，所以，因为为等腰直角三角形，所以，则,因为是的中点，所以，且，设点到平面的距离为，因为，即，得，,设直线PF与平面PBC所成角为，所以,又则，所以直线PF与平面PBC所成角的大小为.【变式2-1】（2024·高一·江西·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的动点，在上，且满足.现延长至点，使得.  (1)若二面角的平面角为，求的长；(2)若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）据题意延长至点，使得，连接，取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，由得，所以为等边三角形，所以，易知，所以，所以，所以为二面角的平面角，即，又，则，解得；（2）因为为的中点，所以，在直三棱柱中，，，因为三棱锥的体积为，所以，解得，所以为的中点，所以，在中，，所以，设到平面的距离为，在中，，所以，所以，因为，所以，解得，在中，由余弦定理得，所以.设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.【变式2-2】（2024·高二·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求证：；(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．【解析】（1）在梯形ABCD中，由，，，得，所以，所以，又因为平面ABCD，且平面ABCD，则，因为平面，平面PAC，且，所以平面PAC．又平面PAC，所以．（2）由（1）知，所以，解得，又因为平面，平面ABCD，则，因为，所以，因为平面，平面PAB，且，所以平面PAB，故PB是PC在平面PAB上的投影，所以即为直线PC与平面PAB所成的角的平面角，在中，解得，所以，所以直线PC与平面PAB所成角正切值为.【过关测试】1．（2024·高一·全国·专题练习）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．【解析】（1）过点在平面内作，垂足为点，，，，则平面，平面，，，，平面，平面，则，故当平面时，四棱锥的体积取最大值，，，，平面，因为，，为的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，因此，平面.（2）因为平面，与平面所成角为，因为平面，，所以，，解得，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，解得或.因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.2．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．  (1)证明：是直角三角形；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）证明：∵是⊙O的直径，是圆周上不同于的一动点，∴，∵平面，平面，∴．又，平面，∴平面，又平面，∴，∴是直角三角形．（2）过作于，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∴是直线与平面所成的角，在中，，在中，，故直线与平面所成角的正弦值为．3．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．  (1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）作，垂足为，连接，由侧面底面，侧面,且侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，且平面，所以平面，又因为平面，所以,即.（2）证明：由（1）知，依题，故，由，，，又，作，垂足为，侧面底面，平面,且侧面底面，得平面，连接,所以为直线与平面所成的角，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．4．（2024·高一·云南怒江·阶段练习）如图，在正三棱柱中，平面，分别为的中点，.  (1)求证：∥平面；(2)设的中点为，连接，，求证：平面；(3)求与平面夹角的余弦值．【解析】（1）证明：因为分别为的中点，所以为的中位线，即∥，因为平面，平面，所以∥平面,（2）证明：因为的中点为，，所以，因为正三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，（3）因为平面，所以为在平面的射影，因为∥，所以即为所求角，因为，所以，，所以5．（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.  (1)证明：平面；(2)若为等边三角形，求与平面所成角的大小.【解析】（1）连接，设，由已知，点为的中点，连接，因为为的中点，所以且，又为的中点，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在中，由为的中点，为等边三角形，得，则，，又，，所以，即，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又因为，平面，，所以平面所以为直线与平面所成角，所以，所以与平面所成角的大小为.6．（2024·高二·湖南岳阳·期中）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．  (1)求证：平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，又∵平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，又∵，BC，平面BCF，∴平面平面ADE，而平面BCF，∴平面ADE；（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE，∴∠ADE即为二面角A－CD－F的平面角，∴∠ADE＝60°，又∵AD∩DE＝D，平面ADE，平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又∵平面CDEF，∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，连接CO，∵平面CDEF⊥平面ADE，平面CDEF∩平面ADE＝DE，平面ADE，则AO⊥平面CDEF，所以直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，可知，，所以．因此，直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为．7．（2024·高一·贵州黔东南·阶段练习）如图，在正方体中，．  (1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线和平面所成的角．【解析】（1）因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面.（2）因为在正方体中，易知平面，又平面，所以，又因为、是正方形的对角形，因此，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）设与的交点为，连接，如图，因为平面，所以是直线和平面所成的角的平面角,因为平面，所以，即，因为正方体棱长为1，可得，所以，则，因此直线和平面所成的角为.8．（2024·高一·青海海东·阶段练习）如图，在底面为矩形的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD．  (1)证明：平面平面PBC．(2)若AB＝3，AD＝5，E为侧棱PB上一点，且BE＝2PE，若CE与底面ABCD所成的角大于60°，求PA的取值范围．【解析】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得．因为底面ABCD，底面ABCD所以．因为，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PBC，所以平面平面PBC．（2）如图所示：过E作，EF交AB于F，连接CF，因为BE＝2PE，所以BF＝2FA．因为底面ABCD，所以底面ABCD，所以∠ECF为CE与底面ABCD所成的角，所以∠ECF＞60°，则．因为，所以，则，所以，即PA的取值范围为．9．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，且平面，，E为BC的中点.  (1)求三棱锥的体积；(2)探究在PA上是否存在点G，使得平面PCD，并说明理由.(3)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值【解析】（1）由题意知为腰长为1的等腰直角三角形，，而是三棱锥的高，（2）在上存在中点，使得平面理由如下： 取的中点连，由于是的中点，，且，又因为为的中点，且四边形为矩形，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（3）平面，、平面，，四边形为矩形，为的中点，，，、平面，，平面，平面，平面 平面，平面 平面，过作，则平面为直线与平面所成角，，，，，直线与平面所成角的正弦值为10．（2024·高一·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，，，，E是PA的中点，平面平面ABCD．  (1)证明：；(2)证明：平面平面PAC；(3)求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，所以，，所以，即，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，又平面PAB，所以．（2）证明：由（1）知，，因为，，所以，即，又，AC、平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC．（3）由（2）知，平面平面PAC，所以直线CE在平面PBC中的射影为直线PC，故∠PCE即为直线CE与平面PBC所成的角，由（2）知，平面PAC，因为平面PAC，所以，所以，由（1）知，平面PAB，因为平面PAB，所以，所以，在△PCE中，由余弦定理知，，所以，故直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为．