苏科版初中八年级数学上册专项素养综合练(二)全等三角形的常见模型课件

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全等三角形的常见模型专项素养综合全练(二)模型一　角平分线模型1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+EC.证明　在BC上截取BF=AB,连接DF, ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠FBD,∴△ABD≌△FBD(SAS),∴DF=DA=DE.∵∠ACB=∠ABC=40°,∴∠A=100°,∴∠DFC=180°-∠A=80°,∴∠FDC=60°,∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°,∴△DCE≌△DCF(SAS),∴CE=CF,∴BC=BF+FC=AB+EC.2.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD.求证:EF=BE+FD.(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD之间的数量关系,并证明.模型二　半角模型解析　(1)证明:如图1,延长EB到G,使BG=DF,连接AG.在△ABG与△ADF中, ,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD=∠EAF,∴∠GAE=∠EAF.易证△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF.∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD.(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.证明:如图2,延长CB至M,使BM=DF.∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠D.在△ABM与△ADF中, ∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠2=∠3.∵∠EAF= ∠BAD,∴∠2+∠4= ∠BAD=∠EAF.∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF.在△AME与△AFE中, ,∴△AME≌△AFE(SAS),∴EF=ME,∵ME=BE+BM,∴EF=BE+DF.3.如图,已知A,B,C三点在同一条直线上,∠ACD=∠BCE,AC=CD,BC=CE,AE,BD相交于F.求证:(1)AE=BD.(2)∠ACD=∠BFE.模型三　手拉手模型证明　(1)∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中, ,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD.(2)由(1)可知△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB.∴∠BFE=∠CAE+∠ABD=∠CDB+∠ABD=∠ACD.即∠ACD=∠BFE.4.点C为BD上一点,△ABC≌△CDE,AB=1,DE=2,∠B=110°.(1)求BD的长.(2)求∠ACE的度数.模型四　一线三等角模型解析　(1)∵△ABC≌△CDE,∴BC=DE,AB=CD.∵DE=2,AB=1,∴BC=2,CD=1,∴BD=BC+CD=2+1=3.(2)∵△ABC≌△CDE,∴∠A=∠DCE.∵∠B=110°,∴∠A+∠ACB=180°-110°=70°,∴∠DCE+∠ACB=70°,∴∠ACE=180°-70°=110°.5.如图,B、C、D三点在同一直线上,∠ABC=∠CDE=90°,且AC⊥EC,BC=DE.(1)求证:△ABC≌△CDE.(2)若∠BAC=28°,求∠CED的度数.解析　(1)证明:∵∠ABC=∠CDE=90°,且AC⊥EC,∴∠A+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90°,∴∠A=∠ECD.在△ABC与△CDE中, ,∴△ABC≌△CDE(AAS).(2)∵△ABC≌△CDE,∴∠ECD=∠A=28°,∴∠CED=62°.6.如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BCD=150°,CB=CD,M,N为AB、AD上的两个动点,且∠MCN=75°.求证:MN=BM+DN.模型五　对角互补模型 ∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CBE=∠CDN.在△CBE和△CDN中, ,证明　如图,延长AB至点E,使得BE=DN,连接CE.∴△CBE≌△CDN(SAS),∴∠BCE=∠DCN,CN=CE.∵∠BCD=150°,∠MCN=75°,∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°,∴∠MCN=∠MCE.在△NCM和△ECM中, ∴△NCM≌△ECM(SAS),∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.7.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°.求证:CE=2BD.模型六　雨伞模型∵∠BAC=90°,∴∠BAF=∠BAC=90°,∠ACE+∠AEC=90°.∵∠BDC=90°,∴∠FDC=90°,∠ABF+∠BED=90°.证明　如图,延长BD交CA的延长线于F.∵∠AEC=∠BED,∴∠ACE=∠ABF.∵AB=AC,∴△ACE≌△ABF(ASA),∴CE=BF.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∵CD=CD,∴△CBD≌△CFD(ASA),∴BD=FD= BF,∴BD= CE,∴CE=2BD.8.如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD+∠C=180°.求证:AD=CD.模型七　胖瘦模型 ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD.在△ABD和△EBD中,证明　如图,在BC上截取BE=BA,连接DE.∴△ABD≌△EBD(SAS),∴AD=DE,∠A=∠BED.∵∠BED+∠CED=180°,∴∠CED=∠C,过点D作DF⊥BC于F,则∠DFE=∠DFC=90°.在△DFE与△DFC中, ∴△DFE≌△DFC(AAS),∴DE=CD,∴AD=CD.9.在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD这两个条件中,选择其中一个补充在下面的问题中,并完成解答.问题:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D在边AB上(不与点A,点B重合),点E在边AC上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若　　　    (填序号即可),则BE=CD,并证明.模型八　轴对称模型解析　选择条件①的证明:在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.选择条件②的证明:在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(ASA),∴BE=CD.10.(2024江苏盐城盐都期中)如图,点A、B、C、D在一条直线上,且EA∥FB,EC∥FD,EA=FB.求证:(1)△EAC≌△FBD.(2)AB=CD.模型九　平移模型证明　(1)∵EA∥FB,∴∠EAC=∠FBD.∵EC∥FD,∴∠ECA=∠FDB.在△EAC和△FBD中, ∴△EAC≌△FBD(AAS).(2)∵△EAC≌△FBD,∴AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.