甘肃省武威市凉州区部分校2023-2024学年九年级上学期第一次诊断考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，，
∴顶点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键．
3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出原抛物线顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是
∴所得抛物线解析式是．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＞0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＜0，c＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数开口向下即可判断a的正负，根据二次函数与y轴的交点即可判断c的符号，根据二次函数对称轴在y轴右侧即可判断的符号从而可以判断b的符号．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴
∴b＞0；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系．
5. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程（a，b，c是常数且）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：A、不是一元二次方程的一般形式，故A不符合题意；
B、不是一元二次方程的一般形式，故B不符合题意；
C、是一元二次方程的一般形式，故C符合题意；
D、不是一元二次方程的一般形式，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
6. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键．
7. 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A. 2005B. 2003C. ﹣2005D. 4010
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
【详解】α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2.
α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，
故选B.
【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
8. 有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程.
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人
∴两个人可感染个人
故一轮感染后，患流感人数为：
同理：个人可感染个人
故两轮感染后，患流感人数：
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键．
9. 设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，，所以当在之间取某一个数时，，于是可对各选项进行判断．
【详解】解：∵当时，，，
∴当在之间取某一个数时，，
∴一元二次方程的一个解的大致范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与方程的解，熟练掌握方程的解是对应二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质，可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知 由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知 ，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意；
C、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意；
故选：B．
11. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）

A. 或B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２
12. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在
之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（每题3分，共24分）
13. 函数为开口向下的抛物线，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和开口向下即可得到，由此进行求解即可．
【详解】解：∵函数为开口向下的抛物线，
∴，
∴，
∴解得或（舍去），
故答案为：-4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数开口方向与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14. 已知函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围为______．
【答案】k≤4
【解析】
【分析】分为两种情况：①当k－3≠0时，（k－3）x2+2x+1=0，求出=b2－4ac=－4k+16≥0的解集即可；②当k－3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．
【详解】解：①当k－3≠0时，（k－3）x2+2x+1=0，
=b2－4ac=22－4（k－3）×1=－4k+16≥0，
解得：k≤4；
②当k－3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；
故k的取值范围是k≤4，
故答案为：k≤4．
【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
15. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是_____．

【答案】x1＝﹣2，x2＝1．
【解析】
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根即可．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，﹣），
∴点B坐标为（1，0），
∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16. 若是方程 的一个根，则 的值为________．
【答案】2019
【解析】
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，利用式子的等式关系在代数式中进行替换运算是解题关键．根据题意得到，把代入进行计算，得出结果．
【详解】解：是的解，
，即；
把代入中，得：
．
故答案为：2019．
17. 抛物线与轴的交点坐标为____．
【答案】，
【解析】
【分析】令，解关于的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：令，∵，则：
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标是，；
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数与轴交点的横坐标是令时，一元二次方程的解．
18. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先令得一元二次方程并求解可得点，的坐标，令得的值从而可得点坐标，进一步由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：对于
令，得，
解得：， ，
， ，
，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
19. 已知，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键．
20. 已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______．
【答案】或7##7或-1
【解析】
【分析】对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可．
【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值，
所以，解得，（舍）；
当时，二次函数在x=m时取得最小值，
∴所以，该方程无解；
当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值，
所以，解得，（舍）；
故答案为：或7．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用．
三、解答题（共60分）
21. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2） ，；
【解析】
【分析】（1）将原方程因式分解直接求解即可得到答案；
（2）将原方程移项后因式分解直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：原方程因式分解得，
，
即：，，
解得：，；
【小问2详解】
解：原方程因式分解得，
，
即：，，
解得 ，；
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一定要使方程的一边为0及正确的因式分解．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）k=1，方程的另一根为0
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）将x=3代入，即可求出k的值，从而得到原方程为，再根据因式分解法解方程即可得出方程的另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式证明即可．
【小问1详解】
解：把x=3代入，得：，
解得：k=1．
∴原方程为，
∴，
解得，
∴方程的另一根为0；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
23. 已知二次函数．
（1）将二次函数化成顶点式；
（2）求图像与轴，轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）与轴交于点，与轴交于点，
【解析】
【分析】（1）用配方法化成顶点式即可；
（2）当时，求出，当时，求出，，即可得二次函数与坐标轴的交点坐标．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
当时，，
与轴交于点，
当时，，
，．
与轴交于点，．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式以及与坐标轴交点坐标，掌握配方法是解决此题的关键．
24. 已知抛物线经过点，．
（1）求，的值；
（2）若，是抛物线上不同的两点，求的值．
【答案】（1）1,
（2）
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入解析式，构造二元一次方程组求解；
（2）点坐标即解析式对应的方程的解，将代入求得n，进而求得m．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，，
∴，解得，
∴．
【小问2详解】
解：时，，
∴．
当时，，即，
；
解得，或，
∴或（舍去）
∴.
【点睛】本题考查二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的联系；运用方程（组）的思想解决函数问题是解题的关键．
25. 已知二次函数．
（1）在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象；
（2）利用函数图象直接写出：
①当时，x的取值范围是______；
②当时，y的取值范围是______．

【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）将二次函数化成顶点式可确定对称轴及顶点坐标，确定抛物线与x轴的交点，然后画出图象即可；
（2）①根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围；
②根据图象与y轴和x轴的交点坐标以及顶点坐标，可确定时，y的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，，
∴抛物线经过原点，
∵，
∴顶点的坐标为，
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点为，
如图：
；
【小问2详解】
解：①当时，x的取值范围是；
故答案：；
②当时，，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
26. 某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
（1）求3、4月份销售额的平均增长率．
（2）商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
【答案】（1）3、4月份销售额的平均增长率为；
（2）商场不能实现销售计划．
【解析】
【分析】（1）设3、4月份销售额的平均增长率为x，利用4月份的销售额月份的销售额+平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）按照（1）中的月平均增长率，计算第一季度(月)总销售额即可得出答案．
【小问1详解】
解：设3、4月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)．
答：3、4月份销售额的平均增长率为；
【小问2详解】
解：按照（1）中的月平均增长率，第一季度(月)总销售额为(万元)，
∵，
∴商场不能实现销售计划．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27. 如图，已知二次函数的图象经过点和点．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
（3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
【答案】（1）
（2）该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为
（3） ， 点的坐标为
【解析】
【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点和点，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：，
二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问3详解】
解：点函数图象上，
，
解得：，
，
舍去，
，
点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．