2024八年级数学下册第5章特殊平行四边形综合素质评价试卷（附解析浙教版）

这是一份2024八年级数学下册第5章特殊平行四边形综合素质评价试卷（附解析浙教版），共15页。

第5章综合素质评价一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1. [2023·台州临海市期中]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝32°，那么∠AOB的度数为(　　) A. 32° B. 48° C. 64° D. 96° (第1题) 　(第3题)2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　) A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分3. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB的度数是(　　) A. 20° B. 30° C. 50° D. 22. 5°4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(　　) A. 当AB＝BC时，它是正方形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形 C. 当AC＝BD时，它是矩形 D. 当∠ABC＝90°时，它是矩形 (第4题) 　(第5题)5. [数学文化]中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴. 小陶家有一个菱形中国结装饰，其示意图如图，测得BD＝12 cm，AC＝16 cm，直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F，则EF的长为(　　) A. 8 cm B. 10 cm C. eq \f(48,5)cm D. eq \f(96,5) cm6. [2023·十堰]如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(　　) A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形　　　 B. B，D两点间的距离减少 C. 四边形ABCD的面积不变　　　　　　　　 D. 四边形ABCD的周长不变 (第6题) 　(第7题)7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连结OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，则OE的长为(　　) A. 2 eq \r(5) B. 4 C. 2 D. eq \r(5)8. [2023·台州二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AD上，且AE＝eq \f(1,4)AD，点F是边AB上任意一点，G，H分别是CF，EF的中点，则GH等于(　　) A. 2. 5 B. 3 C. eq \r(7) D. eq \r(5) (第8题) 　(第9题)9. [2023·苏州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC. 动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动. 当移动时间为4秒时，AC·EF的值为(　　) A. eq \r(10) B. 9 eq \r(10) C. 15 D. 3010. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连结FN，EM. 则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形. 其中，正确结论的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第10题) 　(第11题)二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11.如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，菱形ABCD的周长为32，则OE＝________. 12.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝BD，请你添加一个条件：______________________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可). (第12题) (第13题)13.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0，0)，点B的坐标是(0，1)，且BC＝5，则点A的坐标是________. 14.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连结PB，PD. 若AE＝3，PF＝5. 则图中阴影部分的面积为________. (第14题)　 　(第15题) 　(第16题)15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点(点 P不与点A，B 重合)，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则EF的最小值是________. 16.[2023·绍兴]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连结AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连结CE，则∠AEC的度数是________. 三、解答题(本题有8小题，共66分)17. (6分)如图，菱形ABCD的对角线BD，AC相交于点O，BD＝4 cm，AC＝6 cm，求菱形ABCD的周长. 18. (6 分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且DE＝AD. 过点A作AF⊥DE于点F，连结AE. 求证：AB＝AF. 19. (6 分)[2022·邵阳]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形. 20. (8 分)[2023·岳阳]如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是________(填序号)； (2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. 21. (8 分)[2023·十堰]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，eq \f(1,2)AC，eq \f(1,2)BD长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP，CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？22. (10 分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若AC＝8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长. 23. (10 分)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H. (1)求证：△EAB≌△GAD； (2)求证：BE⊥DG； (3)若AB＝3eq \r(2)，AG＝3，求EB的长. 24. (12分) [2023·杭州期中]如图，已知四边形ABCD是菱形，∠B＝∠MAN＝60°. ∠MAN绕顶点A逆时针旋转，边AM与射线BC相交于点E(点E与点B不重合)，边AN与射线CD相交于点F. (1)当点E在线段BC上时，求证：BE＝CF； (2)连结EF，判断△AEF的形状并说明理由. 答案一、1. C　2. D　3. D　4. A　5. C6. C　【点拨】向左扭动矩形框架ABCD，矩形变成平行四边形，B，D两点间的距离减小，BC边上的高减小，故面积变小，四边形的四条边不变，故周长不变. 7. C　【点拨】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD. ∵OB＝4，∴BD＝2OB＝8. 又∵S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝16，∴AC＝4. ∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝eq \f(1,2)AC＝2. 8. A　【点拨】连结CE，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴CD＝AD＝AB＝4，∠D＝90°. ∵AE＝eq \f(1,4)AD，∴AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，∴CE＝eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(42＋32)＝5. ∵G，H分别是CF，EF的中点，∴GH是△FCE的中位线，∴GH＝eq \f(1,2)CE＝2. 5. 9. D　【点拨】∵点A的坐标为(9，0)，∴OA＝9. ∵点C的坐标为(0，3)，∴OC＝3. ∵∠AOC＝90°，∴AC＝eq \r(OC2＋OA2)＝eq \r(32＋92)＝3eq \r(10). ∵四边形OABC为矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝9，∴B(9，3). 由题意得OE＝BF＝4，∴E(4，0)，F(5，3). ∴EF＝eq \r((5－4)2＋32)＝eq \r(10)，∴AC·EF＝3eq \r(10)×eq \r(10)＝30. 10. C　【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，∴∠DAN＝∠BCM. ∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∠BMC＝90°. ∴∠DNA＝90°＝∠BMC. ∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝FC，DE＝BF. ∵CF＞CM，∴AE＞CM，故③错误；∵DE＝BF，DN＝BM，∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF. 又∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF. 又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形. 当AO＝AD时，∵AO＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，∴∠ABD＝90°－∠ADO＝30°. ∵DE⊥AC，∴∠ODN＝eq \f(1,2)∠ADO＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴▱DEBF是菱形，故④正确；∴正确结论的个数是3个. 二、11. 4　12. AC⊥BD(答案不唯一)　13. (2eq \r(6)，0)14. 15　【点拨】如图，过点P作PM⊥AD于点M，MP的延长线交BC于点N. 易得四边形AEFD，四边形DFPM，四边形BEPN都是矩形，PM＝PE，PN＝PF，∴PE＝PM＝DF＝AE＝3，BE＝PN＝PF＝5，∴S△DFP＝S△PBE＝eq \f(1,2)×3×5＝eq \f(15,2)，∴S阴影＝eq \f(15,2)＋eq \f(15,2)＝15. 15. 2. 4　【点拨】连结CP. ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋32)＝5. ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP. 易知当CP⊥AB时，CP的值最小，即EF的值最小，当CP⊥AB时，由S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(1,2)AB·CP，得eq \f(1,2)×4×3＝eq \f(1,2)×5·CP，∴CP＝2. 4. ∴EF的最小值为2. 4. 16. 10°或80°　【点拨】如图，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°. ∵AC＝AE，∴∠AEC＝eq \f(1,2)×(180°－20°)＝80°. ∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′. 又∵∠EAC＝∠AE′C＋∠ACE′＝20°，∴∠AE′C＝10°. 综上所述，∠AEC的度数是10°或80°. 三、17. 【解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝eq \f(1,2)BD，OA＝eq \f(1,2)AC，∠AOB＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 又∵BD＝4 cm，AC＝6 cm，∴OA＝3 cm，OB＝2 cm，∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13)(cm)，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4eq \r(13) cm. 18. 【证明】∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB⊥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠AED＝∠AEB，∴EA平分∠BEF. ∵AF⊥DE，AB⊥BC，∴AB＝AF. 19. 【证明】∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. 又∵ BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是菱形. ∵OE＝OA，∴OA＝OC＝OE＝OF，∴AC＝EF. ∴四边形AECF是正方形. 20. (1)①(2)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A＋∠D＝180°. 在△ABM和△DCM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠1＝∠2，,BM＝CM，))∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴∠A＝∠D＝90°，∴▱ABCD为矩形. 【点拨】答案不唯一. 21. 【解】(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD. ∵以点B，C为圆心，eq \f(1,2)AC，eq \f(1,2)BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形. 由(1)知四边形BPCO为平行四边形. ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°. ∴四边形BPCO为矩形. ∵AC＝BD，OB＝eq \f(1,2)BD，OC＝eq \f(1,2)AC，∴OB＝OC，∴矩形BPCO为正方形. 22. (1)【证明】∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. 在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE，∠AEF＝∠DEB，AE＝DE，∴△AFE≌△DBE(AAS) ，∴AF＝BD. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝eq \f(1,2)BC，∴AF＝CD. 又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝eq \f(1,2)BC＝CD，∴四边形ADCF是菱形. (2)【解】连结DF，∵S菱形ADCF＝eq \f(1,2)AC·DF＝40，AC＝8，∴DF＝10. ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF＝10. 23. (1)【证明】∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，∴∠EAB＝∠GAD. ∴△EAB≌△GAD(SAS). (2)【证明】∵△EAB≌△GAD，∴∠AEB＝∠AGD. ∵∠AMG＝∠HME，∴∠HEM＋∠HME＝∠AGM＋∠AMG＝180°－∠GAM＝90°，∴∠MHE＝90°，∴BE⊥DG. (3)【解】∵△EAB≌△GAD，∴EB＝GD. ∵四边形ABCD是正方形，AB＝3eq \r(2)，∴BD⊥AC，AC＝BD＝eq \r(2)AB＝6，OA＝eq \f(1,2)AC, OD＝eq \f(1,2)BD，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝3. ∵AG＝3，∴OG＝OA＋AG＝6，∴GD＝eq \r(OD2＋OG2)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，∴EB＝3eq \r(5). 24. (1)【证明】连结AC. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠BAC＝60°＝∠B，∠BAE＋∠MAC＝60°. 又∵∠MAN＝∠CAF＋∠MAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF. 在△ABE和△ACF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CAF，,AB＝AC，,∠B＝∠ACF，))∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF. (2)【解】△AEF是等边三角形，理由如下：当点E在线段BC上时，由(1)知△ABE≌△ACF，∴AE＝AF. ∵∠MAN＝60°，∴△AEF是等边三角形；当点E在线段BC的延长线上时，连结AC，如图，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝60°，AB＝AD，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝120°. 由(1)知△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DAC＝60°，∠ACE＝120°，∴∠ACE＝∠ADF. 由(1)知AB＝AC，∴AC＝AD. ∵∠DAC＝60°，∴∠DAE＋∠MAC＝60°. 又∵∠MAN＝∠DAE＋∠NAD＝60°，∴∠MAC＝∠NAD. 在△ACE和△ADF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MAC＝∠NAD，,AC＝AD，,∠ACE＝∠ADF，))∴△ACE≌△ADF(ASA). ∴AE＝AF. 又∵∠MAN＝60°，∴△AEF是等边三角形.