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2024八年级数学下册第2章一元二次方程全章复习与巩固培优篇试题（附解析浙教版）
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这是一份2024八年级数学下册第2章一元二次方程全章复习与巩固培优篇试题（附解析浙教版），共20页。
专题2.27 一元二次方程（全章复习与巩固）一、单选题1．方程的解是（ ）A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或02．方程 的正确解法是（ ）A．化为 B． C．化为 D．化为 3．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜4．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.635．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．6．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（ ）A． B． C． D．或7．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知，则m2+n2的值是（ ）A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．29． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）A．2020 B． C．-2020 D．二、填空题11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．12．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________．13．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b=0的解是________．14．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．15．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是______．16．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．17．已知实数， 满足等式，，则的值是______．18．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．三、解答题19．解下列关于的方程．(1)； (2)．20．根据要求解答下列问题(1)①方程的解为②方程的解为③方程的解为根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为，并用配方法解方程进行验证；根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为．21．已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．(2)从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率．22．在中，，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值．23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．24．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出y与x的函数关系式；(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．参考答案1．B【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．解：∵，∴，∴或或，故选：B．【点拨】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键．2．C解：根据因式分解法解一元二次方程的解法，先移项为，然后提公因式（x+1）可得（x+1）（x+1-1）=0.故选C.点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，解题时先把（x+1）看做一个整体，然后移项后提公因式即可把方程化为ab=0的形式求解即可解决，解题关键是整体思想的应用.3．C【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．解：将代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化为，∵，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，故选C．【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．4．C【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使x2+x-1的值为0，即可得到答案．解：∵x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围．5．D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．解：∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．6．C【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．解：∵P（x．y）为第二象限上的点，∴x＜0，y＞0，∵OP=1，∴，则，∵x+y＝﹣，∴，且x＝﹣y﹣∴，∴，∴，化简得：，则，解得：或（舍去），∴，∴，故选：C．【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．7．D【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．解：∵，∴，，∵方程有两个不同的实数解，∴，解得：．又∵方程的两根，∴，即，∴，故选：D．【点拨】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．8．A解：，，，，∴或（舍去）．故选A．9．D解：∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），则所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.10．C【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．解：∵，，a+c=0 ∴，∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即是方程的一个根故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．11．8．【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.12．【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根∴，解得∴原方程可化为，解得∴等边三角形的三边边长都为3∴等边三角形的高为：∴等边三角形的面积为．故答案为．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．13．x1＝﹣2，x2＝2【分析】把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b=0变形为a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．故答案为x1＝﹣2，x2＝2．【点拨】本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．14．0【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．解：设这个相同的实数根为t，把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t）20，∴a+b+c＝0，故答案是：0．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．15．-3或29【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故或29．故答案为-3或29【点拨】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；16．【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围．解：由题意得：，∴设的两根分别是、；则，；∴；根据三角形三边关系定理，得：，即；，解得．故答案为．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．17．【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．解：∵实数， 满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：【点拨】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．18．或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．19．(1)， (2)，【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．（1）解：移项，得．开方得：，解得，．（2）解：∵∴，，．∴．∴方程有两个不等的实数根∴，解得，．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．20．(1)①； ②； ③； (2)，验证见分析； (3)．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）利用配方法解方程可判断猜想结论的正确；（3）根据前面发现的规律即可完成此问．（1）解：①，，解得，即方程的解为；②，，解得，即方程的解为；③，，解得，即方程的解为，故答案为：①； ②； ③；（2）解：，，，；故答案为：；解：，，．故答案为：．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，也考查了因式分解法-十字相乘法解一元二次方程．21．(1)且 (2)【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即判别式大于0且二次项系数不为0，求解即可；（2）方程有实数根，即判别式大于等于0且二次项系数不为0，求解即可．解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且，即，且，∴且．（2）若要方程有实数根，则，且；即且，∴给定的5个数字中，－4，－2，0能令方程有实数根，故选取的数字能令方程有实数根的概率为．【点拨】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素．22．【分析】将方程转化为一般式，利用根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可．解：原方程整理为，设是方程的两个根，则，即，∵，∴，即，由勾股定理得：，代入以上方程整理后有．∵c是斜边，∴，两边开平方，得，两边同时平方得，，再次将勾股定理代入得：，，∴．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理．熟练掌握，以及勾股定理，是解题的关键．23．（1）见分析;（2）当时，有最大值【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．解：（1）证明：．．．．是正数．（2）解：由题意得：，，．．．．又∵当时，有最大值．【点拨】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．24．(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. (3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．解：（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），将其代入y=kx+b 得解得∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，整理得 x2－20x＋91＝0，解得：x1＝7, x2＝13；当x＝7时，售价为100－7＝93（元），当x＝13时，售价为100－13＝87（元），∵优惠力度最大，∴取x＝13，答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，∴100－60－x ≥ 60×50%,解得：x≤10；依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，整理得 x2－20x＋100＝0，解得：x1＝x2＝10；∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【点拨】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.061﹣0.04﹣0.0170.00440.027
专题2.27 一元二次方程（全章复习与巩固）一、单选题1．方程的解是（ ）A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或02．方程 的正确解法是（ ）A．化为 B． C．化为 D．化为 3．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜4．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.635．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．6．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（ ）A． B． C． D．或7．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知，则m2+n2的值是（ ）A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．29． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）A．2020 B． C．-2020 D．二、填空题11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．12．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________．13．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b=0的解是________．14．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．15．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是______．16．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．17．已知实数， 满足等式，，则的值是______．18．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．三、解答题19．解下列关于的方程．(1)； (2)．20．根据要求解答下列问题(1)①方程的解为②方程的解为③方程的解为根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为，并用配方法解方程进行验证；根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为．21．已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．(2)从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率．22．在中，，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值．23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．24．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出y与x的函数关系式；(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．参考答案1．B【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．解：∵，∴，∴或或，故选：B．【点拨】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键．2．C解：根据因式分解法解一元二次方程的解法，先移项为，然后提公因式（x+1）可得（x+1）（x+1-1）=0.故选C.点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，解题时先把（x+1）看做一个整体，然后移项后提公因式即可把方程化为ab=0的形式求解即可解决，解题关键是整体思想的应用.3．C【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．解：将代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化为，∵，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，故选C．【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．4．C【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使x2+x-1的值为0，即可得到答案．解：∵x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围．5．D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．解：∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．6．C【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．解：∵P（x．y）为第二象限上的点，∴x＜0，y＞0，∵OP=1，∴，则，∵x+y＝﹣，∴，且x＝﹣y﹣∴，∴，∴，化简得：，则，解得：或（舍去），∴，∴，故选：C．【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．7．D【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．解：∵，∴，，∵方程有两个不同的实数解，∴，解得：．又∵方程的两根，∴，即，∴，故选：D．【点拨】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．8．A解：，，，，∴或（舍去）．故选A．9．D解：∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），则所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.10．C【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．解：∵，，a+c=0 ∴，∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即是方程的一个根故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．11．8．【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.12．【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根∴，解得∴原方程可化为，解得∴等边三角形的三边边长都为3∴等边三角形的高为：∴等边三角形的面积为．故答案为．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．13．x1＝﹣2，x2＝2【分析】把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b=0变形为a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．故答案为x1＝﹣2，x2＝2．【点拨】本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．14．0【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．解：设这个相同的实数根为t，把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t）20，∴a+b+c＝0，故答案是：0．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．15．-3或29【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故或29．故答案为-3或29【点拨】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；16．【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围．解：由题意得：，∴设的两根分别是、；则，；∴；根据三角形三边关系定理，得：，即；，解得．故答案为．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．17．【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．解：∵实数， 满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：【点拨】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．18．或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．19．(1)， (2)，【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．（1）解：移项，得．开方得：，解得，．（2）解：∵∴，，．∴．∴方程有两个不等的实数根∴，解得，．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．20．(1)①； ②； ③； (2)，验证见分析； (3)．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）利用配方法解方程可判断猜想结论的正确；（3）根据前面发现的规律即可完成此问．（1）解：①，，解得，即方程的解为；②，，解得，即方程的解为；③，，解得，即方程的解为，故答案为：①； ②； ③；（2）解：，，，；故答案为：；解：，，．故答案为：．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，也考查了因式分解法-十字相乘法解一元二次方程．21．(1)且 (2)【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即判别式大于0且二次项系数不为0，求解即可；（2）方程有实数根，即判别式大于等于0且二次项系数不为0，求解即可．解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且，即，且，∴且．（2）若要方程有实数根，则，且；即且，∴给定的5个数字中，－4，－2，0能令方程有实数根，故选取的数字能令方程有实数根的概率为．【点拨】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素．22．【分析】将方程转化为一般式，利用根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可．解：原方程整理为，设是方程的两个根，则，即，∵，∴，即，由勾股定理得：，代入以上方程整理后有．∵c是斜边，∴，两边开平方，得，两边同时平方得，，再次将勾股定理代入得：，，∴．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理．熟练掌握，以及勾股定理，是解题的关键．23．（1）见分析;（2）当时，有最大值【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．解：（1）证明：．．．．是正数．（2）解：由题意得：，，．．．．又∵当时，有最大值．【点拨】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．24．(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. (3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．解：（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），将其代入y=kx+b 得解得∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，整理得 x2－20x＋91＝0，解得：x1＝7, x2＝13；当x＝7时，售价为100－7＝93（元），当x＝13时，售价为100－13＝87（元），∵优惠力度最大，∴取x＝13，答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，∴100－60－x ≥ 60×50%,解得：x≤10；依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，整理得 x2－20x＋100＝0，解得：x1＝x2＝10；∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【点拨】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.061﹣0.04﹣0.0170.00440.027
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