2024年甘肃省武威市凉州区和平镇九年制学校教研联片中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 马拉松是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为米，用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解： 的4后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：C．
2. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，
由题意得：，
故选：A．
3. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意可设多边形的边数为n．由正多边形内角和为（n-2）•180°，外角和为360°，根据题意得：（n-2）•180°=360°×2，解方程可得n=6．因此正多边形为6边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2．
故选A．
【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和，正多边形的半径．
4. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 对疫情后某班学生心理健康状况的调查B. 对某大型自然保护区树木高度的调查
C. 对义乌市市民实施低碳生活情况的调查D. 对某个工厂口罩质量的调查
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：（1）对疫情后某班学生心理健康状况的调查，适合全面调查；
（2）对某大型自然保护区树木高度的调查，适合抽样调查；
（3）对义乌市市民实施低碳生活情况的调查，适合抽样调查；
（4）对某个工厂口罩质量的调查，适合抽样调查．
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．故结论①正确．
由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确．
∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF．
∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确．
设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=，
∴AC=．∴AB=．∴BE=．
∴BE+DF．故结论④错误．
∵，，
∴．故结论⑤正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
6. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
7. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ）
A. 54°B. 56°C. 64°D. 66°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=24°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x轴，AE⊥CD
∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD
∴∠DAE+∠GAO=90゜
∴∠GAO=∠D
∵OA=OD
∴△DEA≌△AGO(AAS)
∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a
∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a
∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴
∴四边形AGHF是矩形
∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上
∴
即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a
∴
即
∴
∵
∴
解得：
∴
故选：A．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
9. 将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A. 5B. C. 10﹣D. 15﹣
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，由已知条件易求出BC长度，由AB∥CF求出∠BCM，进而求出BM、MC，再由等腰三角形性质求出MD, 进而可得出答案．
【详解】解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握常用辅助线的作法，正确作出辅助线是解答此题的关键．
10. 如图，在中，，，D、E在斜边边上，，若，则的面积为（ ）
A. 6B. 4C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于证明．
由，，可得，证明，有即，进而可求的面积．
【详解】解：，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
二、填空题(共24分)
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 若，，则______．
【答案】45
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将所求式子进行变形，，代入计算即可.
【详解】
故答案为：45
【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂乘法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，
∴方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
14. 如图，在的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，分别是小正方形的顶点，点C在上，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解．
【详解】解：由题意，
∴的长．
故答案为：．
15. 如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据，可得：，再由是的直径得，然后分三种况讨论即可得出答案．
【详解】解：连接，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
当为等腰三角形时，
①当时，，
②当时，，
③当时，，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直径所对的圆周角等于，解题的关键是利用圆周角定理以及直径所对的圆周角等于，求出的度数，以及掌握利用分类讨论的思想来解决问题．
16. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA=，即，即可得出AB的值．
【详解】∵sinA=，即，
∴AB=10，
故答案为10．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
17. 如图，是一几何体的三视图，根据图中数据，这个几何体的侧面积是___________．
【答案】60π
【解析】
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l==10，
∴S侧=×πd×l=×π×12×10=60π．
故答案为：60π．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，点F在CD延长线上，满足，连接EF与对角线BD交于点G，连接AF，AG，若，则AG的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题已知的长度,欲求的长度,设法寻找两边之间的关系,因利用已知条件很容易想到,从而得到,进一步可证是等腰直角三角形.
下一步设法证明G为的中点, 作,从而构造出全等三角形得证.
最后利用等腰直角三角形可求得与之间的关系式,最后求解.
【详解】连接，如图1，

由正方形的性质与已知条件可知，，
所以，，
∴，．
∴．
因此是等腰直角三角形．
过E作，EH与BD交于H，如图2．

因，故为等腰直角三角形，
所以，．
又∵，∴．
由得， ，，
∴．
∴．
又以上证明：是等腰直角三角形，
∴，故为等腰直角三角形，．
由勾股定理得，，，
所以，即的长为．
【点睛】本题考查了正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形判定及性质等知识，解题的关键是证明为等腰直角三角形.
三、计算题(共8分)
19. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=5．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则，是解题的关键．
20. 解不等式组．
【答案】﹣1＜x≤4
【解析】
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
【详解】解：,
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤4.
四、作图题(共共4分)
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积．
（2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧．
【答案】（1）见解析，线段AB扫过的面积；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据坐标和旋转的性质，得，，，再根据扇形性质计算，即可得到答案；
（2）根据坐标、位似的性质，计算得，，，再分别连接、、，即可得到答案．
【小问1详解】
∵的三个顶点坐标分别是，，
∴绕O点逆时针旋转90°，得，，
如图所示：
即为所求
∵，
∴，
线段AB扫过的面积；
【小问2详解】
∵的三个顶点坐标分别是，，
∴，，
如图所示，
即为所求．
【点睛】本题考查了旋转、位似、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、位似、扇形面积计算的性质，从而完成求解．
五、解答题(共54分)
22. 为了加强中小学学生劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元．
（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？
（2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
【答案】（1）当甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小
（2）当a为20时，2026年的总种植成本为28920元
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程．
（1）根据当时，，由二次函数的性质得当时，w有最小值，再根据土地总面积为解答即可．
（2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
当时，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴当时，w有最小值，．
∴，
∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小．
【小问2详解】
由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元，
乙种蔬菜的种植成本是（元），
甲种蔬菜的种植成本是（元），
，
设，则，
解得：，（舍去），
∴．
∴．
答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．
23. 现有三位“抗疫”英雄（依次标记为，，）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上，，三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，统计小明和小亮抽到的是不同英雄的结果有几种，再由概率公式求解；
【小问1详解】
解：）∵共有三张卡片，分别是，，三个标号，
∴班长在三种卡片中随机抽到标号为的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有6种结果．则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；所求概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，在中，菱形BEDF的顶点E、D、F分别在AB、AC和BC上，若，求菱形边长．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可先设菱形的边长为x，由菱形的性质可得BE=DE=DF=BF=x，那么AE=15-x，由菱形的性质可得DE∥BC，根据平行线的性质可得△AED∽△ABC，从而不难得出，从而得出菱形的边长；
【详解】解：设BE=x，
∵四边形BEDF为菱形，
∴BE=DE=DF=BF，
∵BE=x，
∴BE=DE=x.
∵四边形BEDF为菱形，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∵，AE=15-x，AB=15，DE=x，BC=12，
则有，
解得；
答：菱形的边长为cm.
【点睛】本题主要考查了相似三角形对应边成比例，菱形的四条边相等，两角分别相等的两个三角形相似，掌握相似三角形对应边成比例，菱形的四条边相等，两角分别相等的两个三角形相似是解题的关键.
25. 如图，点在以为直径的上，平分，且于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握切线的判定．
（1）如图1中，连接．只要证明，由，即可推出；
（2）过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
【小问1详解】
证明：如图中，连接．

，
，
平分，
，
∴，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，得矩形，

，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
的半径为．
26. 如图，点分别在上，．
（1）求证：；
（2）若，求度数．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到．
（1）利用即可证明；
（2）根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角的和差即可解决问题．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
27. 如图，在四边形中，于点E，，点M为中点，N为线段上的点，且．
（1）求证：平分；
（2）连接，若，当四边形为平行四边形时，求线段的长．
【答案】（1）详见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由知，由等腰三角形三线合一知，从而根据知，再由为等腰直角三角形知可得证；
（2）设，知，证得到，中利用勾股定理可得的值，从而得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，即平分；
【小问2详解】
解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在中，由，即：，
解得：（负值舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质、勾股定理和平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点．
28. 如图1，抛物线与x轴交于点与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图2，当点P从点B匀速运动到点O时，过点P作交抛物线于点F，交直线于点E，连结．求的最大值．
（3）若点P从点B匀速运动到点A时，点Q恰好从点C运动到点O，作点Q关于直线的对称点，当点落在的一条边上时，请直接写出的长度．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题.考查二次函数的图象及性质，三角形的面积，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
（1）将点代入即可求解；
（2）求出直线的解析式为，设，则，则 ，当 时， 有最大值为 根据即可求解；
（3）点与点运动时间相同，则，可得，由题意设 ，由对称性可知，分两种情况讨论: 当落在上时， 轴，当 落在上时，．
【小问1详解】
将点)代入
得 ，
解得 ，
；
【小问2详解】
令 则 ，
∴，
设直线BC的解析式为，
，解得，
∵直线的解析式为，设 则
，
∴当 时，有最大值 ，
，
∴的最大值为；
【小问3详解】
，
∵点与点运动时间相同，
，
；
设，
∴
，
，
∵点关于直线的对称点，
，
当落在上时，轴，
∴,
，
，
；
当 落在上时，，
，
，
，
；
综上所述：的值为或．