浙教版第五章 特殊平行四边形综合与测试精品当堂达标检测题

浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》测试卷

考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分：100分；

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在矩形中，平分交于点，，有下面个结论：是等边三角形其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 如图，在矩形中，点、分别在、上，将沿折叠，使点落在上的点处，又将沿折叠，使点落在射线与的交点处，则的值

A.  B.  C.  D. ：

4. 如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连结，，则下列结论：当时，四边形是菱形其中，正确结论的个数是     

A.  B.  C.  D.

5. 如下图，菱形的边，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点当的长度最小时，的长为

A.  B.  C.  D.

6. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形．则四边形一定是

A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：；；≌；平分；四边形是菱形．其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形的边长为，点，在对角线上，四边形是菱形，且，则的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，四边形是正方形，是上的一点，于点，且交于点若，则的值为．

A.
B.
C.
D.

10. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交、于、两点若、分别是、的中点，则的长为   

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在边长为的正方形中，点、、分别在边、、上，与交于点，，，，则的最小值等于

A.   B.  C.  D.

12. 如图，正方形和等腰直角三角形，斜边与在一条直线上，，，沿射线方向运动点从点出发，设，与正方形重叠部分的面积为若，则的值为

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 将两条邻边长分别为，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片无余纸片，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的______填序号．
    ，，，，．
14. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；；其中正确结论的序号是______．
15. 如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为：，则的周长为____．
     

16. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点落在点处，当点在矩形的对角线上时，的长度为________．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）

17. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
    求证：；
    连接，若，，求的长．
    
     

18. 已知：如图，四边形是矩形，点在上，且，，垂足为，
    求证：．
     

19. 对给定的一张矩形纸片，其中宽，进行如下操作：先沿折叠，使点落在边上如图，再沿折叠，使点恰好与点重合如图，将该矩形纸片展开后，继续折叠纸片，使点与点重合，折痕与，，分别交于点，，如图求的长．

            图                                          图                               图






 

20. 如图，已知是菱形的对角线，延长至点点，使得，连接．
    

求证：；

过点作，垂足为点若，，求的长．






 

21. 如图，在菱形中，与的度数比为：，周长是求：
    两条对角线的长度；
    菱形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，正方形的边长为，，，，分别是，，，上的动点，且．
    
     

求证：四边形是正方形．

判断直线是否经过某一定点，并说明理由．






 

23. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，．
    求证：；
    当在中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
    若为中点，则当______时，四边形是正方形？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求．

由旋转的性质可知：是等边三角形，
，
，
，
当、、、共线时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
将绕点逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求．
本题考查轴对称最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

2.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，正确；
四边形是矩形，
，
，
，
，
，错误；
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，正确；
，
根据等底等高的三角形面积相等得出，正确；
故选：．
根据矩形性质求出，根据角求出即可得出三角形是等边三角形，求出，即可判断，求出，，相加即可求出，根据等底等高的三角形面积相等得出．
本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．
 

3.【答案】
 

【解析】解：连接．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
故选：．
连接首先证明四边形是菱形，再证明是等边三角形即可解决问题；
本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
 

4.【答案】
 

【解析】 四边形是矩形，

，，，，，，

，

，，

，

，

在和中，
 

，

，，故正确

在和中，
 

，

，，故正确

，即，

，

四边形是平行四边形，

，故正确

，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

四边形是菱形，故正确．

正确结论的个数是，故选D．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用，作于，如图，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点在以点为圆心，为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点在上时，的值最小，然后证明即可．

【解答】

解：作于，如图，

菱形的边，，
为等边三角形，
，，

，
，
在中，，
梯形沿直线折叠，的对应点，
点在以点为圆心，为半径的弧上，
当点在上时，的值最小，
，
而，
，
，
．
故选B．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．根据三角形的中位线定理得到，，四边形为菱形，得出，最后推导即可得到答案． 
【解答】解：，，，分别是边，，，的中点，
，
平行四边形是菱形，


是对角线相等的四边形
故选D．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
由平行四边形的性质和可得，由等腰三角形的性质可判断正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断正确，通过证四边形是平行四边形，可判断正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断正确，由可判断错误．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，，
又，
，且点是中点，
，
故正确，
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，
，
故正确，
，
四边形是平行四边形，
，且，，
≌
故正确
，
，
，
，
，
平分，
故正确，
若四边形是菱形，
，
，
与题意不符合，
故错误，
故选：．
  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，三角形内角和定理的有关知识，根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据三角形的内角和定理求，从而得到，再根据等角对等边的性质得到，然后求出正方形的对角线，再求出．
【解答】
解：在正方形中，，

，

在中，，

，

，

正方形的边长为，

，

．

故选：．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．利用正方形的性质得，，根据等角的余角相等得到，则可判断≌，得，，设，，在中，则勾股定理得出与的关系，进而计算阴影部分与正方形的面积，便可求得其面积比．
【解答】
解：四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
在和中

≌，
，
设，，则，
，
，
，
整理得，，
解得，或舍，
，，
，
，
：：：，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理，属于中档题．
过作于，过作于，过作于，根据三角形中位线定理得到、、、，根据等腰直角三角形可得：，，利用勾股定理可得的长．
【解答】
解：如图，过作于，过作于，过作于，

则，
，
四边形是矩形，
，，
，是的中点，
，，
，，
同理得：，
四边形为正方形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，矩形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形全等的判定的有关知识，过点作于点，取的中点，连接、，根据证明≌，可得，所以再证明，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由，当、、共线时，有最小值，即可求的最小值．
【解答】
解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，

四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
是直角三角形，
，
，，
，，
，
当、、共线时，有最小值，
，
，
，
即的最小值为．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
，
．
则根据的运动可分段讨论：
点与点重合前，如图，设与交于点，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
令时，，不合题意，舍去；
点在线段上时，如图，
此时，
，
令，解得；
当全部在线段上时，，不合题意；
当点和点重合后，点与点重合前，如图，
，
令时，解得；
当点与点重合后，点到达点之前，如图，
，
令，则，
此时，不合题意；

故选：．
根据的运动可将与的关系分段讨论，再令可求得的值．
本题考查动点问题的函数图象，涉及等腰直角三角形的性质，面积的求法等知识；解答此类问题的关键是明确题意，求出各段对应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图所示：

则其中一个等腰三角形的腰长可以是，，，，不可以是．
故答案为：．
首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明≌，可得，求出，从而判断出正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出正确；求出，，证明≌，可得，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到错误．
【解答】
解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
又，
在和中，，
≌，
，，故正确；
由上述、、可得、，，
，故正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故错误；
综上所述，结论正确的是．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
 根据面积之比得出的面积等于正方形面积的，进而依据的面积以及勾股定理，得出的长，进而得出其周长．
【解答】解：阴影部分的面积与正方形的面积之比为：，

阴影部分的面积为，

空白部分的面积为，

由，，，可得≌，

的面积与四边形的面积相等，均为，

设，，则，

又，

，

即，

，即，

的周长，

故答案为．

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、翻折变换、锐角三角函数定义和分类讨论的思想．当落在上时，由翻折的性质和矩形的性质可得，继而推出，即可求解；当落在上时，由翻折的性质得，再借助和即可得，即可求解．
【解答】
解：如图所示，落在上时，与交于点，

由翻折可知，垂直平分，
且，
，
又四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
即
如图所示，落在上时，

由翻折可知，，
，，则，
四边形是矩形，，，
，
在中，，
在中，，
设，则，
，即．
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．  

17.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
；

如图，过点作于点，
四边形是矩形，
点是的中点，即，
为的中位线，
，
又四边形是平行四边形，
，．
，
．
在直角中，由勾股定理可得：．
 

【解析】根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；
如图，过点作于点，欲求，只需在直角中求得、的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】根据矩形性质得出，，求出，≌，根据全等得出即可．
本题考查了矩形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的每个角都是直角，矩形的对边平行．
 

19.【答案】解：如图，

是矩形，
，
由折叠性质知，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
如图，由折叠性质知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，，，，

．，即．
，
．
连接，则，
又，
在中，，
即，
，
，
，且，
．
，
四边形是平行四边形，
，则．
，则，
．
 

【解析】本题主要考查翻折变换问题，涉及了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、外角的性质等知识首先由折叠性质及矩形性质求出，然后再由折叠性质知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，，，，证明四边形是平行四边形得到；最后利用勾股定理即可求得结果．
 

20.【答案】证明：连接，交于点，

四边形是菱形
，
，
，，且




，，，

，，，
，
，


 

【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理有关知识．
连接，交于点，由菱形的性质可得，，由三角形的中位线定理可得，，即可得结论；
由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求的长．
 

21.【答案】解：菱形的周长为，
菱形的边长为
：：，菱形的邻角互补，
，，
是等边三角形，
，
菱形对角线、相交于点，
，且，
，
；

菱形的面积
 

【解析】首先证明是等边三角形，解直角三角形即可解决问题；
菱形的面积等于对角线乘积的一半；
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在，，和中，

，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是正方形．
直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心的交点．
理由：连结，，交于点．

四边形是正方形，
，
，
在和中，

，
，，即为的中点，
正方形的对角线互相平分，
为对角线，的交点，即为正方形的中心，
故直线经过正方形的中心这一定点．
 

【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质，本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线证明三角形全等．
由正方形的性质得出，，证出，由证明≌≌≌，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论；
连接、，交点为；先证明≌，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心．
 

23.【答案】
 

【解析】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；

解：四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；

当时，，
，
由可知，四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
当，四边形是正方形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．