苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试当堂检测题

这是一份苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试当堂检测题，共14页。试卷主要包含了在直角三角形ABC中，∠A等内容，欢迎下载使用。

满分120分


姓名：___________班级：___________学号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．以下列各组数据为边长，可以构成直角三角形的是（ ）


A．3，5，6B．2，3，4C．1.5，2，2.5D．6，7，9


2．在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（ ）


A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2


3．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）





A．9B．5C．53D．45


4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（ ）


A．3B．4C．5D．


5．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）


A．3B．4C．2或6D．2或4


6．如图，直线AB∥CD，等腰直角三角形的直角顶点E在AB上，若∠1+∠2＝90°，则图中与∠1互余的角的个数是（ ）





A．5B．6C．7D．8


7．如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（ ）





A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里


8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）





A．15B．18C．20D．22


9．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）





A．121B．144C．169D．196


10．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（ ）





A． B． C．h2＝ab D．h2＝a2+b2


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．△ABC的三边分别是6，8，10，则这个三角形的最大内角的度数是 °．


12．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．


13．如图，一架2.5m长的梯子斜靠在垂直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子的底端B向外移动 m．





14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于 ．





15．如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是 cm．





16．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA2020的长度为 ．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（7分）学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？





18．（7分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．





19．（7分）如图，△ABC≌△DBE，∠CBE＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BE2＝AC2．





20．（8分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高差”等于AB﹣CD，记为h（AB）．





（1）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝ ；


（2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求h（AB）．


21．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．


（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；


（2）求原来的路线BC的长．





22．（8分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．


（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；


（2）证明：DC⊥BE．





23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．





（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；


（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．


24．（11分）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．


（2）试用勾股定理解决以下问题：


如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．


（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．








参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、∵32+52≠62，∴不可以构成直角三角形；


B、∵22+32≠42，∴不可以构成直角三角形；


C、∵1.52+22＝2.52，∴可以构成直角三角形；


D、∵62+72≠92，∴不可以构成直角三角形．


故选：C．


2．解：∵在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，


∴∠A＝90°，


∴BC2＝AB2+AC2，


故选：D．


3．解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，


∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，


∴S1＝S2+S3．


∵S2＝7，S3＝2，


∴S1＝7+2＝9．


故选：A．


4．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，


∴斜边的长为：＝．


故选：D．


5．解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x，


当∠C为直角时，2x+mx＝4x，


解得，m＝2，


当∠B为直角时，2x+4x＝mx，


解得，m＝6，


故选：C．


6．解：∵△FEG是等腰直角三角形，


∴∠FEG＝90°，


∴∠1+∠3＝90°，


∵直线AB∥CD，


∴∠3＝∠7＝∠8，∠4＝∠2＝∠5＝∠6，


∵∠1+∠2＝90°，


∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8，


∴图中与∠1互余的角的个数是7个，


故选：C．





7．解：


∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向，


∴∠BOC＝90°，


两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，


根据勾股定理得：＝50（海里）．


故选：C．


8．解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，


∴A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3，


∴B′C′＝＝4，AC∥A′C′，


∴四边形ACC′A′是矩形，


∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝（3+4+3）×3＝15，


故选：A．


9．解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，


∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，


∴直角三角形斜边长＝13，


∴大正方形的边长是13，


∴大正方形的面积是13×13＝169．


故选：C．


10．解：设斜边为c，根据勾股定理得出c＝，


∵ab＝ch，


∴ab＝•h，即a2b2＝a2h2+b2h2，


∴＝+，


即．


故选：B．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：∵62+82＝102，


∴以6，8，10为边能组成直角三角形，


最大的角的度数是90°，


故答案为：90．


12．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，


∴AB2+AC2＝BC2＝100，


∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．


故答案是：200．


13．解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，AO＝2m，


∴OB＝m；


同理，Rt△OCD中，


∵CD＝2.5m，OC＝2﹣0.5＝1.5m，


∴OD＝m，


∴BD＝OD﹣OB＝2﹣1.5＝0.5（m）．


答：梯子底端B向外移了0.5米，


故答案为：0.5．


14．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，


∴AB＝＝＝13．


∵△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，


∴分两种情况：


①当AD＝AB时，


∵AC⊥BD，


∴DC＝BC＝5；


②当AD＝BD时，


设DC＝x，则AD＝BD＝5+x．


∵Rt△ADC中，∠ACD＝90°，


∴DC2+AC2＝AD2，即x2+122＝（5+x）2，


解得x＝．


综上所述，线段DC的长等于5或．


故答案为：5或．


15．解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，


此时AB＝（cm），


故h最短＝20﹣15＝5（cm）；


故答案为：5．





16．解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，


∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝，


∵△OA1A2为等腰直角三角形，


∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2，


∵△OA2A3为等腰直角三角形，


∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2，


∵△OA3A4为等腰直角三角形，


∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4，


∵△OA4A5为等腰直角三角形，


∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，


∵△OA5A6为等腰直角三角形，


∴A5A6＝OA5＝42，OA6＝OA5＝8．


∴OAn的长度为（）n．


当n＝2020时，OA2020＝（）2020＝21010


故答案为：21010．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，


在Rt△ABD与Rt△ACD中，


∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，


∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，


∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，


∴AD＝12（米），


∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．


答：学校修建这个花园需要投资5040元．





18．解：连接BD，


∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，


∴BD＝＝＝5（cm）


∴S△ABD＝AB•AD＝6（cm2）．


在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，


∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，


∴S△DBC＝BD•BC＝30（cm2）．


∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．


答：四边形ABCD的面积为24cm2．





19．证明：∵△ABC≌△DBE，


∴BE＝BC，AC＝ED；


连接EC．则△BCE为等边三角形，





∴BC＝CE，∠BCE＝60°，


∵∠DCB＝30°，


∴∠DCE＝90°，


在Rt△DCE中，


DC2+CE2＝DE2，


∴DC2+BE2＝AC2．


20．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，


∴BC＝2BD＝2×4＝8，


h（BC）＝BC﹣AD＝2，


（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，


∴AB＝，


h（AB）＝10﹣4.8＝5.2，


故答案为：（1）2．


21．解：（1）是，


理由：∵62+2.52＝6.52，


∴CD2+AD2＝AC2，


∴△ADC为直角三角形，


∴CD⊥AB，


∴CD是从村庄C到河边最近的路；


（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，


∵CD⊥AB，


∴62+（x﹣2.5）2＝x2，


解得：x＝8.45，


答：路线BC的长为8.45千米．


22．（1）△ABE≌△ACD．


证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，


∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．


∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．


即∠BAE＝∠CAD，


在△ABE与△ACD中，


，


∴△ABE≌△ACD；


（2）证明∵△ABE≌△ACD，


∴∠ACD＝∠ABE＝45°，


又∵∠ACB＝45°，


∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，


∴DC⊥BE．


23．解：（1）如图1，PA＝PB，


在Rt△ACB中，


设AP＝t，则PC＝8﹣t，


在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8﹣t）2+62＝t2，


解得，


即此时t的值为；


（2）分两种情况：


①点P在BC上时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，


则PC＝t﹣8，PB＝14﹣t，


∵AP平分∠BAC


且PC⊥AC


∴PE＝PC


在△ACP与△AEP中，，


∴△ACP≌△AEP（AAS），


∴AE＝AC＝8，


∴BE＝2，


在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2＝PB2


即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2


解得：；


②点P又回到A点时，


∵AC+BC+AB＝8+6+10＝24，


∴t＝24；


综上所述，点P在∠BAC的平分线上时，t的值为秒或24秒．








24．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，


也利用表示为ab+c2+ab，


∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，


即a2+b2＝c2；


（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，


∴斜边为5，


∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，


∴h＝，


故答案为；


（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，


∴边长为a﹣2b，


由此可画出的图形为：








题号
一
二
三
总分
得分