人教版七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解重难点检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解重难点检测卷(原卷版+解析)，共35页。
第9章 整式乘法与因式分解 重难点检测卷 注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）已知，则b的值为（    ）A．6 B． C．12 D．3．（福建省漳州市2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ）A． B． C． D．4．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式的是图（    ）A．B．C． D．5． (2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）若的积中不含的二次项，则常数的值为（　　）A．0 B． C． D．6． (2023秋·八年级单元测试）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　）A．30 B．32 C．34 D．367．（2023春·七年级单元测试）如图1，已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝16，把边长为的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上；将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知BE＝14，BG＝b，若长方形PQMF的面积为2，阴影部分的面积是（    ）A．15 B．16 C．17 D．188． (2023秋·山东淄博·八年级统考期中）已知：a＝－226x＋2017，b＝－226x＋2018，c＝－226x＋2019，请你巧妙的求出代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值（    ）A．4 B．3 C．2 D．19． (2023秋·上海·七年级专题练习）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（    ）个A．4 B．5 C．8 D．1010． (2023春·全国·七年级专题练习）已知均为负数，，，则与的大小关系是（  ）A． B． C． D．无法确定二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知实数a，b满足，，则a+b的值为______．12． (2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则代数式的值为 ______．13． (2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写______．14．（2023春·七年级课时练习）计算：的值为________________．15． (2023秋·四川资阳·八年级校考期中）若，，，则的值是 _______．16． (2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，则的值为______；的值为______．17．（2023春·七年级课时练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 _____．18． (2023春·浙江金华·七年级校考期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_____种．三、解答题（10小题，共64分）19．（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）分解因式：(1)；(2)．20． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）已知，，求：(1)的值．(2)求的值．21．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．(1)求正确的a、b的值．(2)计算这道乘法题的正确结果．22． (2023春·湖南永州·七年级校考期中）利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解： ________．(2)填空：①当时，代数式 _______；  ②当________时，代数式．③代数式的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式的最小值．23．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）阅读理解，自主探究数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于䢍两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示：图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为；由于阴影部分面积相同，所以有(1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________．(2)学以致用：请解释的几何意义．(3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果．24． (2023秋·山东济宁·八年级校考期末）若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：(1)计算：＝       ；(2)代数式为完全平方式，则            ；(3)解方程：．25．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在数学课本第12章《整式乘除》里学习了两数和的平方公式，还记得它是如何被发现的吗？如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）；类比探究二：(2)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是______（用a，b，c表示，结果化为最简）；应用探索结果解决问题：(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的角三角形和中间一个小正方形组成的，当，时，求的值；(4)如图4，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，，则该图形的面积为______．26． (2023春·浙江·七年级期中）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：（1）因式分解：；（2）已知a是任何实数，若，，通过计算判断M、N的大小关系；（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8米．设与墙壁垂直的一边长为x米，①试用x的代数式表示菜园的面积；②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？27． (2023秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．观察得出：两个因式分别为与例如：分析：解：原式（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）②（拆项法）③________．（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．28． (2023·江苏镇江·七年级统考期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示）（2）利用上面结论解决问题：若，则__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面结论解决问题：已知，则__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．第9章 整式乘法与因式分解 重难点检测卷 注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）已知，则b的值为（    ）A．6 B． C．12 D．【答案】D【分析】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可．【详解】∵，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查完全平方公式，方程组的解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式．3．（福建省漳州市2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可．【详解】解：该平行四边形的面积为；故选C．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．4．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式的是图（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据长方形的面积逐一分析即可得解．【详解】A．由图形面积可得，故本选项不符合题意；B．由图形面积可得，故本选项不符合题意；C．由图形面积可得，故本选项不符合题意；D．由图形面积可得，故本选项不符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了多项式乘单项式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何验证，熟记完全平方公式是解题的关键．5． (2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）若的积中不含的二次项，则常数的值为（　　）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据多项式乘多项式和的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决．【详解】解：，∵的积中不含x的二次项，∴，解得，，故选：C．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确不含x的二次项，说明多项式乘多项式的展开式中二次项的系数为零．6． (2023秋·八年级单元测试）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　）A．30 B．32 C．34 D．36【答案】A【分析】设A的边长a，B的边长是b，利用表示出大正方形的面积，再减去纸板与的面积之和，即可得解．【详解】解：设A的边长a，B的边长是b，则，根据题意得︰，∴，∴，∴乙图阴影部分的面积 ，故选A．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．正确的识图，用字母表示出面积是解题的关键．7．（2023春·七年级单元测试）如图1，已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝16，把边长为的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上；将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知BE＝14，BG＝b，若长方形PQMF的面积为2，阴影部分的面积是（    ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【分析】根据长方形PQMF的面积为2，列等式可得，根据2b>4,得4-2b=-2，最后根据面积和可得答案．【详解】解：如图2，PQ=EF-EM=b-（4-b）=2b-4,QM=QN-MN=b-（16-14）=b-2,∵长方形PQMF的面积为2，∴（2b-4）（b-2）=2，（2-b）2=1，∴2-b=±1，∵∴b=3，∴如图2中阴影部分的面积=长方形AGPH的面积+长方形ECNM的面积=（16-3）×（4-3）+(16-14)×(4-3)=13+2=15．故选：A【点睛】本题考查整式乘法与图形面积，根据线段的和与差表示相应线段的长和图形的面积是解本题的关键．8． (2023秋·山东淄博·八年级统考期中）已知：a＝－226x＋2017，b＝－226x＋2018，c＝－226x＋2019，请你巧妙的求出代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，可以求得a﹣b、b﹣c、a﹣c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题．【详解】∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ ＝ =＝＝＝3，故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值．9． (2023秋·上海·七年级专题练习）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（    ）个A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．【详解】，，，根据为整数，有以下10种情况：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，；（8）当时，；（9）当时，；（10）当时，；综上，符合条件的m的值为，共有5个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．10． (2023春·全国·七年级专题练习）已知均为负数，，，则与的大小关系是（  ）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据换元法将，设，，则，，作差即可求得大小关系.【详解】设，，则，，由于均为负数所以为正数，则，.故选：B.【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知实数a，b满足，，则a+b的值为______．【答案】【分析】利用完全平方公式进行求解即可．【详解】解：∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．12． (2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则代数式的值为 ______．【答案】【分析】将和分别看做一个整体，把凑成完全平方的性质，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据完全平方公式进行计算求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．13． (2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写______．【答案】【分析】根据多项式乘以单项式计算出，即可求解．【详解】故答案为：【点睛】本题考查多项式乘以单项式，解题的关键是根据计算法则，正确求解．14．（2023春·七年级课时练习）计算：的值为________________．【答案】【分析】根据平方差公式进行变形运算求解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，正确的计算是解决本题的关键．15． (2023秋·四川资阳·八年级校考期中）若，，，则的值是 _______．【答案】3【分析】先求出，，，再利用完全平方公式对原式进行变形，最后整体代入计算即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式求值，灵活运用完全平方公式，掌握整体思想的应用是解题的关键．16． (2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，则的值为______；的值为______．【答案】     2     6【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．【详解】解:∵，∴，，∴=2；∵∴，即∴∴，解得：．故答案为：2，6．【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键．17．（2023春·七年级课时练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 _____．【答案】20a3b3【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，故答案为：20a3b3．【点睛】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．18． (2023春·浙江金华·七年级校考期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_____种．【答案】9【分析】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，进而得到，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论，即可求解．【详解】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，展开：，即有：，即，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论：①当m=1，n=1时，由，得，当s=1，t=5时，，即x=1，y=5，z=6，此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；当s=5，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；当s=2，t=4时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；当s=4，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；当s=3，t=3时，，即x=3，y=3，z=6，此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；②当m=1，n=2时，由，得，当s=1，t=3时，，即x=1，y=6，z=5，此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；当s=3，t=1时，，即x=3，y=2，z=7，此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；当s=2，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）③当m=1，n=3时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=1，y=6，z=5，此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=2，y=3，z=7，此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；③当m=1，n=5时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=1，y=5，z=6，此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；（重复，舍去）④当m=2，n=1时，由，得，当s=1，t=3时，，即x=2，y=3，z=7，此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；（重复，舍去）当s=3，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；当s=2，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑤当m=2，n=2时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑥当m=2，n=4时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑦当m=3，n=1时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=3，y=2，z=7，此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；（重复，舍去）⑧当m=3，n=3时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=3，y=3，z=6，此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑨当m=4，n=2时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑩当m=5，n=1时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；（重复，舍去）综上：共计有9种方案，故答案为：9．【点睛】本题主要是考查了根据几何图形列列代数以及分解因式的知识，依据未知数是正整数乘积为12,是解答本题的关键．解答此题需要注意分类讨论的思想．三、解答题（10小题，共64分）19．（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法和公式法因式分解的综合，解题的关键是正确找出公因式，掌握完全平方公式，平方差公式．20． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）已知，，求：(1)的值．(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴．【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．21．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．(1)求正确的a、b的值．(2)计算这道乘法题的正确结果．【答案】(1)(2)【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【详解】（1）．．∴，∴；（2）．【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，解题时要细心．22． (2023春·湖南永州·七年级校考期中）利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解： ________．(2)填空：①当时，代数式 _______；  ②当________时，代数式．③代数式的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式的最小值．【答案】(1)(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将代入求解即可；②解方程，即可获得答案；③将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案．【详解】（1）解：．故答案为：；（2）①当时，；②∵，∴，∴当时，代数式；③∵，又∵，∴当时，代数式的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式，又∵，，∴原式，代数式的最小值是3．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．23．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）阅读理解，自主探究数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于䢍两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示：图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为；由于阴影部分面积相同，所以有(1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________．(2)学以致用：请解释的几何意义．(3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果．【答案】(1)(2)见解析(3)；图见解析【分析】（1）根据图形面积的两种不同表达方式，可得到恒等式；（2）由恒等式可知，可以构造整体图形为边长为的正方形，阴影部分正方形边长，据此作图即可．（3）由恒等式可知，整体图形为边长为、的长方形，然后用两种方法表示长方形面积，即可解答．【详解】（1）解：根据正方形面积公式可得，图3中图形的面积为：，同时图中图形的面积也可表示为：，故可得恒等式：；（2）如图：阴影部分正方形面积等于：，也可以表示为，故：；（3）解：如图：-【点睛】本题考查了整式乘法的几何背景，主要是根据长方形或正方形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等进行解答．24． (2023秋·山东济宁·八年级校考期末）若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：(1)计算：＝       ；(2)代数式为完全平方式，则            ；(3)解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；（3）根据新定义运算代入数据得到关于的方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：．故答案为：；（2），代数式为完全平方式，，解得．故答案为：；（3），，解得．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①，②．25．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在数学课本第12章《整式乘除》里学习了两数和的平方公式，还记得它是如何被发现的吗？如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）；类比探究二：(2)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是______（用a，b，c表示，结果化为最简）；应用探索结果解决问题：(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的角三角形和中间一个小正方形组成的，当，时，求的值；(4)如图4，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，，则该图形的面积为______．【答案】(1)(2)(3)(4)120【分析】（1）一个大正方形，它的面积是，4个长方形形和1个小正方形表示出来相等即可．（2）4个直角三角形的面积和正方形的面积表示出出来等于大正方形的面积．（3）把，代入求值即可．（4）根据图形周长求出直角三角形的边长，再根据面积公式即可解得．【详解】（1）如图2的面积，把图2看做一个大正方形，它的面积是，如果把图2看做是由4个长方形形和1个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．（2）4个直角三角形的面积；，正方形的面积：大正方形的面积：∴（3）由（2）得∴，∴∴∴（4）解：设，，根据勾股定理可得解得图形面积：【点睛】此题考查了完全平方公式的推导，解得关键根据已经学的知识把图形的面积用不同的方法表示出来．26． (2023春·浙江·七年级期中）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：（1）因式分解：；（2）已知a是任何实数，若，，通过计算判断M、N的大小关系；（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8米．设与墙壁垂直的一边长为x米，①试用x的代数式表示菜园的面积；②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？【答案】（1）；（2）M＞N；（3）①；②当x=6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；（2）计算M-N并配方，根据结果判断即可；（3）①根据长方形的面积公式计算即可；②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质．【详解】解：（1）===；（2）M-N======＞0，∴M＞N；（3）①由题意可得：菜园的面积==；②由题意可得：0＜20-2x≤8，解得：6≤x＜10，===，∴当x=6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．27． (2023秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．观察得出：两个因式分别为与例如：分析：解：原式（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）②（拆项法）③________．（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．【答案】（1）①，②，③；（2）7【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．【详解】解：（1）①；②；③；故答案为：；（2）∵，∴，∴，∴，，，∴．∴的周长为7．【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．28． (2023·江苏镇江·七年级统考期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示）（2）利用上面结论解决问题：若，则__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面结论解决问题：已知，则__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）见解析【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（2）由（1）得到，再将已知等式代入计算即可；（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（6）分别计算出，，，根据整式的混合运算法则可得结论．【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：，大正方形部分和表示面积为：，∴由此可得等式为：；（2）由（1）可得：，∴x+y=6，xy=2，∴，∴；（3）大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，故由此可得公式为：；（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，∴由（3）可得：，∴；（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，∴，∴；（6）∵，，，∴，，，∴，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．