苏科版初中八年级数学上册专项素养综合练(四)等腰三角形中七种常用的辅助线作法课件

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专项素养综合全练(四)等腰三角形中七种常用的辅助线作法方法一　等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线1.(2024江苏常州天宁期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线EF∥BC,且AE=AF.求证:DE=DF. ∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵EF∥BC,∴AD⊥EF.又∵AE=AF,∴AD垂直平分EF,∴DE=DF.证明　如图,连接AD.2.(一题多解)(2024江苏徐州沛县期中)如图,在△ABC中,D、E为边BC上两点,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE. 方法二　等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高证明　证法一:作AF⊥BC,垂足为F.∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF.∵AD=AE,AF⊥BC,∴DF=EF,∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.证法二:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∴∠ADB=∠AEC.在△ABD和△ACE中, ∴△ABD=△ACE(AAS),∴BD=CE.3.如图,△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动(点P不与A,B重合),同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)求证:PD=QD.(2)过点P作直线BC的垂线,垂足为E,在P,Q移动过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法三　等腰三角形中证与腰有关联的线段时,常作腰的平行线 解析　(1)证明:如图,过点P作PF∥AC交BC于点F, ∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ.在△PFD与△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)存在,ED是长度保持不变的线段.理由:由(1)得△PFD≌△QCD,BP=PF,∴DF=CD,∴FD= FC.∵PE⊥BC,∴BE=EF,∴EF= BF,∴ED=FD+EF= FC+ BF= BC,∴ED是长度保持不变的线段.方法四　等腰三角形中证与底有关联的线段时,常作底的平行线4.如图,在等边△ABC中,D为边AC延长线上一点,延长BC至E,使CE=AD,DG⊥BE于G.求证:BG=EG.证明　过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F.∵△ABC是等边三角形,DF∥BC,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF=AF,∴CD=BF.又∵AD=CE,∴FD=CE.∵∠DFB=60°,∠DCE=∠ACB=60°,∴∠DFB=∠DCE.在△BFD和△DCE中, ∴△BFD≌△DCE(SAS),∴DB=DE.又∵DG⊥BE,∴BG=EG.5.(2024江苏南京栖霞月考)如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E.求证:BD=2CE.方法五　补形法证明　如图,延长CE、BA交于F.∵CE⊥BD,∴∠BEF=∠BEC=90°.在△BEF和△BEC中, ∴△BEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,∴CF=2CE.∵∠BAC=90°,∴∠FAC=90°.∵∠ACF+∠F=90°,∠F+∠1=90°,∴∠ACF=∠1.在△ACF和△ABD中, ∴△ACF≌△ABD(ASA),∴BD=CF,∴BD=2CE.6.(一题多解)(2024江苏苏州工业园区月考)小明在学习了“三线合一”这一内容后,继续探索,他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线,那么这个三角形是等腰三角形”,如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,D为BC中点.求证:△ABC是等腰三角形.方法六　倍长中线法证明　证法一:如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.∵D是BC中点,∴BD=CD.在△ADC和△EDB中, ∴△ADC≌△EDB(SAS),∴∠CAD=∠BED,AC=EB.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠ CAD,∴∠BED=∠BAD,∴AB=EB.∵AC=EB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.证法二:如图,过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.∵D是BC中点,∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形.7.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=108°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AB=AD+BC.方法七　截长补短法证明　如图,在线段BA上截取BE=BC,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠EBD= ∠ABC.在△CBD和△EBD中, ,∴△CBD≌△EBD(SAS),∴∠BED=∠ACB=108°,∠CDB=∠EDB.∵CA=CB,∠ACB=108°,∴∠CAB=∠ABC= ×(180°-108°)=36°,∴∠CBD=∠EBD= ∠ABC=18°.∴∠EDB=∠CDB=180°-18°-108°=54°.∴∠ADE=180°-∠CDB-∠EDB=180°-54°-54°=72°.∵∠DEA=180°-∠BED=72°,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴AB=AE+BE=AD+BC.8.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证:BD+DC=AB.  证明　如图,延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF.∵∠ABD=60°,AB=BF,∴△ABF为等边三角形,∴AF=AB=AC=BF,∠AFB=60°,∴∠ACF=∠AFC.又∵∠ACD=60°,∴∠AFB=∠ACD,∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF,∴BD+DC=BD+DF=BF=AB.