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2024年甘肃省 武威市凉州区洪祥镇九年制学校 九年级第一次模拟测试数学模拟试题（原卷版+解析版）
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（本试题满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 倒数等于的数是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解∶ ，
倒数等于的数是2，
故选∶B．
2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式取值为零的条件；根据分子为零且分母不为零即可求解．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：．
故选：D．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂相除法则、积的乘方和幂的乘方法则．先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：C
4. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴
故选：A
5. 如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
根据角平分线的定义，由平分平分，得．根据三角形外角的性质，得，从而推断除．
【详解】解：∵平分平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
故选：B．
6. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
故选：D．
7. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，
，，，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
矩形的面积为：．
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
8. 甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图．下列说法正确的是（ ）
甲组12户家庭用水量统计表
A. 甲组中用水量是6吨的频率是0.5B. 在乙组中用水量为5吨的用户所占圆心角为
C. 甲组用水量6吨与乙组用水量7吨的用户数量相同D. 用水量是4吨在甲、乙两组的用户数量相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率的概念分析A选项；结合扇形统计图分析选项B；结合扇形统计图确定乙组用水量7吨的用户数量即可分析选项C；结合扇形统计图确定乙组用水量4吨的用户数量即可分析选项D．
【详解】A. 甲组中用水量是6吨的频率为，故A选项说法错误，不符合题意；
B. 在乙组中用水量为5吨的用户所占圆心角为，故B选项说法错误，不符合题意；
C. 甲组用水量6吨的用户为2户，乙组用水量7吨的用户数量为户，故C选项说法正确，符合题意；
D. 甲组用水量4吨的用户为4户，乙组用水量7吨的用户数量为户，，故D选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了频率的知识以及扇形统计图的知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
9. 我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设竿长为尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设竿长为尺，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设竿长为尺，
由题意得，，
故选：．
10. 如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，到点停止．过点作，与边或边，的长度与点的运动时间秒的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据运动速度乘以时间，可得的长，根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：点运动秒时点运动了，
，
因为四边形是正方形，
所以，
因为平行于
所以
在在，由勾股定理，得
，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 若是一元二次方程得两个实数根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程根和系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故答案为：6．
14. 如图，在中，F，E分别是、上的点，连接并延长交的延长线于点D，若，，，则的度数为______．
【答案】133
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质是解此题的关键．
根据三角形外角性质求出，，代入求出即可．
【详解】解：∵，，
，
∵，
，
故答案为：133．
15. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为处达到A最高点C，高度为，水柱落地点D离池中心A处，则水管的长为______m．
【答案】2.25
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入时得到的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，即抛物线的顶点坐标为，
则设抛物线解析式为：，
代入得：，
∴，
∴设抛物线的解析式为：；
令，则．
故水管的长为，
故答案为：2.25．
16. 如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定．连接，，，证明四边形是矩形，推出阴影部分的面积为矩形的一半，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，
依题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，，
∴四边形是矩形，
∴阴影部分的面积为矩形的一半，
∴与经过点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案：．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则，正确的计算，是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得：；
由②得：，
所以：原不等式组的解集为：．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式
20. 如图，是一个圆拱形模型．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键．
（1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作；
（2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点O即为所求作：
【小问2详解】
解：连接，设圆的半径为，
由题意，，，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
即圆拱形所在圆的半径为，
故答案为：5．
21. 携手依法禁毒，共创幸福社会．某市要求各中小学校进行毒品知识宣传教育．某校开展了青少年禁毒知识演讲比赛．该校有3名女生和1名男生进入了青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
（1）第一个出场的选手为男生的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求前两个出场的选手都是女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵有3名女生和1名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，
∴第一个出场为男生的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意画树状图如下：
共有12种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有6种，则前两个出场都是女生的概率是．
22. 黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）
【答案】点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴， ．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23. 2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船与空间站组合体完成交会对接．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数是 分；
（3）若此次参赛的作品共有300份，请估计成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】（1）见详解 （2）8，8
（3）90
【解析】
【分析】（1）根据频率进行计算可求出抽取的作品数量，求出“8分”的数量即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的定义及计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中成绩不低于9分所占的百分比，进而估计总体中不低于9分所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
【小问1详解】
解：从两个统计图可知，成绩为“9分”的数量是25件，占抽取作品数量的，
所以抽取作品的数量为：（件，
成绩为“8分”的作品数量为：（件，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：由图知，成绩为：8分的数量为40且最多，故众数为8；
将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，中位数是第50，51份的平均数，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数是8分．
故答案为：8，8．
【小问3详解】
解：（份）
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有90份．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数、中位数以及样本估计总体，掌握频率，众数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
24. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
25. 如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D．点E是上一点，连接，．
（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
（2）若，，求长．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行四边形性质得到，根据圆切线性质得到,得到，得到是等腰直角三角形，得到，得到；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据圆直径为10得到半径，根据弧长公式得到．
本题主要考查了平行四边形，圆的切线和圆周角，等腰直角三角形，圆弧长．熟练掌握平行四边形性质，圆的切线性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆弧长公式，是解决问题的关键．
【小问1详解】
，理由：
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与边相切于点D，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26. 综合与实践
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题．
观察猜想：
（1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______．
探究证明：
（2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到，则根据等边三角形的判定方法可判断为等边三角形得到，再由即可求出答案；
（2）①由于点分别是边的中点，所以，再根据旋转的性质得到，，所以，从而可判断；②先利用勾股定理计算出，则5，过点作于点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到
，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵点分别是边的中点，
，
∵绕点按顺时针方向旋转得到，
，
，
，
；
②
，
过点作于点，如图2，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质；
27. 如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点的坐标为时，求的面积；
（3）过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）把和代入抛物线，求出和的值即可解决问题；
（2）连接, 把 代入得到点的坐标，根据即可求出结果；
（3）求出直线的表达式，作轴, 交于点, 设 ，得到的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求出点的坐标;
【小问1详解】
解：∵抛物线 交轴于点和点, 交轴于点,
，解得 ，
∴抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
连接,
由抛物线的解析式为，
代入，得 ，解得 ，
∴点的坐标为,
，
，
，
得，，
得 ；
【小问3详解】
设直线的表达式为，代入，
，解得 ，
，
作轴, 交于点,
设
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
，
解得 ，
，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，平行四边形的存在性问题，本题的关键是理解平行四边形的性质.
用水量（吨）
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
（本试题满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 倒数等于的数是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解∶ ，
倒数等于的数是2，
故选∶B．
2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式取值为零的条件；根据分子为零且分母不为零即可求解．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：．
故选：D．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂相除法则、积的乘方和幂的乘方法则．先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：C
4. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴
故选：A
5. 如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
根据角平分线的定义，由平分平分，得．根据三角形外角的性质，得，从而推断除．
【详解】解：∵平分平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
故选：B．
6. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
故选：D．
7. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，
，，，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
矩形的面积为：．
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
8. 甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图．下列说法正确的是（ ）
甲组12户家庭用水量统计表
A. 甲组中用水量是6吨的频率是0.5B. 在乙组中用水量为5吨的用户所占圆心角为
C. 甲组用水量6吨与乙组用水量7吨的用户数量相同D. 用水量是4吨在甲、乙两组的用户数量相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率的概念分析A选项；结合扇形统计图分析选项B；结合扇形统计图确定乙组用水量7吨的用户数量即可分析选项C；结合扇形统计图确定乙组用水量4吨的用户数量即可分析选项D．
【详解】A. 甲组中用水量是6吨的频率为，故A选项说法错误，不符合题意；
B. 在乙组中用水量为5吨的用户所占圆心角为，故B选项说法错误，不符合题意；
C. 甲组用水量6吨的用户为2户，乙组用水量7吨的用户数量为户，故C选项说法正确，符合题意；
D. 甲组用水量4吨的用户为4户，乙组用水量7吨的用户数量为户，，故D选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了频率的知识以及扇形统计图的知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
9. 我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设竿长为尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设竿长为尺，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设竿长为尺，
由题意得，，
故选：．
10. 如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，到点停止．过点作，与边或边，的长度与点的运动时间秒的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据运动速度乘以时间，可得的长，根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：点运动秒时点运动了，
，
因为四边形是正方形，
所以，
因为平行于
所以
在在，由勾股定理，得
，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 若是一元二次方程得两个实数根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程根和系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故答案为：6．
14. 如图，在中，F，E分别是、上的点，连接并延长交的延长线于点D，若，，，则的度数为______．
【答案】133
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质是解此题的关键．
根据三角形外角性质求出，，代入求出即可．
【详解】解：∵，，
，
∵，
，
故答案为：133．
15. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为处达到A最高点C，高度为，水柱落地点D离池中心A处，则水管的长为______m．
【答案】2.25
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入时得到的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，即抛物线的顶点坐标为，
则设抛物线解析式为：，
代入得：，
∴，
∴设抛物线的解析式为：；
令，则．
故水管的长为，
故答案为：2.25．
16. 如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定．连接，，，证明四边形是矩形，推出阴影部分的面积为矩形的一半，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，
依题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，，
∴四边形是矩形，
∴阴影部分的面积为矩形的一半，
∴与经过点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案：．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则，正确的计算，是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得：；
由②得：，
所以：原不等式组的解集为：．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式
20. 如图，是一个圆拱形模型．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键．
（1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作；
（2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点O即为所求作：
【小问2详解】
解：连接，设圆的半径为，
由题意，，，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
即圆拱形所在圆的半径为，
故答案为：5．
21. 携手依法禁毒，共创幸福社会．某市要求各中小学校进行毒品知识宣传教育．某校开展了青少年禁毒知识演讲比赛．该校有3名女生和1名男生进入了青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
（1）第一个出场的选手为男生的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求前两个出场的选手都是女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵有3名女生和1名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，
∴第一个出场为男生的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意画树状图如下：
共有12种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有6种，则前两个出场都是女生的概率是．
22. 黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）
【答案】点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴， ．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23. 2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船与空间站组合体完成交会对接．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数是 分；
（3）若此次参赛的作品共有300份，请估计成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】（1）见详解 （2）8，8
（3）90
【解析】
【分析】（1）根据频率进行计算可求出抽取的作品数量，求出“8分”的数量即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的定义及计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中成绩不低于9分所占的百分比，进而估计总体中不低于9分所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
【小问1详解】
解：从两个统计图可知，成绩为“9分”的数量是25件，占抽取作品数量的，
所以抽取作品的数量为：（件，
成绩为“8分”的作品数量为：（件，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：由图知，成绩为：8分的数量为40且最多，故众数为8；
将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，中位数是第50，51份的平均数，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数是8分．
故答案为：8，8．
【小问3详解】
解：（份）
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有90份．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数、中位数以及样本估计总体，掌握频率，众数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
24. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
25. 如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D．点E是上一点，连接，．
（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
（2）若，，求长．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行四边形性质得到，根据圆切线性质得到,得到，得到是等腰直角三角形，得到，得到；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据圆直径为10得到半径，根据弧长公式得到．
本题主要考查了平行四边形，圆的切线和圆周角，等腰直角三角形，圆弧长．熟练掌握平行四边形性质，圆的切线性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆弧长公式，是解决问题的关键．
【小问1详解】
，理由：
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与边相切于点D，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26. 综合与实践
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题．
观察猜想：
（1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______．
探究证明：
（2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到，则根据等边三角形的判定方法可判断为等边三角形得到，再由即可求出答案；
（2）①由于点分别是边的中点，所以，再根据旋转的性质得到，，所以，从而可判断；②先利用勾股定理计算出，则5，过点作于点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到
，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵点分别是边的中点，
，
∵绕点按顺时针方向旋转得到，
，
，
，
；
②
，
过点作于点，如图2，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质；
27. 如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点的坐标为时，求的面积；
（3）过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）把和代入抛物线，求出和的值即可解决问题；
（2）连接, 把 代入得到点的坐标，根据即可求出结果；
（3）求出直线的表达式，作轴, 交于点, 设 ，得到的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求出点的坐标;
【小问1详解】
解：∵抛物线 交轴于点和点, 交轴于点,
，解得 ，
∴抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
连接,
由抛物线的解析式为，
代入，得 ，解得 ，
∴点的坐标为,
，
，
，
得，，
得 ；
【小问3详解】
设直线的表达式为，代入，
，解得 ，
，
作轴, 交于点,
设
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
，
解得 ，
，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，平行四边形的存在性问题，本题的关键是理解平行四边形的性质.
用水量（吨）
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
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