初中第六章 反比例函数6.1 反比例函数同步测试题

这是一份初中第六章 反比例函数6.1 反比例函数同步测试题，共48页。

A．1B．C．2﹣D．﹣1
【分析】作AH⊥OC于H．分别求出OA、OE即可解决问题；
【解答】解：作AH⊥OC于H．
∵∠AOH＝60°，设OH＝m，则AH＝m，OA＝2m，
∴A（m，m），
∴m2＝2，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠DOE＝∠AOC＝30°，设DE＝n，则OE＝n，
∴D（n，n），
∴n2＝2，
∴n＝或﹣（舍弃），
∴OE＝，
∴EC＝OC﹣OE＝2﹣，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（牡丹江一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．
∵点A在y＝﹣上，
∴A（﹣，2m），
∴AJ＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK∥BC，
∴＝＝，
∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b﹣，
∵JF∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴JF＝，
∴OF＝OJ﹣JF＝2m﹣＝，
∴S△BFC＝•BC•OF＝×3b•＝6，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）
A．B．C．3.5D．5
【分析】证明△DHA≌△CGD（AAS）、△ANB≌△DGC（AAS）得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设点D（m，），
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，
∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD（AAS），
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC（AAS），
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G（m，﹣1），CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），
则点E（﹣，﹣5），GE＝，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，需要两次证明三角形全等，综合性较强，难度较大．
4．（奉化区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点C在x轴上，点A，D在函数y＝（x＞0）的图象上，若△ABE与△CDE的面积之比为1：3，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．C．3D．4
【分析】设A（a，），D（b，），B（c，），由△ABE与△CDE的面积之比为1：3，推出•（a﹣c）•（﹣）：•（b﹣a）•＝1：3，求出（a﹣c）•的值即可解决问题；
【解答】解：设A（a，），D（b，），B（c，）
∵△ABE与△CDE的面积之比为1：3，
∴•（a﹣c）•（﹣）：•（b﹣a）•＝1：3，
∴（a﹣c）•＝2，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共16小题）
5．（宁波模拟）如图，等腰△ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数y1＝（x＜0）的图象交腰AB于点E，F，反比例函数y2＝（x＞0）的图象交腰AC于点A，G，恰有FG∥BC，FG交y轴于点H，且△DFH面积为18．则k2﹣k1的值为 32 ．
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设A（x0，y0），则x0y0＝k2，AM＝y0，然后由△ABC的面积得到BC的长，即可得到CM和BM的长，然后求得直线AC的解析式，再联立反比例函数y2＝（x＞0）求得点G的坐标，再由等腰三角形的性质得到点F的坐标，进而求得直线AB的解析式，得到点D的坐标，进而得到FH和DH的长，再由△DFH的面积求得x0y0的值，即可得到点F的坐标和k2的值，进而求得k1的值，最后得到k2﹣k1的值．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，则BM＝CM，
设A（x0，y0），则x0y0＝k2，AM＝y0，
∵S△ABC＝＝100，
∴BC＝，
∴CM＝BM＝，
∴C（x0+，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+y0+，
由，解得：或，
∴点G的坐标为（，），
∵AB＝AC，FG∥x轴，
∴点F的坐标为（，），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+，
∴点D的坐标为（0，），
∴FH＝﹣，DH＝﹣＝，
∵△DFH的面积为18，
∴＝18，
∴x0y0＝20，
∴点F的坐标为（﹣，），k2＝20，
∴k1＝﹣×＝﹣12，
∴k2﹣k1＝20﹣（﹣12）＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
6．（宁波模拟）如图，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AO＝AB，函数y＝（x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D，若OC＝3，BD＝1，则OA的长为 5 ；当OD⊥AB时，k的值为 ．
【分析】过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，设C（a，b），则D（m﹣a，b），由反比例函数的性质可得ab＝（m﹣a）•b，解得a＝m，进而可表达OE，EG，OF的长度，由CE∥AG，结合平行线分线段成比例可得OA的长度；若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．由射影定理可得DF2＝OF•BF，建立等式求出m2的值，进而可得k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，
∴CE∥DF∥AG，OG＝BG＝m．
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵AO＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，
∴△COE∽△DBF，
∴＝＝＝3．
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∴BF＝a，DF＝b，
∴D（m﹣a，b），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（m﹣a）•b，解得a＝m，
∴EG＝m﹣m＝m，BF＝a＝m，
∴OF＝m﹣m＝m．
∵CE∥AG，
∴OC：OA＝CE：AG＝OE：OG，即3：OA＝m：m，
∴OA＝5．
若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．
由射影定理可得DF2＝OF•BF．
∴b2＝m•m＝m2，即b＝m，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得，OE2+CE2＝OC2，
∴（m）2+（m）2＝32，
整理得m2＝10．
∴k＝ab＝m2＝．
故答案为：5；．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，等边三角形的性质，设出点C的坐标，利用反比例函数的性质表达出a，b与m的关系解题的关键．
7．（浙江模拟）如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为 ﹣ ．
【分析】过点C作CN⊥OB，CD⊥OA，过点A作AM⊥OB，根据已知条件得S△ACO＝4，S△BOC＝3，根据反比例函数性质可知
S△AOC＝S梯形AMNC＝4，再根据图形的面积公式求k．
【解答】解：过点C作CN⊥OB，CD⊥OA，过点A作AM⊥OB，
∵OC平分∠AOB，
∴CN＝CD，
∵＝，
∴＝，
∵△AOB的面积为7，
∴S△ACO＝4，S△BOC＝3，
∴＝＝，
∵k＜0，
由反比例函数的性质可知：S△AOM＝S△CON＝＝﹣k，
∵S△AOM+S梯形AMNC＝S△AOC+S△CON，
∴S△AOC＝S梯形AMNC＝4，
∵CN∥AM，
∴△BCN∽△BAM，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BCN＝×4，
∴S△BCN＝，
∴7＝﹣k+4+，
解得k＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质，掌握这几个知识点的熟练综合应用，辅助线的作法是解题关键．
8．（江北区模拟）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，点E是线段AB的中点，连接CE、DE，已知△AEC的面积是△AED面积的2倍，且S△DEF＝，则k的值是 ．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，由△AEC的面积是△AED面积的2倍，可以得到CH＝2DG，因为DG∥CH，可以证得△DGF∽△CHF，所以，同理可得，，则AC＝2DB，设B（），可以得到A坐标，由此得到AB中点E的坐标，由，得到，列出关于k和m的方程，即可求解．
【解答】解：如图1，∵AC⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AC∥BD，
过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
∴DG∥CH，
∵S△AEC＝2S△AED，
∴，
∴CH＝2DG，
∵DG∥CH，
∴∠GDF＝∠HCF，
又∠DFG＝∠CFH，
∴△DFG∽△CFH，
∴＝，
同理，，
∴，
设B（），则A（），
∴，
∵E是AB中点，
∴E（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k2＝8，
∵k＞0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用面积比得到高的比，继而转化成相似比，包含了“斜化直“思想，设出交点坐标，利用已知条件列出方程，对数据分析和运算都有要求．
9．（龙湾区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在x轴正半轴上，C是AB边上一点，过A作AD∥OB交OC的延长线于D，OD＝3CD．若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，C，且△ACD的面积为3，则k的值是 ．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由AD∥OB得△ACD∽△BCO，因为OD＝3CD所以相似比为1：2，面积比为1：4，可得△BCO的面积，
设A（a，），表示出CF、OB的长度，利用△BCO的面积即可求得k的值．
【解答】
解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵AD∥OB，
∴△ACD∽△BCO，
∵OD＝3CD，
∴，
∴它们的面积比为1：4，
∵△ACD的面积为3，
∴△BCO的面积为12，
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，C，
∴设A（a，），则OE＝a，AE＝，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴AE∥CF，
∴△BCF∽△BAE，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴C（，），
∴EF＝OF﹣OE＝，
∴，
∴BF＝a，
∴OB＝OF+FB＝，
∵
∴，
∴k＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数图象上坐标的特点，利用k表示OB和CF的长度是解决本题的关键．
10．（海曙区模拟）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为 24 ．
【分析】延长BD交x轴交于点M，连接OA，根据相似三角形的性质和同高三角形的面积比的关系得出S△ABD＝8，S△AOD＝16，再根据k的几何意义以及面积的和差得出结论．
【解答】解：延长BD交x轴交于点M，连接OA，
∵AB∥x轴，
∴△ABD∽△CMD，
∴，
∵AD＝2CD，
∴BD＝2MD，S△ABD＝4S△DCM．
∴S△BOD：S△ODM＝2：1，
∵S△BOD＝20，
∴S△ODM＝10，
∵S△COD＝8，
∴S△DCM＝2，
∴S△ABD＝8，
∵AD＝2CD，S△COD＝8，
∴S△AOD＝16，
∴S△AOB＝S△ABD+S△BOD﹣S△AOD
＝8+20﹣16
＝12，
∵点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，
∴S△AOB＝＝12，
∴a﹣b＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了反比例k的几何意义，相似三角形的判定与性质，借助三角形之间的面积关系得出a﹣b的值，得出S△ABD＝8是解题的关键．
11．（鄞州区模拟）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为 ，a+b的值为 ．
【分析】由△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，即可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，
设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），
则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，
则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，
设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，
故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），
同理可得，点F的坐标为（0，﹣），
则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，
解得a＝，
而b＝a，
∴a+b＝；
故答案为，
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
12．（青山区二模）如图，一次函数y＝3x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，OQ的最小值为1，则点B的坐标为 （﹣，﹣2） ．
【分析】由题意得：OQ是△ABC的中位线，故当BC最小时，OQ也最小，当BC⊥x轴时，BC最小，此时BC＝2OQ＝2，即可求解．
【解答】解：点A、B关于原点对称，故O是AB的中点，而Q为AC中点，
故OQ是△ABC的中位线，
则OQ＝BC，故当BC最小时，OQ也最小，
当BC⊥x轴时，BC最小，此时BC＝2OQ＝2，
即点B的纵坐标为﹣2，
将点B的纵坐标代入y＝3x得：﹣2＝3x，解得：x＝﹣，
故点B的坐标为（﹣，﹣2），
故答案为：（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是确定OQ是△ABC的中位线．
13．（奉化区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中A为直线y＝x﹣1上一点，过原点O的直线与反比例函数y＝﹣图象交于点B，C．若△ABC为等边三角形，则点A的坐标为 （﹣2，﹣）或（6，） ．
【分析】分两种情形：当点A在第三象限时，如图设△ABC是等边三角形，作BM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N．设B（m，﹣）．利用相似三角形的性质求出点A的坐标（用m表示），再利用待定系数法求出m即可，当点A在第一象限时，同法可得．
【解答】解：观察图象可知点A只能在第三象限，如图设△ABC是等边三角形，作BM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N．设B（m，﹣）．
由题意，B，C关于原点O对称，
∴OB＝OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴OA⊥BC，OA＝OB，
∴∠AOB＝∠OMB＝∠ONA＝90°，
∴∠BOM+∠AON＝90°，∠NAO+∠AON＝90°，
∴∠BOM＝∠NAO，
∴△OMB∽△ANO，
∴＝＝＝，
∵OM＝﹣m，BM＝﹣，
∴ON＝﹣，AN＝﹣m，
∴A（，m），
∵点A在直线y＝x﹣1上，
∴m＝﹣1，
解得m＝﹣或（舍弃），
∴A（﹣2，﹣），
当点A在第一象限时，同法可得A（6，）
故答案为：（﹣2，﹣）或（6，）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 或 ．
【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．
【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），
点C（，），∴AB≠AC，
①当AB＝BC时，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去负值）；
②当AC＝BC时，同理可得：（﹣）2+（﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去负值）；
故答案为：或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
15．（翔安区模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON＝MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．
其中正确结论的有 ①③④ ．
【分析】设正方形OABC的边长为a，表示出A，B，C，M，N的坐标，利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON与MN，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等，根据三角形MON面积＝三角形OND面积+四边形ADNM面积﹣三角形OAM面积，等量代换得到四边形DAMN与△MON面积相等，结论③正确；过O作OH垂直于MN，如图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到CN＝HN＝1，求出a的值，确定出C坐标，即可对于结论④做出判断．
【解答】解：设正方形OABC的边长为a，
得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a），
在△OCN和△OAM中，
，
∴△OCN≌△OAM（SAS），结论①正确；
根据勾股定理，ON＝＝＝，MN＝＝|a2﹣k|，
∴ON和MN不一定相等，结论②错误；
∵S△ODN＝S△OAM，
∴S△MON＝S△ODN+S四边形DAMN﹣S△OAM＝S四边形DAMN，结论③正确；
过点O作OH⊥MN于点H，如图所示，
∵△OCN≌△OAM，
∴ON＝OM，∠CON＝∠AOM，
∵∠MON＝45°，MN＝2，
∴NH＝HM＝1，∠CON＝∠NOH＝∠HOM＝∠AOM＝22.5°，
∴△OCN≌△OHN（ASA），
∴CN＝HN＝1，
∴＝1，即k＝a，
由MN＝|a2﹣k|得，2＝|a2﹣a|，
整理得：a2﹣2a﹣1＝0，
解得：a＝＝1±（舍去负值），
∴点C的坐标为（0，+1），结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
16．（武进区校级自主招生）两个反比例函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y＝上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|＝ ．
【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1＝4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y＝上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y＝中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|＝|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．
【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），
又∵P2007在y＝上，
∴Px2007＝．
而Qx2007（即Px2007）在y＝上，所以Qy2007＝＝＝，
∴|P2007Q2007|＝|Py2007﹣Qy2007|＝|4013﹣|＝．
故答案为：．
【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．
17．（思明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点A与边BC相交于点D，若S△ABC＝15，CD＝2BD，则k＝ 36 ．
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．由DE∥BF，推出＝＝＝，设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），想办法用a表示CE，CF，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．
∵CD＝2BD，
∴＝，
∵DE∥BF，
∴＝＝＝，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴•OC•DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（+，3a），
∴CE＝﹣，CF＝+﹣＝，
∴（﹣）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．（宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，的值为 ﹣ ．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴a﹣b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴＝，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
∴＝＝3，
∴＝﹣3，即＝﹣，
解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，﹣），C（﹣，﹣），
由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m+）（+）×＝32，
化简可得，＝﹣．
故答案为24，﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（奉化区校级模拟）如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20．（平邑县一模）如图，已知直线y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为： y＝﹣2x+6 ．
【分析】根据一次函数的解析式y＝﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA＝3，OB＝1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA＝90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式，设CE＝x，则BE＝3x，写出C（x，3x+1），由于矩形ABCD对称中心为M，得到M的坐标，代入反比例函数中，列方程可得x的值，并利用待定系数法求直线AC的解析式．
【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，令y＝0，x＝3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CBE+∠OBA＝∠OBA+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO，
∵∠BEC＝∠AOB＝90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴＝，
设CE＝x，则BE＝3x，
∴C（x，3x+1），
∵矩形ABCD对称中心为M，
∴M（，），
∵双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，
∴x（3x+1）＝，
解得：x1＝1，x2＝﹣（舍）
∴C（1，4），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
把A（3，0）和C（1，4）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6，
故答案为：y＝﹣2x+6．
【点评】本题考查了矩形的性质，求直线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（温州模拟）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M，BC//AM交线段OA于点C，连结OB．已知点A，B的横坐标分别为6，4．
（1）求的值．
（2）当△AOM与△OBC的面积之差等于4时，求k的值．
【分析】（1）延长BC交OM于N，得到OM＝6，ON＝4，进而得到BN＝，AM＝，证得△CON∽△OAM，根据相似三角形的性质求得CN＝，BC＝，代入即可求出结果；
（2）由S△AOM＝•OM•AM＝，S△OBC＝•ON•BC＝，根据S△AOM﹣S△OBC＝4，即可求出k．
【解答】解：（1）延长BC交OM于N，
∵AM⊥x轴，BC//AM，
∴BN⊥x轴，△CON∽△OAM，
∴＝，
∵A，B的横坐标分别为6，4，
∴OM＝6，ON＝4，
∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴BN＝，AM＝，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝，
∴BC＝BN﹣CN＝﹣＝，
∴＝＝；
（2）∵S△AOM＝•OM•AM＝×6•＝，
S△OBC＝•ON•BC＝×4•＝，
S△AOM﹣S△OBC＝4，
∴﹣＝4，
解得：k＝18．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（浦江县模拟）如图，点A，点B是直线y＝x+2上的两动点，点A在点B左侧，且AB＝，反比例函数y＝与y＝分别过点A、点B．
（1）若A的坐标为（1，3），求k1和k2的值．
（2）点A的横坐标记为a，当a＝0时我们发现，点A落在y轴上，反比例函数y＝上不存在，所以a≠0．参照上述过程，请直接写出a不能取的其他值．
（3）若|k1|+|k2|＝2，求点A的坐标．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k1，再判断出点B的坐标与点A的坐标的关系，求出点B坐标，进而代入反比例函数解析式中，即可求出答案；
（2）模仿仿例，利用点A，B其中一个在x轴或y轴上，即可得出答案；
（3）分4种情况，去掉绝对值，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，∵A的坐标（1，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝3，
记直线AB与x，y轴的交点为N，M，
针对于直线y＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴M（0，2），
∴OM＝2，
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴N（﹣2，0），
∴ON＝2，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°，
过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，两线相交于点C，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴AB＝AC＝BC，
∵AB＝，
∴AC＝BC＝1，
∴点B的横纵坐标是点A的横纵坐标加1，
∵点A（1，3），
∴点B的坐标为（2，4），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝8；
（2）由（1）知，点B的横纵坐标是点A的横纵坐标加1，
当a＝﹣1时，∴A（﹣1，1），
∴B（0，2），
∴点B落在y轴上，反比例函数y＝上不存在，
所以a≠﹣1；
当a＝﹣2时，
∴A（﹣2，0），
∴点A落在x轴上，反比例函数y＝上不存在，
所以a≠﹣2；
当a＝﹣3时，∴A（﹣3，﹣1），
∴B（﹣2，0），
∴点B落在x轴上，反比例函数y＝上不存在，
所以a≠﹣3；
即a≠﹣1，﹣2，﹣3；
（3）由（1）知，点B的横纵坐标是点A的横纵坐标加1，
设A（m，m+2），则点B（m+1，m+3），
①当A在第一象限，点B在第一象限，
∴m＞0，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝m（m+2）＞0，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝（m+1）（m+3）＞0，
∵|k1|+|k2|＝2，
∴m（m+2）+（m+1）（m+3）＝2，
∴m＝或m＝，
∵m＞0，即此情况不符合题意，
②当A在第二象限，点B在第一象限，
∴﹣1＜m＜0，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝m（m+2）＜0，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝（m+1）（m+3）＞0，
∵|k1|+|k2|＝2，
∴﹣m（m+2）+（m+1）（m+3）＝2，
∴m＝﹣，
∴A；
③当A在第二象限，点B在第二象限，
∴﹣2＜m＜0，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝m（m+2）＜0，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝（m+1）（m+3）＜0，
∵|k1|+|k2|＝2，
∴﹣m（m+2）﹣（m+1）（m+3）＝2，
∴2m2+6m+5＝0，
而Δ＝36﹣4×2×5＝﹣4＜0，
此方程无解，即此种情况不符合题意，
③当A在第三象限，点B在第二象限，
∴﹣3＜m＜﹣2，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝m（m+2）＞0，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝（m+1）（m+3）＜0，
∵|k1|+|k2|＝2，
∴m（m+2）﹣（m+1）（m+3）＝2，
∴m＝﹣，
∴A；
④当A在第三象限，点B在第三象限，
∴m＜﹣3，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k1＝m（m+2）＞0，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝（m+1）（m+3）＞0，
∵|k1|+|k2|＝2，
∴m（m+2）+（m+1）（m+3）＝2，
∴m＝或m＝，
∵m＜﹣3，即此情况不符合题意，
即点A的坐标为A或．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，解绝对值方程，判断出点B与点A坐标的特点是解本题的关键，用分类讨论的思想是解（3）的关键．
23．（金东区校级模拟）已知反比例函数y＝（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标；
（3）P是直线AC上的一个点，在平面内找点Q，使以OP为对角线的四边形OBPQ是菱形，请直接写出PC的长．
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；
（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求出BD的长，进而求出B点的坐标，从而求出直线AB的解析式，即可求出点C的坐标；
（3）如图2所示，先求出OB和BC的长，根据菱形四边相等得到PB＝OB，再求PC的长即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，6），
∴6＝，
解得m＝2；
（2）如图1，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，
由题意得，AE＝6，OE＝1，
∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴＝，
∵AB＝2BC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝2．
即点B的纵坐标为2，
由（1）得，反比例函数解析式为y＝﹣，
∵B在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把点A（﹣1，6），点B（﹣3，2）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+8，
令y＝0，得0＝2x+8，
解得：x＝﹣4，
∴C（﹣4，0）；
（3）如图2所示，点P可以在B点上方或下方，
∵点B（﹣3，2），点C（﹣4，0），
∴OB＝＝，
BC＝，
∵四边形OBPQ是以OP为对角线的菱形，
∴PB＝OB＝，
∴P1C＝PB+BC＝，P2C＝PB﹣BC＝，
故PC的长为或．
【点评】本题考查的是反比例函数、相似三角形判定和性质和菱形的性质，难点是结合函数图象和几何图形的性质，综合性比较强，可以利用数行结合思想解决此类问题，
24．（奉化区校级模拟）我们定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC．在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心．
（1）如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出△ABC的相似心．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH．
①∠BMA的度数是 45° ．
②求证：点O为△MHG的相似心．
（3）如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∠OHG＝30°．
①求点G的坐标．
②若点E为△OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可；
（2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠ABM+∠MAB＝（180°+90°）＝135°，从而得出答案；
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，可得四边形MQOP为正方形，利用正方形的性质得∠MOH＝∠MOG＝135°，再根据∠HMO+∠GMO＝45°，∠HMO+∠MHO＝∠MOQ＝45°，得∠GMO＝∠MHO，说明结论成立；
（3）①由（2）知△OMH∽△OGM得，OM2＝OG•OH，则OG•OH＝，再根据∠OHG＝30°，知OH＝OG，可得答案；
②分三种情形：△OEH与△GEH为相似三角形或△OEG与△GEH为相似三角形或△OEG与△OEH为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图1，∵∠APB＝∠APC，，
∴△APB∽△CPA，
∴点P为△ABC的相似心，
（2）①∵△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，
∴∠ABM+∠MAB＝（180°+90°）＝135°，
∴∠BMA＝45°，
故答案为：45°；
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，
由角平分线的性质得MQ＝MP，则四边形MQOP为正方形，
∴∠MOQ＝∠MOP＝45°，
∴∠MOH＝∠MOG＝135°，
∵∠HMO+∠GMO＝45°，∠HMO+∠MHO＝∠MOQ＝45°，
∴∠GMO＝∠MHO，
又∵∠MOH＝∠MOG＝135°，
∴△OMH∽△OGM，
∴点O为△GMH的相似心；
（3）①由上述结论：△OMH∽△OGM得，OM2＝OG•OH，
∵MP＝MQ，且点M在y＝﹣上，
∴OP2＝，则OM2＝OG•OH＝，
∵∠OHG＝30°，
∴OG＝2，
∴G（2，0）；
②（Ⅰ）当△OEH与△GEH为相似三角形时
（当∠EHO与∠GHE为对应角时，△OEH与△GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EHO与∠GEH为对应角时，∠GEH+∠GHE＝30°，则∠EGH＝150°，显然也不成立），
∵△OEH∽△HEG，
∴∠EHO＝∠EGH，∠EOH＝∠EHG，，
∵∠EHO+∠EHG＝30°，
∴∠OEG＝60°，
在△OEG中，∠OEG＝60°，OG＝2，，
过点G作DG⊥OE，垂足为点D，
设OE＝3x，则EG＝4x，
∵OD＝x，DG＝x，OG＝2，
∴由勾股定理得x＝，即OE＝．
（Ⅱ）当△OEG与△GEH为相似三角形时，
（当∠EGO与∠EGH为对应角时，△OEG与△GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EGO与∠GEH为对应角时，∠GEH+∠EGH＝60°，则∠EGH＝120°，显然也不成立），
∵△OEG∽△GEH，
∴∠EOG＝∠EGH，∠EGO＝∠EHG，，
∵∠EGO+∠EGH＝60°，
∴∠OEH＝120°，
在△OEH中，∠OEH＝120°OH＝，，
则与（Ⅰ）同理可得OE＝；
（Ⅲ）当△OEG与△OEH为相似三角形时，
当∠GOE与∠EOH为对应角时，△OEG与△OEH是全等三角形，显然不成立；
当∠EOG与∠EOH为对应角时，∠EOH+∠OEH＝90°，则∠OHE＝90°，显然也不成立；
当∠EOG与∠OHE为对应角时，∠EOH+∠OHE＝90°，则∠GEH＝180°，此时点E在斜边GH上，也不成立．
综上所述OE＝或．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度较大．
25．（丽水模拟）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）求AE的长；
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M，N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP＜NP，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由DC的长结合反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点E的坐标为（，4），在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长；
（2）结合AF﹣AE＝2可得出AF的长，由BC＝3可得出点F的坐标为（﹣3，1），再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出反比例函数的表达式；
（3）由（2）可得出点M，N的坐标，结合平移的性质可得出平移后点M，N的坐标，设设点P的坐标为（﹣+n，y），由点P在MN上且MP＜NP，可得出y的取值范围，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点E，E是DC的中点，DC＝8，
∴点E的坐标为（，4）．
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4，∠ADE＝90°，
∴AE＝5．
（2）∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
∴BF＝AB﹣AF＝1，
∴点F的坐标为（﹣3，1）．
∵点F在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣3＝m，
解得：m＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（3）由（2）可知：点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（﹣1，0），
∴点M的坐标为（﹣，8），点N的坐标为（﹣，0），
∴平移后的点M的坐标为（﹣+n，8），平移后点N的坐标为（﹣+n，0）．
设点P的坐标为（﹣+n，y），
∵点P在MN上，且MP＜NP，
∴4＜y≤8．
∵点P在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴，
解得：＜n＜2．
【点评】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（2）利用含m的代数式表示出点E，F的坐标；（3）利用平移的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式组．
26．（下城区校级四模）在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度y（mg/m3）和时间x（h）的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到30mg/m3，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后y与x成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后y与x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中浓度上升到60mg/m3时，井下3km深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少km/h？
（3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到30mg/m3及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？
【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式y＝k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，30），（6，75）求出k1与b的值，然后得出函数式y＝x+30，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知y＝（k2≠0）过点（6，75），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．
（2）结合以上关系式，当y＝60时，由y＝x+30得x＝4，从而求出撤离的最长时间，再由v＝速度．
（3）由关系式y＝知，y＝30时，x＝15，矿工至少在爆炸后15﹣6＝9（小时）才能下井．
【解答】解：（1）∵爆炸前浓度呈直线型增加，
∴可设y与x的函数关系式为y＝k1x+b（k1≠0），
由图象知y＝k1x+b过点（0，30），（6，75），
∴，解得
∴y＝x+30，此时自变量x的取值范围是0≤x≤6，
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数关系式为y＝（k2≠0）．
由图象知y＝过点（6，75），
∴＝75，
∴k2＝450，
∴y＝，此时自变量x的取值范围是x＞6；
（2）当y＝60时，由y＝x+30得：x+30＝60，解得x＝4，
∴撤离的最长时间为6﹣4＝2（小时）．
∴撤离的最小速度为3÷2＝1.5（km/h）；
（3）当y＝30时，由y＝得，x＝15，
15﹣6＝9（小时）．
∴矿工至少在爆炸后9小时才能下井．
【点评】本题考查一次函数及反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
27．（镇江期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（3，2）、B（﹣2，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＜的解集： x＜﹣2或0＜x＜3 ；
（3）在反比例函数图象上，找出两点C、D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这个平行四边形的面积是 10 ．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出m，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数确定B点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合一次函数和反比例函数的图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量范围即可；
（3）根据反比例图象的对称性，找出A点、B点的对应点即为C、D点，证此时四边形ABCD是矩形，求出矩形ABCD的面积即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（3，2），
∴m＝3×2＝6，
∴反比例函数为y＝，
又∵B（﹣2，n）在反比例函数上，
∴﹣2n＝6，
解得n＝﹣3，
∴B（﹣2，﹣3），
将A、B两点坐标代入一次函数y＝kx+b（k≠0），
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）由图象知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，kx+b＜，
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）根据反比例函数的对称性，令A点在第三象限的对应点为C（﹣3，﹣2），B点在第一象限的对应点为D（2，3），
此时AC∥BD，且AC＝BD，
即四边形ABCD为平行四边形，
∵AC＝＝2，BD＝＝2，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵AB＝＝5，AD＝＝，
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝5•＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的性质，两点间距离等知识，熟练掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．
28．（金华）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②利用描点法画出图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，构建方程组，利用Δ＝0，求出k可得结论，另外直线x＝3也符合题意．
【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝1，
∵四边形ABED是正方形，
∴AB＝1，
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形ABOC是矩形，
∴OB＝AC＝4，
∴A（4，1），
∴k＝4．
（2）①由题意，A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝4，
∴z＝x﹣．
②图象如图所示．
性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．
性质2：图象是中心对称图形．
③设直线的解析式为z＝kx+b，
把（3，2）代入得到，2＝3k+b，
∴b＝2﹣3k，
∴直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，
由，消去z得到，（k﹣1）x2+（2﹣3k）x+4＝0，
当k≠1时，当Δ＝0时，（2﹣3k）2﹣4（k﹣1）×4＝0，
解得k＝或2，
当k＝时，方程为x2﹣x+4＝0，解得x1＝x2＝6．
当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2．
当k＝1时．方程的解为x＝4，符合题意，
另外直线x＝3，也符合题意，此时交点的横坐标为3，
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会把问题转化为方程组，再利用一元二次方程的根的判别式解决问题，属于中考压轴题．
29．（饶平县校级模拟）如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式x+b的解．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；
（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），
解方程组，解得；
（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），
∴S△AOB＝×6×4+×6×1＝15；
（3）﹣4≤x＜0或x≥1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形法求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．
30．（河东区期末）如图，取一根长1米长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当L＝ 1 cm时的数据是错了；
（2）被墨水涂黑了的数据你认为大概是 6.1 ；
（3）你能求出F与L的函数关系式吗？
（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
【分析】这是一道跨学科综合题．根据杠杆原理知F•L＝25×9.8，得关系式解答问题．
【解答】解：根据杠杆原理知F•L＝25×9.8．
（1）当L＝1cm时，F＝245牛顿．所以表格中数据错了；
（2）当L＝40cm时，F＝245÷40≈6.1（牛顿）．故答案为 6.1；
（3）F＝，（0＜L≤50）．
（4）函数图象如图：
【点评】此题考查反比例函数的应用．跨学科综合题关键在建立数学模型．
L/cm
1
10
15
20
25
30
35
40
45
F/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4