第5章 特殊平行四边形专项训练：长度计算1(含答案)

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长度计算专项训练（1）夯实基础，稳扎稳打1．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，求DE、DF的长度．2．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，求菱形较长的对角线长3.．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，BE⊥CD，求BE的长．4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，DE是AB边上的高，BE＝2，求AB的长．连续递推，豁然开朗5．菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E为边BC上一点，将△CDE沿DE对折，记点C对称点为C′，若C′D⊥AB，DE＝，求AD的长．6．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，求EF的长．7．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，求该矩形的面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD绕点O按逆时针方向旋转90°得到菱形EFGH，若两个菱形重叠部分八边形的周长为16，∠BAD＝60°，求HG的长．思维拓展，更上一层9．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝60°，AB＝3，BE＝1，求PG的长度．日期：2021/12/6 15:59:09；用户：初中数学；邮箱：yingzzh3@xyh.com；学号：2409503310．四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连接四个顶点形成正方形ABCD，O为对角线AC，BD的交点，OE的延长线交BC于点F．记图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若2CF＝3BF，求的值参考答案1.解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABF，∴AB＝AE，同理可得：BC＝CF，∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴AE＝3 cm．CF＝5 cm，∴DE＝5﹣3＝2 cm，DF＝5﹣3＝2 cm，2.解：如图，∵菱形的边长为6，一个内角为60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝6，∴AO＝AC＝3，在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．3.．.解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥OD，OC＝AC＝4，OD＝BD＝3，∴由勾股定理得到：CD＝＝5，又∵AC•BD＝CD•BE，∴BE＝4.8．4.解，设AB＝x，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝x，∵DE是AB边上的高，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠ADE＝45°，∴AE＝ED＝x﹣2，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2，∴x2＝（x﹣2）2+（x﹣2）2，解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2，∵BE＝2，∴AB＞2，∴AB＝x＝4+2，5.解：过点E作EG⊥CD于点G，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，AD＝CD∵C'D⊥AB∴C'D⊥CD，∵折叠∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，且GE⊥CD，DE＝3，∴DG＝GE＝3，∵∠C＝60°，GE⊥CD，GE＝3∴GC＝∴AD＝CD＝DG+CG＝3+故答案为：3+6.解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，∴BE＝CE＝，∵CD∥AB，∴∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，∵EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝+（3﹣EF）2，∴EF＝，7.解：设小正方形的边长为x，∵a＝2，b＝3，∴AB＝2+3＝5，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，整理得，x2+5x﹣6＝0，而矩形面积为（2+x）（3+x）＝x2+5x+6＝12，即该矩形的面积为12，．8.解：过点D作DJ⊥TG于J.由旋转的性质可得：重叠部分为各边长相等的八边形，∴TH＝DT＝2，∵菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，∴∠DAO＝∠OGH＝30°，∴∠ADO＝60°，∵∠ADO＝∠DGT+∠DTG，∴∠DTG＝∠DGT＝30°，∴DG＝DT＝2，∵DJ⊥TG，∴TJ＝JG＝DG•cos30°＝∴TG＝2，∴HG＝HT+TG＝2+29.解：延长GP交CD于H，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD∥AB∥GF，BC＝CD＝AB＝3，BG＝GF＝BE＝1，∴∠PDH＝∠PFG，∵P是线段DF的中点，∴PD＝PF，在△PGF和△PHD中，，∴△PGF≌△PHD（ASA），∴PH＝PG，DH＝FG＝1，∵CH＝CD﹣DH＝3﹣1＝2，CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，∴CH＝CG，∴PG⊥PC，∠PCG＝∠PCH，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∴∠PCG＝×120°＝60°，∴∠PGC＝30°，∴PC＝CG＝1，∴PG＝PC＝；故答案为：．日期：2021/12/6 15:59:09；用户：初中数学；邮箱：yingzzh3@xyh.com10.解：过点O作OH⊥BC与H，如图，由对称性可知，＝，设BF＝2a，则CF＝3a，∴BC＝BF+CF＝5a，∵正方形ABCD，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OH垂直平分BC，∴BH＝CH＝OH＝BC＝，∴HF＝CF﹣HC＝，在Rt△OFH中，由勾股定理得，OF＝＝，∴S△OCF＝CF•OH＝OF•CE，∴CE＝＝a，∵OC＝BC＝a，在Rt△OFH中，由勾股定理得，OE＝＝a，∴EF＝a，∴S△OCE＝OE•CE＝a2，S△CEF＝CE•EF＝a2，S△OBF＝BF•OH＝a2，∴＝＝，