八年级上册数学培优试题及答案

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1.【答案】（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．解：（1）当时，，，又，在和中，．，．，即线段与线段垂直．（2）①若，则，，则，解得：；②若，则，，则，解得：；综上所述，存在或使得与全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．2.【答案】（1）存在，当秒时，四边形是平行四边形，理由见解析；（2）或15秒，理由见解：（1）四边形是平行四边形，，当从运动到时，，解得当秒时，四边形是平行四边形；（2）若点、分别沿、运动时，，即，解得（秒若点返回时，，则解得（秒．故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；（3）当时作于，则，，秒；当时，，，解得（秒，综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．3.【答案】（1），见解析；（2）且，见解析；（3）见解析【分析】（1）根据与是对顶三角形求出，由平行线的判定定理即可得出结论；（2）由得，可证，由全等三角形的性质得出，，进而可得，即可得出结论；（3）由题可证，由全等三角形的性质得，，可证，得出，进而求出，即可得出结论．【详解】（1）．理由：∵与是对顶三角形，∴，，，∴，，∴，∴；（2），且．理由：∵，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，∴，∴，即，设AC，BD相交于点M，则，∴，综上所述，，且；（3）证明：∵E为AD的中点，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．【点睛】本题是新定义题型，考查等腰三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键．4.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明即可得出结论；（2）①作交于，证明即可得出结论；②作交延长线于，连接，证明，证明为含的直角三角形即可得出答案．【详解】解：（1）∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴,在和中，，∴，∴，∵AC＝BC，∴，∵∠ADC＝60°，∠ACB＝90°，∴，∴，∴,∴，∴；（2）①作交于，∴，∴，∴，∵，∠CED＝45°，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，，∴， ∴BE⊥AE；②作交延长线于，连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，,∵，∴， ∵∠BED＝30°，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，含直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线证明全等是解题的关键．5【答案】（1）见解析；（2）①②③；（3），证明见解析【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°−∠ADB−∠DGO＝180°−∠AEC−∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正确，在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°−∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°−∠AOC＝60°，③正确，连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF＋OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC＋∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）∠A＋∠BED＝180°．如图3，证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，∴△BDC是等边三角形，∴BD＝BC，∠DBC＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BE，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BEC＝∠A，∵∠BED＋∠BEC＝180°，∴∠A＋∠BED＝180°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．6.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据已知条件证明即可得证；（2）证明，再证明可得，进而证明△CMN为等边三角形；（3）由（2）可知，又对顶角相等，根据三角形内角和定理可得，结合条件，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据，可得，证明，即可得到，设等边的边长为，等边的边长为，即可得到．【详解】（1）和是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，，，，，（SAS），（2），即，，，在和中，，，又，△CMN为等边三角形；（3）如图，又在中，，，，又即，，，，设等边的边长为，等边的边长为则【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．7.【答案】（1）4；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质得出，，可得出是等边三角形，，利用直角三角形中的性质即可得出答案；（2）延长至点，使，连接，由（1）得，可得，利用全等三角形的性质及各角之间的关系可得：，可得出：，得出，即可证明结论；（3）过点D作，可证，利用全等三角形的性质及各角之间的关系得出，可证，得出，求出的周长为，代入已知条件即可．【详解】解：（1）是等边三角形，．，，．．在和中，∵ ．，．，是等边三角形，．在中，，；（2），理由如下：延长至点，使，连接．由（1）得，∴在和中，．，．，，即，．在和中， ．，；（3）如图所示：过点D作，在和中，．，．，，，．在和中， ．∴， ∴的周长为：，∵，，∴的周长为：．【点睛】题目主要考查等边三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线图形是解题关键．8.【答案】（1）60°；（2）S；（3）a+2b，理由见解析【分析】（1）由等边三角形的性质AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，可证△BDC≌△CEA，由三角形的外角性质可求∠AFD的度数；（2）由等边三角形的性质可得BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，可证△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形ANQF的面积；（3）在AC上截取AM=CE，由题意可证△BHC≌△CFA，可得BH=CF=b，AF=CH=a，∠PHB=60°，即可求PC的长．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，∴△BDC≌△CEA（SAS），∴∠CAE=∠BCD，∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB，∴∠AFD=60°；（2）∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠ABM=∠BCD，∠AMB=∠AEC=∠BDC，且BD=CE，∴△BDQ≌△CEF（ASA），∴S△BDQ=S△CEF，∵BD=DN，∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，∵D，E是AB，BC上三等分点，∴S△BDC=S△CEA=S△ABC=S，∵四边形ANQF的面积=S△ABC-S△AEC-S△DNQ-S四边形DFEB=S-S-S=S；（3）PC=a+2b．理由如下：如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，∵AM=CE=BD，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB．∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，且∠ABC=∠ACE，∴∠MBC=∠ACD，且BC=AC，∠EAC=∠BCD，∴△BHC≌△CFA（ASA），∴BH=CF=b，AF=CH=a，∵∠PHB=∠MBH+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC，∴∠PHB=60°，且∠BPD=30°，∴∠PBH=90°，且∠BPH=30°，∴PH=2BH=2b，∴PC=PH+HC=a+2b．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9.【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）；（4）当点运动3秒或5秒时与全等．【分析】（1）根据题意首先证明，在采用等量替换即可证明；（2）根据题意首先证明，在采用等量替换即可证明；（3）依据（2）中全等可得，，代入题中已知条件，根据三角形面积公式分别表示出来和，然后化解求值即可；（4）只需要使得，可得与全等，只需要根据点P和点Q的不同位置进行分类讨论即可.【详解】（1）.理由如下：∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴.（2）..理由如下：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）∵AE、EM、MD的长度分别为a，b，c，由（2）得：，，∴，，∵，，∴，，∴；（4）解：①当点在上，点在上时，，，解得；②当点在上，点在上时，，解得；③当点在上，点在上时，（）解得：(舍)；④当点运动到点，点在上时，（ ），解得（舍）.所以当点运动3秒或5秒时与全等．【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，三角形面积公式的应用及分类讨论思想，熟练掌握运用知识点并且注意分类讨论是解题关键．10【答案】（1）见解析；（2）存在，（+4）cm；（3）2s或20s【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC=BC=64，CD=CE，∠ACB=∠DCE，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△CDA≌△CEB即可；（2）当6＜t＜10时，证明△ACD≌△BCE得到BE=AD，于是得到△DBE的周长=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由△CDA≌△CEB，得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，不存在直角三角形．④当t＞10s时，由△CDA≌△CEB得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC=4，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△CDA≌△CEB（SAS）；（2）存在，当6＜t＜10时，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，又AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=+4（cm）；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，∵△CDA≌△CEB，∴∠CAD=∠CBE=180°-60°=120°，∴∠ABE=120°-60°=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA-DA=6-4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，不存在直角三角形．④如图，当t＞10s时，同理可证：△CDA≌△CEB，∴∠ABC=∠CBE=60°，∴∠DBE=180°-∠ABC-∠CBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握利用等边三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．