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数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀习题
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这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀习题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春•鄠邑区校级月考）下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cs4x
2．（2022秋•贵州月考）已知函数的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．[4π，6π）
3．（2022秋•东城区校级月考）如图，曲线C为函数y＝sinx（0≤x≤）的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v）．若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（ ）
A．f（m）在区间（，π）上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点（，0）中心对称
4．（2022秋•安康期中）函数f（x）＝sinx在区间（0，22π）上可找到n个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
5．（2022秋•泰兴市期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，）），直线x＝和点（﹣，0）分别是f（x）图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．函数f（x）在区间[﹣，]上为单调函数
D．函数f（x）在区间[0，6π]上有12个零点
6．（2022秋•烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•相城区校级月考）经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为y＝sinωx．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期．后半期为低潮期，生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小南在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（ ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪节律与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为p（x），q（x），则p'（322）•q'（322）＜0
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
8．（2022秋•安徽月考）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．直线为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）在上单调递减
9．（2022秋•金凤区校级期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中），恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：
①f（x）是偶函数；②；③ω是奇数；④ω的最大值为3．
其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．（2022•安徽开学）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题。
11．（2022•杭州模拟）满足，x∈[0，π]的角x＝ ．
12．（2022•松江区校级开学）若函数y＝sin（πx﹣）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为 ．
13．（2022春•昌平区校级月考）函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是 ．
14．（2022秋•赣州期中）已知函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，若0＜φ＜4π，则φ的最大值是 ．
15．（2022秋•温州月考）在函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则φ可以等于 （写出一个值即可）．
16．（2022秋•东城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（），给出下面三个论断：
①f（x）在区间上单调递增；
②f（x）的图象关于点中心对称：
③f（x）的图象关于直线轴对称，
以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用论断的序号表示为形如“④⇒⑤⑥”的形式）
17．（2022秋•宁德期中）已知函数f（x）＝6cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对∀x∈R都有，且是f（x）的一个零点．
（1）若f（x）的周期大于π，则ω＝ ；
（2）若y＝f（x）﹣6在上有且只有一个零点，则ω的最大值为 ．
18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是 ．
（1）f（x）在区间上单调递增；
（2）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有3个极大值点；
（3）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点；
（4）ω的取值范围是．
三、解答题。
19．（2022春•房山区期末）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
20．（2022•嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
21．（2022春•确山县校级月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A、ω及φ的值；
（2）若α∈（﹣，0），且f（+）＝，求tanα的值．
22．（2022•兴平市校级二模）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若x∈R，求当函数f（x）取得最大值时自变量x的集合．
23．（2022秋•鹿城区校级月考）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
24．（2022秋•和平区校级月考）已知向量，，函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若f（C）恰好为函数f（x）的最大值，且此时CD＝f（C），求3a+4b的最小值．
25．（2022秋•平山区校级月考）在①函数f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]；②函数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_____，函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求cs2θ的值．
26．（2022春•长宁区校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcsx的“跟随向量”．
（1）写出函数f（x）＝2csx+sinx的“跟随向量”的单位向量的坐标；
（2）记的“跟随函数”为f（x），若函数，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟随函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，求此时tan2x0的取值范围．
专题5.4 三角函数的图象与性质（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•鄠邑区校级月考）下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cs4x
【答案】A。
【解答】解：A中，令y＝f（x）＝|sinx|，f（x+π）＝|sin（x+π）|＝|sinx|，所以最小正周期为π，所以A正确；
B中，y＝sinx的最小正周期为2π，所以B不正确；
C中，最小正周期为t＝＝2π所以C不正确；
D中，最小正周期为T＝＝，所以D不正确，
故选：A．
2．（2022秋•贵州月考）已知函数的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．[4π，6π）
【答案】C。
【解答】解：因为x∈[0，1]，所以ωx+∈[，ω+]，
因为f（x）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
所以4π+≤ω+＜6π+，解得≤ω＜．
故选：C．
3．（2022秋•东城区校级月考）如图，曲线C为函数y＝sinx（0≤x≤）的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v）．若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（ ）
A．f（m）在区间（，π）上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点（，0）中心对称
【答案】B。
【解答】解：由题意得：，
所以f（m）＝n﹣v＝sinm﹣cs2m＝2sin2m+sinm﹣1，
由得，
令t＝sinm，则y＝2t2+t﹣1，t∈[﹣，1]，
因为t＝sinm在上单调递减，y＝2t2+t﹣1在（0，1）上单调递增，
所以f（m）在区间上是减函数，故A错误；
令f（m）＝2sin2m+sinm﹣1＝0，得或sinm＝﹣1，解得或，故B正确；
因为，所以f（m）的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，所以 f（m） 不可能关于点 中心对称，故D错误；
故选：B．
4．（2022秋•安康期中）函数f（x）＝sinx在区间（0，22π）上可找到n个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】C。
【解答】解：设，
则条件等价为f（x）＝kx的根的个数，作出函数f（x）和y＝kx的图象，
由图象可知当k＜0时，y＝kx与函数y＝f（x）的图象最多有22个交点，k＝0时，有21个交点，k＞0时，最多有21个交点，
即n的最大值为22．
故选：C．
5．（2022秋•泰兴市期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，）），直线x＝和点（﹣，0）分别是f（x）图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．函数f（x）在区间[﹣，]上为单调函数
D．函数f（x）在区间[0，6π]上有12个零点
【答案】D。
【解答】解：因为由题意可得＝+＝，可得T＝π＝，可得ω＝2，
再结合2×+φ＝kπ+，k∈Z，求得φ＝kπ+，k∈Z，
又因为φ∈（0，），
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+），
对于A，f（x+）＝sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cs2x为偶函数，故错误；
对于B，f（﹣）＝sin（﹣+）≠0，故错误；
对于C，因为f（x）关于x＝对称，所以f（x）在[﹣，]与[，]单调性不同，故错误；
对于D，f（x）＝0，则2x+＝kπ，即x＝﹣+，k∈Z，
又x∈[0，6π]，
所以x＝﹣+，k＝1，2，，共12个零点，故正确．
故选：D．
6．（2022秋•烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：∵函数的最小正周期为T＝，若，
则π＜＜，∴＜ω＜2．
∵（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，
∴b＝1，ω•π+＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝（此时，k＝1），f（x）＝cs（x+）+1，
则＝cs（+）+1＝cs＝1＝1﹣，
故选：A．
7．（2022秋•相城区校级月考）经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为y＝sinωx．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期．后半期为低潮期，生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小南在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（ ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪节律与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为p（x），q（x），则p'（322）•q'（322）＜0
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
【答案】D。
【解答】解：对于A，智力节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷33＝9……25．
故第322天时y＝sin（×25）＝sin＜0，所以智力节律处于低潮期，故A正确；
对于B，情绪节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷28＝1……14，
故第322天时y＝sin（×14）＝0，故智力节律处于临界日；
体力节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷23＝14，故第322天时y＝sin0＝0，故体力节律处于临界日，故B正确；
对于C，由题意p（x）＝sinx，q（x）＝sinx，故p′（x）＝csx，q′（x）＝csx，
p'（322）•q'（322）＝p'（14）•q'（0）＜0，故C正确；
对于D，预测与实际不一定相同，且重要工作的影响因素很多，故人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义不成立，故D错误．
故选：D．
8．（2022秋•安徽月考）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．直线为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）在上单调递减
【答案】D。
【解答】解：＝f（x），故3π为函数f（x）的一个周期，
当时，，
当时，；
作出函数f（x）的大致图象，
观察可知，x＝3π为函数f（x） 的最小正周期，故A正确；
＝2|sin（﹣）|+2|cs（﹣）|＝2|cs|+2|cs[﹣（+）]|＝2|cs|+2|sin（+）|＝f（x），
即f（π﹣x）＝f（x），故直线为函数f（x）图象的一条对称轴，故B正确；
因为函数的最小正周期为3π，
所以函数在上的图象与其在上的图象相同，
当时，，此时，
所以函数在单调递增，故C正确；
函数在上的图象与其在上的图象相同，
当时，，此时，
所以函数在单调递减，故D错误；
故选：D．
9．（2022秋•金凤区校级期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中），恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：
①f（x）是偶函数；②；③ω是奇数；④ω的最大值为3．
其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】C。
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调，
故−（−）＝≤，解得T＝≥，
所以0＜ω≤8，
因为f（﹣）＝sin（﹣ω+φ）＝0，可得﹣ω+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝ω+kπ，k∈Z，
所以当x∈时，可得ωx+φ∈（+kπ，+kπ），k∈Z，
可得0＜≤，
所以≤，可得ω≤3，
所以0＜ω≤3．即最大值为3，故④正确．
由于f（x）≤|f（）|恒成立，所以f（）＝±1，可得x＝为函数的对称轴，
所以f（0）＝f（）故②正确；
因为 ，整理得−（−）＝＝（ +）T，（R∈N），
若ω＝1时，φ＝；若ω＝3，5时，φ无解，当ω＝7时，φ＝﹣，且f（x）区间上不单调，
所以T＝，可得ω＝2R+1（R∈N），可得ω是奇数，故③正确；
可得f（0）＝sinφ≠±1，f（x）不是偶函数，
所以①错误．
故选：C．
10．（2022•安徽开学）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C。
【解答】解：由题意得，，则，∴，∴f（x）＝4sin（3x+φ）．
∵，∴，
又，∴，
∴，令，
解得，
∴f（x）的单调递增区间为．
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•杭州模拟）满足，x∈[0，π]的角x＝ ．
【答案】。
【解答】解：因为，x∈[0，π]，
所以．
故答案为：．
12．（2022•松江区校级开学）若函数y＝sin（πx﹣）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：由x∈[0，m]，知πx﹣∈[﹣，mπ﹣]，
因为函数y在[0，m]上单调递增，所以﹣＜mπ﹣≤，即0＜m≤，
所以m的最大值为．
故答案为：．
13．（2022春•昌平区校级月考）函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是 π ．
【答案】π。
【解答】解：函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是＝＝π．
故答案为：π．
14．（2022秋•赣州期中）已知函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，若0＜φ＜4π，则φ的最大值是 ．
【答案】。
【解答】解：∵函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，
∴得，又因为0＜φ＜4π，
可得φ的最大值是，
故答案为：．
15．（2022秋•温州月考）在函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则φ可以等于 （写出一个值即可）．
【答案】。
【解答】解：由于函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，
可以令φ＝π，满足f（）＝0即可，
将φ＝π，则2x﹣π＝kπ，（k∈Z），
整理得x＝，（k∈Z），
当k＝0时，x＝距离原点最近，所以，所以符合点离原点最近．
故答案为：．
16．（2022秋•东城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（），给出下面三个论断：
①f（x）在区间上单调递增；
②f（x）的图象关于点中心对称：
③f（x）的图象关于直线轴对称，
以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ②⇒①③ .（用论断的序号表示为形如“④⇒⑤⑥”的形式）
【答案】②⇒①③。
【解答】解：由条件②可知：2×+φ＝kπ，k∈Z，
则，k∈Z，
又，
则，
则f（x）＝sin（2x+），
令，k∈Z，
则，k∈Z，
即函数f（x）的增区间为，k∈Z，
又⊆，k∈Z，
即f（x）在区间上单调递增；
令，k∈Z，
即，k∈Z，
即函数f（x）的对称轴方程为，k∈Z，
即f（x）的图象关于直线轴对称，
故答案为：②⇒①③．
17．（2022秋•宁德期中）已知函数f（x）＝6cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对∀x∈R都有，且是f（x）的一个零点．
（1）若f（x）的周期大于π，则ω＝ ；
（2）若y＝f（x）﹣6在上有且只有一个零点，则ω的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）。
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，
由f（x）的周期大于π，则T＝＞π，即0＜ω＜2，
当k1＝k2＝0时，，不符合题意，舍去，
当k1＝1，k2＝0时，，
由f（x）的周期碁在于π，则T＝，即0＜ω＜2，
当k1＝k2＝0时，，不符合题意，舍去，
当k1＝1，k2＝0时，，符合题意．
（2）由y＝f（x）﹣6在（，）上有且只有一个零点，
则方程6cs（ωx+φ）﹣6＝0在（，）有且只有一个根，
∵﹣1≤cs（ωx+φ）≤1，∴f（x）在（）上有且只有一个x0，
使得函数取得最大值，则，
解得ω＜40．
由（1）可知，令，
则，且k′＝k+2k2，∴k，k′同奇偶，
由ω＜40，则，解得，即k′≤13，
当k′＝13时，，k为奇数，则φ＝，∴f（x）＝6cs（），
由x∈（），则∈（），
当＝4π，或，
即x＝或x＝时，函数f（x）取得最大值，不符合题意．
当k′＝13时，ω＝，k为奇数时，，即f（x）＝6cs（），
由x∈（，），则∈（），
当＝4π，即x＝时，函数f（x）取得最大值，符合题意．
故答案为：（1）；（2）．
18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是 （1）（2）（4） ．
（1）f（x）在区间上单调递增；
（2）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有3个极大值点；
（3）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点；
（4）ω的取值范围是．
【答案】（1）（2）（4）。
【解答】解：当x∈[0，2π]时，，
要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则，
解得，则（4）正确；
作出函数f（x）的可能图象如下：
由图象可知，（2）正确，（3）错误；
当时，，
由余弦函数的性质可知，f（x）在区间上单调递增，（1）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
三、解答题。
19．（2022春•房山区期末）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcsx+cs2x
＝2（sin2x+cs2x）＝2sin（2x+），
所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π．
（Ⅱ）当时，函数f（x）有最大值2，
当时，函数f（x）有最小值﹣2，
所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]．
20．（2022•嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
【解答】解：（1）函数y＝f（x）•f（﹣x）＝cs2x﹣sin2x＝cs2x，
所以最小正周期T＝＝π；
令2x＝kπ+（k∈Z），解得x＝+（k∈Z），
所以对称中心为（+，0）（k∈Z）；
（2）函数＝（sinx﹣csx）2+[sin（x+）﹣cs（x+）]2＝1﹣sin2x+1﹣sin（2x+）＝2﹣sin2x﹣cs2x＝2﹣sin（2x+），
因为x∈，
所以2x+∈[﹣，]，
故sin（2x+）∈[﹣，1]，
故y∈[2﹣，3]．
21．（2022春•确山县校级月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A、ω及φ的值；
（2）若α∈（﹣，0），且f（+）＝，求tanα的值．
【解答】解：（1）由函数的图象可得A＝1，T＝4×（）＝π，T＝，
解得ω＝2．
图象经过（，0），0＝sin（2×+φ），|φ|＜），
φ＝，
（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+），
∴f（+）＝sin（α++）＝csα＝，
∵α∈（﹣，0），
∴sinα＝﹣，
∴tanα＝＝﹣
22．（2022•兴平市校级二模）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若x∈R，求当函数f（x）取得最大值时自变量x的集合．
【解答】解：（1）＝＝1+cs2x+＝2sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π．
（2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x+）+1，
当2x+＝+2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，
即x＝+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，
故函数f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x＝+kπ，k∈Z}．
23．（2022秋•鹿城区校级月考）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcs（x+）+
＝2sinx（csx﹣sinx）+
＝sinxcsx﹣sin2x+
＝sin2x﹣（1﹣cs2x）+
＝sin（2x+），
令，
解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（2）“f（x）+m≤0对恒成立”等价于“当时，f（x）max+m≤0”
因为，所以，
当，即时，f（x）的最大值为．
所以1+m≤0，得m≤﹣1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
24．（2022秋•和平区校级月考）已知向量，，函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若f（C）恰好为函数f（x）的最大值，且此时CD＝f（C），求3a+4b的最小值．
【解答】解：（1）向量，，
所以＝，
所以函数y＝f（x）的最小正周期．
（2）由（1）可知，
当，即时，f（x）取得最大值为2，
则，CD＝2，
因为CD平分∠ACB，所以，
则点D分别到AC，BC的距离，
由S△ABC＝S△ACD+S△BCD，则，
即，整理可得，，当且仅当，即时，等号成立，
故3a+4b最小值为．
25．（2022秋•平山区校级月考）在①函数f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]；②函数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_____，函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求cs2θ的值．
【解答】解：（1）若选条件①，f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]＝（cs2ωx+sin2ωxcs﹣cs2ωxsin）＝（cs2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），……（3分）
又函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为，
∴T＝＝π，∴ω＝1，……（5分）
∴f（x）＝sin（2x+）．
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；……（7分）
若选条件②，f（x）＝csωxsin（ωx+）﹣＝csωx（sinωxcs+csωxsin）﹣＝sin2ωx+cs2ωx＝（cs2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），……（3分）
即f（x）＝sin（2ωx+），又函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为，T＝＝π，
∴ω＝1，……（5分）
∴f（x）＝sin（2x+）．
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；……（7分）
（2）因为f（x）＝sin（2x+），且，
所以f（θ）＝sin（2θ+）＝，又，
所以sin（2θ+）＝，……（8分），
因为，所以＜2θ+＜，……（9分）
所以＝＝，……（10分）
所以＝+＝＝．……（12分）
26．（2022春•长宁区校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcsx的“跟随向量”．
（1）写出函数f（x）＝2csx+sinx的“跟随向量”的单位向量的坐标；
（2）记的“跟随函数”为f（x），若函数，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟随函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，求此时tan2x0的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）＝2csx+sinx，知＝（1，2），所以||＝，
其对应的单位向量为，坐标为（，）．
（2）由题意知，f（x）＝csx，
所以＝csx+|sinx|+1＝，
所以g（x）在[0，），（π，）上单调递增，在（，π），（，2π]上单调递减，
又g（0）＝2，g（）＝3，g（π）＝0，g（）＝3，g（2π）＝2，
故要使函数g（x）在x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，则实数k的取值范围为[2，3）．
（3）f（x）＝asinx+bcsx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，
因为f（x）在x＝x0处取得最大值，
所以sin（x0+φ）＝，所以x0+φ＝+2kπ，k∈Z，即x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，
所以tanx0＝tan（﹣φ+2kπ）＝ctφ＝，
故tan2x0＝＝＝，
令m＝，则tan2x0＝，
因为a2﹣5ab+6b2+2＝0，所以a2（1﹣5•+6•）+2＝0，即（6m2﹣5m+1）a2+2＝0，
由Δ＝﹣8（6m2﹣5m+1）≥0，得≤m≤，
而函数h（m）＝在m∈[，]上单调递减，
所以h（m）max＝h（）＝﹣，h（m）min＝h（）＝﹣，即h（m）∈[﹣，﹣]，
所以tan2x0的取值范围为[﹣，﹣]．
1．（2022春•鄠邑区校级月考）下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cs4x
2．（2022秋•贵州月考）已知函数的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．[4π，6π）
3．（2022秋•东城区校级月考）如图，曲线C为函数y＝sinx（0≤x≤）的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v）．若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（ ）
A．f（m）在区间（，π）上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点（，0）中心对称
4．（2022秋•安康期中）函数f（x）＝sinx在区间（0，22π）上可找到n个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
5．（2022秋•泰兴市期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，）），直线x＝和点（﹣，0）分别是f（x）图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．函数f（x）在区间[﹣，]上为单调函数
D．函数f（x）在区间[0，6π]上有12个零点
6．（2022秋•烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•相城区校级月考）经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为y＝sinωx．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期．后半期为低潮期，生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小南在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（ ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪节律与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为p（x），q（x），则p'（322）•q'（322）＜0
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
8．（2022秋•安徽月考）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．直线为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）在上单调递减
9．（2022秋•金凤区校级期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中），恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：
①f（x）是偶函数；②；③ω是奇数；④ω的最大值为3．
其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．（2022•安徽开学）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题。
11．（2022•杭州模拟）满足，x∈[0，π]的角x＝ ．
12．（2022•松江区校级开学）若函数y＝sin（πx﹣）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为 ．
13．（2022春•昌平区校级月考）函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是 ．
14．（2022秋•赣州期中）已知函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，若0＜φ＜4π，则φ的最大值是 ．
15．（2022秋•温州月考）在函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则φ可以等于 （写出一个值即可）．
16．（2022秋•东城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（），给出下面三个论断：
①f（x）在区间上单调递增；
②f（x）的图象关于点中心对称：
③f（x）的图象关于直线轴对称，
以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用论断的序号表示为形如“④⇒⑤⑥”的形式）
17．（2022秋•宁德期中）已知函数f（x）＝6cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对∀x∈R都有，且是f（x）的一个零点．
（1）若f（x）的周期大于π，则ω＝ ；
（2）若y＝f（x）﹣6在上有且只有一个零点，则ω的最大值为 ．
18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是 ．
（1）f（x）在区间上单调递增；
（2）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有3个极大值点；
（3）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点；
（4）ω的取值范围是．
三、解答题。
19．（2022春•房山区期末）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
20．（2022•嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
21．（2022春•确山县校级月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A、ω及φ的值；
（2）若α∈（﹣，0），且f（+）＝，求tanα的值．
22．（2022•兴平市校级二模）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若x∈R，求当函数f（x）取得最大值时自变量x的集合．
23．（2022秋•鹿城区校级月考）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
24．（2022秋•和平区校级月考）已知向量，，函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若f（C）恰好为函数f（x）的最大值，且此时CD＝f（C），求3a+4b的最小值．
25．（2022秋•平山区校级月考）在①函数f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]；②函数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_____，函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求cs2θ的值．
26．（2022春•长宁区校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcsx的“跟随向量”．
（1）写出函数f（x）＝2csx+sinx的“跟随向量”的单位向量的坐标；
（2）记的“跟随函数”为f（x），若函数，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟随函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，求此时tan2x0的取值范围．
专题5.4 三角函数的图象与性质（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•鄠邑区校级月考）下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cs4x
【答案】A。
【解答】解：A中，令y＝f（x）＝|sinx|，f（x+π）＝|sin（x+π）|＝|sinx|，所以最小正周期为π，所以A正确；
B中，y＝sinx的最小正周期为2π，所以B不正确；
C中，最小正周期为t＝＝2π所以C不正确；
D中，最小正周期为T＝＝，所以D不正确，
故选：A．
2．（2022秋•贵州月考）已知函数的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．[4π，6π）
【答案】C。
【解答】解：因为x∈[0，1]，所以ωx+∈[，ω+]，
因为f（x）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
所以4π+≤ω+＜6π+，解得≤ω＜．
故选：C．
3．（2022秋•东城区校级月考）如图，曲线C为函数y＝sinx（0≤x≤）的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v）．若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（ ）
A．f（m）在区间（，π）上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点（，0）中心对称
【答案】B。
【解答】解：由题意得：，
所以f（m）＝n﹣v＝sinm﹣cs2m＝2sin2m+sinm﹣1，
由得，
令t＝sinm，则y＝2t2+t﹣1，t∈[﹣，1]，
因为t＝sinm在上单调递减，y＝2t2+t﹣1在（0，1）上单调递增，
所以f（m）在区间上是减函数，故A错误；
令f（m）＝2sin2m+sinm﹣1＝0，得或sinm＝﹣1，解得或，故B正确；
因为，所以f（m）的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，所以 f（m） 不可能关于点 中心对称，故D错误；
故选：B．
4．（2022秋•安康期中）函数f（x）＝sinx在区间（0，22π）上可找到n个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】C。
【解答】解：设，
则条件等价为f（x）＝kx的根的个数，作出函数f（x）和y＝kx的图象，
由图象可知当k＜0时，y＝kx与函数y＝f（x）的图象最多有22个交点，k＝0时，有21个交点，k＞0时，最多有21个交点，
即n的最大值为22．
故选：C．
5．（2022秋•泰兴市期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，）），直线x＝和点（﹣，0）分别是f（x）图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．函数f（x）在区间[﹣，]上为单调函数
D．函数f（x）在区间[0，6π]上有12个零点
【答案】D。
【解答】解：因为由题意可得＝+＝，可得T＝π＝，可得ω＝2，
再结合2×+φ＝kπ+，k∈Z，求得φ＝kπ+，k∈Z，
又因为φ∈（0，），
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+），
对于A，f（x+）＝sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cs2x为偶函数，故错误；
对于B，f（﹣）＝sin（﹣+）≠0，故错误；
对于C，因为f（x）关于x＝对称，所以f（x）在[﹣，]与[，]单调性不同，故错误；
对于D，f（x）＝0，则2x+＝kπ，即x＝﹣+，k∈Z，
又x∈[0，6π]，
所以x＝﹣+，k＝1，2，，共12个零点，故正确．
故选：D．
6．（2022秋•烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：∵函数的最小正周期为T＝，若，
则π＜＜，∴＜ω＜2．
∵（π，2）是y＝f（x）图象的一个最高点，
∴b＝1，ω•π+＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝（此时，k＝1），f（x）＝cs（x+）+1，
则＝cs（+）+1＝cs＝1＝1﹣，
故选：A．
7．（2022秋•相城区校级月考）经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为y＝sinωx．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期．后半期为低潮期，生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小南在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（ ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪节律与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为p（x），q（x），则p'（322）•q'（322）＜0
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
【答案】D。
【解答】解：对于A，智力节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷33＝9……25．
故第322天时y＝sin（×25）＝sin＜0，所以智力节律处于低潮期，故A正确；
对于B，情绪节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷28＝1……14，
故第322天时y＝sin（×14）＝0，故智力节律处于临界日；
体力节律变化曲线为y＝sinx，因为322÷23＝14，故第322天时y＝sin0＝0，故体力节律处于临界日，故B正确；
对于C，由题意p（x）＝sinx，q（x）＝sinx，故p′（x）＝csx，q′（x）＝csx，
p'（322）•q'（322）＝p'（14）•q'（0）＜0，故C正确；
对于D，预测与实际不一定相同，且重要工作的影响因素很多，故人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义不成立，故D错误．
故选：D．
8．（2022秋•安徽月考）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．直线为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）在上单调递减
【答案】D。
【解答】解：＝f（x），故3π为函数f（x）的一个周期，
当时，，
当时，；
作出函数f（x）的大致图象，
观察可知，x＝3π为函数f（x） 的最小正周期，故A正确；
＝2|sin（﹣）|+2|cs（﹣）|＝2|cs|+2|cs[﹣（+）]|＝2|cs|+2|sin（+）|＝f（x），
即f（π﹣x）＝f（x），故直线为函数f（x）图象的一条对称轴，故B正确；
因为函数的最小正周期为3π，
所以函数在上的图象与其在上的图象相同，
当时，，此时，
所以函数在单调递增，故C正确；
函数在上的图象与其在上的图象相同，
当时，，此时，
所以函数在单调递减，故D错误；
故选：D．
9．（2022秋•金凤区校级期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中），恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：
①f（x）是偶函数；②；③ω是奇数；④ω的最大值为3．
其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】C。
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调，
故−（−）＝≤，解得T＝≥，
所以0＜ω≤8，
因为f（﹣）＝sin（﹣ω+φ）＝0，可得﹣ω+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝ω+kπ，k∈Z，
所以当x∈时，可得ωx+φ∈（+kπ，+kπ），k∈Z，
可得0＜≤，
所以≤，可得ω≤3，
所以0＜ω≤3．即最大值为3，故④正确．
由于f（x）≤|f（）|恒成立，所以f（）＝±1，可得x＝为函数的对称轴，
所以f（0）＝f（）故②正确；
因为 ，整理得−（−）＝＝（ +）T，（R∈N），
若ω＝1时，φ＝；若ω＝3，5时，φ无解，当ω＝7时，φ＝﹣，且f（x）区间上不单调，
所以T＝，可得ω＝2R+1（R∈N），可得ω是奇数，故③正确；
可得f（0）＝sinφ≠±1，f（x）不是偶函数，
所以①错误．
故选：C．
10．（2022•安徽开学）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C。
【解答】解：由题意得，，则，∴，∴f（x）＝4sin（3x+φ）．
∵，∴，
又，∴，
∴，令，
解得，
∴f（x）的单调递增区间为．
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•杭州模拟）满足，x∈[0，π]的角x＝ ．
【答案】。
【解答】解：因为，x∈[0，π]，
所以．
故答案为：．
12．（2022•松江区校级开学）若函数y＝sin（πx﹣）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：由x∈[0，m]，知πx﹣∈[﹣，mπ﹣]，
因为函数y在[0，m]上单调递增，所以﹣＜mπ﹣≤，即0＜m≤，
所以m的最大值为．
故答案为：．
13．（2022春•昌平区校级月考）函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是 π ．
【答案】π。
【解答】解：函数f（x）＝cs（2x+）的最小正周期是＝＝π．
故答案为：π．
14．（2022秋•赣州期中）已知函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，若0＜φ＜4π，则φ的最大值是 ．
【答案】。
【解答】解：∵函数f（x）＝2cs（2x+φ）图象上的一条对称轴为，
∴得，又因为0＜φ＜4π，
可得φ的最大值是，
故答案为：．
15．（2022秋•温州月考）在函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则φ可以等于 （写出一个值即可）．
【答案】。
【解答】解：由于函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（φ＞0）图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，
可以令φ＝π，满足f（）＝0即可，
将φ＝π，则2x﹣π＝kπ，（k∈Z），
整理得x＝，（k∈Z），
当k＝0时，x＝距离原点最近，所以，所以符合点离原点最近．
故答案为：．
16．（2022秋•东城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（），给出下面三个论断：
①f（x）在区间上单调递增；
②f（x）的图象关于点中心对称：
③f（x）的图象关于直线轴对称，
以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ②⇒①③ .（用论断的序号表示为形如“④⇒⑤⑥”的形式）
【答案】②⇒①③。
【解答】解：由条件②可知：2×+φ＝kπ，k∈Z，
则，k∈Z，
又，
则，
则f（x）＝sin（2x+），
令，k∈Z，
则，k∈Z，
即函数f（x）的增区间为，k∈Z，
又⊆，k∈Z，
即f（x）在区间上单调递增；
令，k∈Z，
即，k∈Z，
即函数f（x）的对称轴方程为，k∈Z，
即f（x）的图象关于直线轴对称，
故答案为：②⇒①③．
17．（2022秋•宁德期中）已知函数f（x）＝6cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对∀x∈R都有，且是f（x）的一个零点．
（1）若f（x）的周期大于π，则ω＝ ；
（2）若y＝f（x）﹣6在上有且只有一个零点，则ω的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）。
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，
由f（x）的周期大于π，则T＝＞π，即0＜ω＜2，
当k1＝k2＝0时，，不符合题意，舍去，
当k1＝1，k2＝0时，，
由f（x）的周期碁在于π，则T＝，即0＜ω＜2，
当k1＝k2＝0时，，不符合题意，舍去，
当k1＝1，k2＝0时，，符合题意．
（2）由y＝f（x）﹣6在（，）上有且只有一个零点，
则方程6cs（ωx+φ）﹣6＝0在（，）有且只有一个根，
∵﹣1≤cs（ωx+φ）≤1，∴f（x）在（）上有且只有一个x0，
使得函数取得最大值，则，
解得ω＜40．
由（1）可知，令，
则，且k′＝k+2k2，∴k，k′同奇偶，
由ω＜40，则，解得，即k′≤13，
当k′＝13时，，k为奇数，则φ＝，∴f（x）＝6cs（），
由x∈（），则∈（），
当＝4π，或，
即x＝或x＝时，函数f（x）取得最大值，不符合题意．
当k′＝13时，ω＝，k为奇数时，，即f（x）＝6cs（），
由x∈（，），则∈（），
当＝4π，即x＝时，函数f（x）取得最大值，符合题意．
故答案为：（1）；（2）．
18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是 （1）（2）（4） ．
（1）f（x）在区间上单调递增；
（2）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有3个极大值点；
（3）f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点；
（4）ω的取值范围是．
【答案】（1）（2）（4）。
【解答】解：当x∈[0，2π]时，，
要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则，
解得，则（4）正确；
作出函数f（x）的可能图象如下：
由图象可知，（2）正确，（3）错误；
当时，，
由余弦函数的性质可知，f（x）在区间上单调递增，（1）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
三、解答题。
19．（2022春•房山区期末）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcsx+cs2x
＝2（sin2x+cs2x）＝2sin（2x+），
所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π．
（Ⅱ）当时，函数f（x）有最大值2，
当时，函数f（x）有最小值﹣2，
所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]．
20．（2022•嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
【解答】解：（1）函数y＝f（x）•f（﹣x）＝cs2x﹣sin2x＝cs2x，
所以最小正周期T＝＝π；
令2x＝kπ+（k∈Z），解得x＝+（k∈Z），
所以对称中心为（+，0）（k∈Z）；
（2）函数＝（sinx﹣csx）2+[sin（x+）﹣cs（x+）]2＝1﹣sin2x+1﹣sin（2x+）＝2﹣sin2x﹣cs2x＝2﹣sin（2x+），
因为x∈，
所以2x+∈[﹣，]，
故sin（2x+）∈[﹣，1]，
故y∈[2﹣，3]．
21．（2022春•确山县校级月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A、ω及φ的值；
（2）若α∈（﹣，0），且f（+）＝，求tanα的值．
【解答】解：（1）由函数的图象可得A＝1，T＝4×（）＝π，T＝，
解得ω＝2．
图象经过（，0），0＝sin（2×+φ），|φ|＜），
φ＝，
（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+），
∴f（+）＝sin（α++）＝csα＝，
∵α∈（﹣，0），
∴sinα＝﹣，
∴tanα＝＝﹣
22．（2022•兴平市校级二模）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若x∈R，求当函数f（x）取得最大值时自变量x的集合．
【解答】解：（1）＝＝1+cs2x+＝2sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π．
（2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x+）+1，
当2x+＝+2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，
即x＝+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，
故函数f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x＝+kπ，k∈Z}．
23．（2022秋•鹿城区校级月考）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcs（x+）+
＝2sinx（csx﹣sinx）+
＝sinxcsx﹣sin2x+
＝sin2x﹣（1﹣cs2x）+
＝sin（2x+），
令，
解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（2）“f（x）+m≤0对恒成立”等价于“当时，f（x）max+m≤0”
因为，所以，
当，即时，f（x）的最大值为．
所以1+m≤0，得m≤﹣1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
24．（2022秋•和平区校级月考）已知向量，，函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若f（C）恰好为函数f（x）的最大值，且此时CD＝f（C），求3a+4b的最小值．
【解答】解：（1）向量，，
所以＝，
所以函数y＝f（x）的最小正周期．
（2）由（1）可知，
当，即时，f（x）取得最大值为2，
则，CD＝2，
因为CD平分∠ACB，所以，
则点D分别到AC，BC的距离，
由S△ABC＝S△ACD+S△BCD，则，
即，整理可得，，当且仅当，即时，等号成立，
故3a+4b最小值为．
25．（2022秋•平山区校级月考）在①函数f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]；②函数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_____，函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求cs2θ的值．
【解答】解：（1）若选条件①，f（x）＝[sin（2ωx+）+sin（2ωx﹣）]＝（cs2ωx+sin2ωxcs﹣cs2ωxsin）＝（cs2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），……（3分）
又函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为，
∴T＝＝π，∴ω＝1，……（5分）
∴f（x）＝sin（2x+）．
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；……（7分）
若选条件②，f（x）＝csωxsin（ωx+）﹣＝csωx（sinωxcs+csωxsin）﹣＝sin2ωx+cs2ωx＝（cs2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），……（3分）
即f（x）＝sin（2ωx+），又函数f（x）的图像相邻两对称中心之间的距离为，T＝＝π，
∴ω＝1，……（5分）
∴f（x）＝sin（2x+）．
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；……（7分）
（2）因为f（x）＝sin（2x+），且，
所以f（θ）＝sin（2θ+）＝，又，
所以sin（2θ+）＝，……（8分），
因为，所以＜2θ+＜，……（9分）
所以＝＝，……（10分）
所以＝+＝＝．……（12分）
26．（2022春•长宁区校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcsx的“跟随向量”．
（1）写出函数f（x）＝2csx+sinx的“跟随向量”的单位向量的坐标；
（2）记的“跟随函数”为f（x），若函数，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟随函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，求此时tan2x0的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）＝2csx+sinx，知＝（1，2），所以||＝，
其对应的单位向量为，坐标为（，）．
（2）由题意知，f（x）＝csx，
所以＝csx+|sinx|+1＝，
所以g（x）在[0，），（π，）上单调递增，在（，π），（，2π]上单调递减，
又g（0）＝2，g（）＝3，g（π）＝0，g（）＝3，g（2π）＝2，
故要使函数g（x）在x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，则实数k的取值范围为[2，3）．
（3）f（x）＝asinx+bcsx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，
因为f（x）在x＝x0处取得最大值，
所以sin（x0+φ）＝，所以x0+φ＝+2kπ，k∈Z，即x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，
所以tanx0＝tan（﹣φ+2kπ）＝ctφ＝，
故tan2x0＝＝＝，
令m＝，则tan2x0＝，
因为a2﹣5ab+6b2+2＝0，所以a2（1﹣5•+6•）+2＝0，即（6m2﹣5m+1）a2+2＝0，
由Δ＝﹣8（6m2﹣5m+1）≥0，得≤m≤，
而函数h（m）＝在m∈[，]上单调递减，
所以h（m）max＝h（）＝﹣，h（m）min＝h（）＝﹣，即h（m）∈[﹣，﹣]，
所以tan2x0的取值范围为[﹣，﹣]．
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