专题50 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练

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【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN＝45°，则下列结论：①MN＝BM+DN；②△AEF∽△BEM；③AFAM=22；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是 ．（填写正确序号）
【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵∠M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN；故①正确；
∵∠FDM′＝135°，∠M′AN＝45°，
∴∠M′+∠AFD＝180°，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFE＝∠M′，
∵∠AMB＝∠M′，
∴∠AMB＝∠AFE，
∵∠EAF＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△BEM，故②正确；
∴AEBE=EFEM，即AEEF=BEEM，
∵∠AEB＝∠MEF，
∴△AEB∽△FEM，
∴∠EMF＝∠ABE＝45°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴AFAM=22；故③正确；
在△ADF与△CDF中，
AD=DC∠ADF=∠CDF=45°DF=DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，
∵AF＝MF，
∴FM＝FC，
∴△FMC是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①②③④．
【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM．有如下结论：①AE＝BF；②AN=24AD；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF=19S△ABC，上述结论中，正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
∠DAF=∠CDEAD=CD∠ADF=∠DCE，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF，
∴AD﹣DE＝BC﹣AF，即AE＝BF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC=2AD，
∴AN=24AD；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC=10a，
由△CMD∽△CDE，可得CM=91010a，
由△GHC∽△CDE，可得CH=91020a，
∴CH＝MH=12CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S△ABC＝1：12，故④错误，
故选：C．
二、反比例函数中的相似应用
【典例】如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K＝ ．
【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：
则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°
易证△ADF∽△GFE
∴AFEG=DFFE，
∴AF：EG＝BD：BE，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵D、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴E（k4，4）、D（﹣8，−k8）
∴OG＝EC=−k4，AD=−k8，
∴BD＝4+k8，BE＝8+k4，
∴BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，
∴AF=12EG＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：（−k8）2+22＝（4+k8）2
解得：k＝﹣12
故答案为：﹣12．
【巩固】如图，已知动点A在函数y=4x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 ．
【解答】解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，
∴△GEM∽△DNF，
∵NF＝4EM，
∴DFGM=NFEM=4，
设GM＝t，则DF＝4t，
∴A（4t，1t），
由AC＝AF，AE＝AB，
∴AF＝4t，AE=1t，EG=1t，
∵△AEF∽△GME，
∴AF：EG＝AE：GM，
即4t：1t=1t：t，即4t2=1t2，
∴t2=12，
图中阴影部分的面积=90π⋅(4t)2360+90π⋅(1t)2360=2π+12π＝2.5π，
故答案为：2.5π．
三、二次函数中的相似问题
【典例】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为4912，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）
∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴﹣12a＝6
∴a=−12
∴抛物线解析式为y=−12（x+2）（x﹣6）=−12x2+2x+6=−12（x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH＝n=−12m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°
∴DH＝PH＝n
∵PG∥AB
∴∠PGH＝∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴PHAO=GHBO
∴GH=BO⋅PHAO=2PH6=13n
∴d＝DH﹣GH＝n−13n=23n=23（−12m2+2m+6）=−13m2+43m+4（2＜m＜6）
（3）①∵S△PDG=12DG•PH=4912
∴12⋅23n•n=4912
解得：n1=72，n2=−72（舍去）
∴−12m2+2m+6=72
解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5
∴点P坐标为（5，72）
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y＝kx+6
把点P代入得：5k+6=72
∴k=−12
∴直线AP：y=−12x+6
i）若∠RAS＝90°，且S在线段AC上，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6
∴直线AR解析式为y＝x+6
y=x+6y=−12x2+2x+6 解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45°
∴RS∥y轴
∴xS＝xR＝2
∴S（2，4）
∴直线OM：y＝2x
∵y=2xy=−12x+6 解得：x=125y=245
∴M（125，245），
同理，若S在CA的延长线上，R（2，8），S（﹣2，8）
∴直线OM：y＝﹣4x
∵y=−4xy=−12x+6，解得：x=−127y=487
∴M（−127，487）；
ii）若∠ASR＝90°，如图4
∴∠SAR＝∠ACO＝45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（125，245）
iii）若∠ARS＝90°，如图5
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y=12x
∵y=12xy=−12x+6 解得：x=6y=3
∴M（6，3）
综上所述，M1（125，245），R1（2，8）；M2（−127，487），R2（2，8）；M3（125，245），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）．
【巩固】
如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x−73交直线l于点F，点G在直线y=13x−73上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
【解答】解（1）由题意得，
c=3，−9+3b+c=0，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，
作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD=12PD•CE=12×2×1＝1，
∴12AB•|3﹣a|＝2，
∴12×4•|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
②如图2，
设G（m，13m−73），
由AG2＝AQ2得，
（m+1）2+(13m−73)2=（2+1）2+12，
化简，得
5m2+2m﹣16＝0，
∴m1＝﹣2，m2=85，
∴G1（﹣2，﹣3），G2（85，−95），
作QH⊥AB于H，
∵AQ⊥QF，
∴△AHQ∽△QHM，
∴QH2＝AH•HM，
即：12＝3•HM，
∴HM=13，
∴M（73，0），
设直线QM是：y＝kx+b，
∴2k+b=173k+b=0，
∴k＝﹣3，b＝7，
∴y＝﹣3x+7，
由y=−3x+7y=13x−73得，
x=145，y=−75
∴F（145，−75）
∴G1F=(145+2)2+(3−75)2=8510，
G2F=(145−85)2+(95−75)2=2510．
巩固练习
1．如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则S△AEGS四边形DCFG=（ ）
A．3：7B．4：9C．5：11D．6：13
【解答】解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF=23AC，
∵D、E分别为BC，AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=12AC，
∵DE∥AF，
∴DGAG=EGGF=DEAF=12AC23AC=34，
设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，
∵S△AEGS△AGF=EGGF=34，
∴S△AGF=163x，
∵AE＝BE，
∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，
∵BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD＝14x，
∴S四边形CDGF＝14x−163x=263x，
∴S△AEGS四边形DCFG=4x263x=613．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为（ ）
A．﹣12B．12C．﹣24D．24
【解答】解：设直线MN交x轴于点G，连接OB，如图所示：
由对称性可知，AG＝GE，OA＝EC，
∵A是OE的中点，
∴AE＝OA，
∴OA＝AE＝CE，
∴AG=14AC，
∵S△AEF＝1，
∴S△AFG=12S△AEF=12，
∵MN∥BC∥OD，
∴∠AGF＝∠ACB，∠GAF＝∠CAB，
∴△AFG∽△ABC，
∴S△AFGS△ABC=(AGAC)2=116，
∴S△ABC=12×16＝8，
又∵OA=12AC，
∴S△OAB=12S△ABC＝4，
∴S△OBC＝8+4＝12，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴S△OBC＝12=12|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣24，
故选：C．
3．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）
A．4B．103C．3D．83
【解答】解：如下图所示，
过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，AB＝4，BC＝2，
∴BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MC=12BC＝1，AB＝AC＝4，
∴AM=AC2−MC2=16−1=15，
又MI＝BI﹣BM＝7，
∴AI=AM2+MI2=15+49=8，
∵∠ACB＝∠FGE，
∴FG∥AC，
∴△IQG∽△IAC，
∴QIAI=GICI，即QI8=13，
解得QI=83，
故选：D．
4．如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线y=kx经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若S△EBD=32，AE=13BC，则k的值为（ ）
A．−325B．−165C．﹣2D．2
【解答】解：过点B作BF⊥OE于点F，过点D作DG⊥OE于点G，过点C作CH⊥OE于H，如图，
设点C（a，ka），
∵点C在第二象限，
∴a＜0，k＜0．
则OH＝﹣a，CH=ka．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC．
∵BF⊥OE，CH⊥OE，
∴BF＝CH=ka．
∵AE=13BC，OA∥BC，
∴△DEA∽△DCB．
∴EDDC=ADBD=AEBC=13．
∵S△BEDS△BDC=EDDC，S△EBD=32，
∴S△BDC=92．
∴S△EBC＝S△EDB+S△DBC＝6．
∵BF⊥OE，DG⊥OE，
∴BF∥DG．
∴DGBE=ADAB=14．
∴DG=14BE=k4a．
∴D（4a，k4a）．
∴OG＝﹣4a．
∵12BC×BF＝6，
∴BC=12ak．
∴OA=12ak．
∴GA＝OG﹣OA＝﹣4a−12ak．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC＝AB，OC∥AB，
∴∠BAE＝∠COA．
在△ABF和△OCH中，
∠BAE=∠COA∠BFA=∠CHO=90°AB=OC，
∴△ABF≌△OCH（AAS）．
∴AF＝OH＝﹣a．
∵BF∥DG，
∴GAAF=ADAB=14．
即：−4a−12ak−a=14．
解得：k=−165．
故选：B．
5．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N．已知DF＝6，AN＝56．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则△ABE的面积为 ．
【解答】解：由折叠可知，DN⊥AF，EF＝DF，AE＝AD，
∵∠ADF＝90°，
∴∠FDN+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠FDN＝∠DAN，
∴△DFN∽△AFD，
∴DFAF=FNDF，
∵DF＝6，AN＝56，
∴6NF+56=NF6，
∴NF=6，
∴AF＝66，
在Rt△ADF中，AD=AF2−DF2=(66)2−62=65，
∴AD＝AE＝65，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EFC＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EFC＝∠EAB，
∴△CEF∽△BAE，
∴FEAE=CFBE，
∵EF＝6，
∴FEAE=15，
∴BE=5CF，
在Rt△BAE中，AE2＝AB2+BE2，
∴（65）2＝（6+CF）2+（5CF）2，
∴CF＝4，
∴AB＝10，EB＝45，
∴S△AEB=12×AB×EB=12×10×45=205，
故答案为205．
6．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1……按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为 ．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，
∴AD=OA2+OD2=5，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∵∠BAA1+∠ABA1＝90°，
∴∠BAA1＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△ABA1，
∴ABA1B=ODOA=2，
∴A1B=12AB=52，
∴A1C＝BC+A1B＝（1+12）5=325，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长为325；
同理：A1B1A2B1=ABA1B=2，
……，
∴A2B1=12A1B1=325×12，
∴A2C1＝A1C+A2B1=325×（1+12）=5×(32)2，
∴第3个正方形A2B2C2C1的边长5×(32)2，
……，
∴第n个正方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Cn﹣2的边长为5×(32)n−1，
∴第2022个正方形的边长为：5×(32)2021，
故答案为：5×(32)2021．
7．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F在BC边上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG，以下四个结论：①△ACF∽△ADG；②CF=2DG；③DG⊥AC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等；⑤AH•AC＝2AE2；其中正确的是 ．（只填序号）
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF=2AG，AC=2AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，b
∴AFAG=ACAD=2，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△GAD，故①正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，FCDG=ACAD=2，
∴2DG＝FC，故②正确，
如图，延长DG交AC于N，
∵△ACF∽△ADG，
∴∠ADG＝∠ACF＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故③正确，
∵∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝45°，
∴DG是∠ADC的平分线，
∴点G到直线AD和直线CD的距离相等．故④正确．
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴AHAF=AFAC，
∴AF2＝AH•AC，
∴2AE2＝AH•AC，故⑤正确，
综上所述：正确的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
8．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求FGGH的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ADC和△ABC中AC=AC∠DAC=∠BACAD=AB，
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴CD＝CB，
∵CE⊥AB，EF＝EB，
∴CF＝CB，
∴CD＝CF；
（2）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC＝∠ADC，
∵∠ADC＝2∠HAG，
∴∠DGC＝2∠HAG，
∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，
∴∠HAG＝∠AHG，
∴HG＝AG，
∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，
∴△DGC∽△AGF，
∴△AGF∽△ADC，
∴FGAG=CDDA=35，
即FGGH=35．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y=kx相交于点A，B．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．
【解答】解：（1）如图1，∵反比例函数经过A（﹣1，4），
∵k＝﹣1×4＝﹣4，即y=−4x；
设B（m，−4m），已知A（﹣1，4），可求得
直线AB：y=−4mx+4−4m；
∵S△BOA=12×（4−4m）×（m+1）＝3，
∴2m2﹣3m﹣2＝0，
即m＝2（负值舍去）；
∴B（2，﹣2）．
由于抛物线经过A、B两点，则有：
a−b=44a+2b=−2，
解得 a=1b=−3；
∴y＝x2﹣3x．
故a＝1，b＝﹣3，k＝﹣4．
（2）如图2，设抛物线与x轴正半轴的交点为D；
∵直线AC∥x轴，且A（﹣1，4），
∴C（4，4）；
已求得B（2，﹣2），则有：
∠COD＝∠BOD＝45°，即∠BOC＝90°；
①将△BOA绕点O逆时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x轴于N．
∵A的坐标是（﹣1，4），即AM＝4，OM＝1，
∵∠AOM+∠NOA1＝90°，∠OAM+∠AOM＝90°
∴∠OAM＝∠NOA1，
在△AOM与△OA1N中，
∠AMO=∠A1NO∠OAM=∠NOA1OA=OA1
∴△AOM≌△OA1N（AAS），
∴A1N＝OM＝1，ON＝AM＝4
∴A1的坐标是（﹣4，﹣1），
此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE＝2OA1，
则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；
则E1（﹣8，﹣2）；
②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，
延长OA2至E2，使得OE2＝2OA2，
则△COE2≌△COE1∽△BOA；
易知A2（﹣1，﹣4），则E2（﹣2，﹣8）；
故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（﹣8，﹣2），E2（﹣2，﹣8）．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（k2，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2=(k2−2)2，
∴k＝2或23，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k=23，
∴C（1，2），E（2，2），k=23；
（2）由（1）可得，AC=23，BC=43，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB=AC2+BC2=235，BD=12AB=53，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴BMBA=BDBC，
∴BM=5343×253=56，
∴S△MBE=12BM×CE=12×56×1=512．
11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
【解答】证明：（1）∵AD2＝DE•DF，
∴ADDE=DFAD，
∵∠ADF＝∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠F＝∠DAE，
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ADB+∠ADF＝∠CDE+∠ADF，
即∠BDF＝∠CDA，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴BFAC=DFAD，
∵ADDE=DFAD，
∴BFAC=ADDE，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴BFAB=ADDE，
∴BF•DE＝AB•AD．
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a=−12，
∴该抛物线的表达式为y=−12x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则−12（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+12EP的值最小且这个最小值为2902．理由如下：
如图，在CE上截取CF=22（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴CFCP=CPCE=12，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴CFCP=FPPE=12，即FP=12EP，
∴BF＝BP+12EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+12EP为最小值．
∵CF=14CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（12，132），
∴BF=(6−12)2+(0−132)2=2902．