专题5.7坐标系中的新定义问题大题专项提升训练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题5.7坐标系中的新定义问题大题专项提升训练（重难点培优）一．解答题（共22小题）1．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 　 　；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．2．（2021秋•丰县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知点A（2，﹣6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标；（2）已知点P的5级关联点为（9，﹣3），求点P坐标；（3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．3．（2021秋•锡山区期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．4．（2021秋•工业园区校级期中）定义：若实数x，y，x′，y′满足x＝kx′+3，y＝ky′+3（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）是点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（7，﹣5）是点（1，﹣2）的“4值关联点”．（1）判断在A（2，3），B（2，4）两点中，哪个是P（1，﹣1）的“k值关联点”；（2）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”求点F到原点O的距离的最小值．5．（2021秋•滨海县校级月考）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”．因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，＝3，得m＝6，n＝4，所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（5，3）是“开心点”．（1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．6．（2020春•崇川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，有点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0．（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为　 　；（2）若点P落在x轴上，求点P的坐标；（3）当a≤4＜b时，求m的最小整数值．7．（2021秋•常熟市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A1，求点A1的坐标．（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”M′位于y轴上．求点M′的坐标．8．（2022春•海安市校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，b+）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k系好友点”；例如：P（3，2）的“3系好友点”为P′（3+3×2，2+），即P′（9，3）．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P′的坐标为 　 　．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P′点，若在△OPP′中，PP′＝3OP，求k的值．（3）已知点A在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．9．（2022春•启东市期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是　 　；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．10．（2021秋•江阴市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连结AB．如果点P的横坐标比纵坐标大1，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点C（，）是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；（2）若点Q（m，n）是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．11．（2021秋•亭湖区校级月考）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．（1）点A和点B的系和点的坐标为 　 　（直接写出答案）；（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．12．（2021春•崇川区期末）【了解概念】在平面直角坐标系xOy中，若P（a，b），Q（c，d），式子|a﹣c|+|b﹣d|的值就叫做线段PQ的“勾股距”，记作dPQ＝|a﹣c|+|b﹣d|，同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．【理解运用】在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（4，2），C（m，n）．（1）线段OA的“勾股距”dOA＝　 　；（2）若点C在第三象限，且dOC＝2dAB，求dAC并判断△ABC是否为“等距三角形”；【拓展提升】（3）若点C在x轴上，△ABC是“等距三角形”，请直接写出m的取值范围．13．（2021秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．14．（2021秋•常熟市校级月考）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，根据上面材料完成下列各题：（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　．（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．15．（2021春•海安市校级月考）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　 　．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 　 　．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） 　 　；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝　 　．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝　 　．16．（2016秋•虎丘区校级期中）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．17．（2021春•海安市期中）在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为 　 　；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为 　 　；（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”关于y轴对称，则点A在 　 　；（5）若点A（x，y）的“m族衍生点”（m≠1）在第一、三象限的角平分线上，则点A在 　 　．（描述点A的位置）18．（2021秋•金安区校级期中）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（m，n+2）为“开心点”．例如点A（6，6）为“开心点”．因为当A（6，6）时，m＝6，n+2＝6，得m＝6，n＝4．所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（6，6）是“开心点．（1）判断点B（4，5）　 　（填“是”或“不是”）“开心点”；（2，若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．19．（2020春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．20．（2021春•石城县期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为　 　；（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．21．（2018春•香洲区期末）对于a、b定义两种新运算“*”和“⊕”：a*b＝a+kb，a⊕b＝ka+b（其中k为常数，且k≠0）．若平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P的坐标为（a*b，a⊕b）与之相对应，则称点P为点P的“k衍生点”例如：P（1，4）的“2衍生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）点P（﹣1，6）的“2衍生点”P′的坐标为　 　．（2）若点P的“3衍生点”P′的坐标为（5，7），求点P的坐标．22．（2020•开福区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为 　 　．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离”为3，写出满足条件的B点的坐标 　 　．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值 　 　．（3）已知C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与点D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标