中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题五　三角形 含解析答案

专题五　三角形

【专题分析】

三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，

证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%～20%.

【解题方法】

解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.

【知识结构】

【典例精选】：

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．5

【思路点拨】过点D作DF⊥AC，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可求出AC的长．

答案：A

已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.

(1)求证：△ABD≌△CAE；

(2)连结DE，线段DE与AB

之间有怎样的位置和数量关系？

请证明你的结论．

【思路点拨】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．

【自主解答】

(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.

∴∠CEA＝∠ADB.又∵AB＝AC，∴△ABD≌ △CAE(AAS)．

(2)解：AB∥DE且AB＝DE.由(1)△ABD≌△CAE可得AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE.

规律方法：

在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的联系.

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

(1)试证明△ABC是直角三角形；

(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)

【思路点拨】(1)分别求出△ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出△DEF三边的长度，计算△DEF与△ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与△ABC三边的比值相等即可．

【自主解答】

(1)证明：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，    BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，

根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形．

(2)解：△ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得DE＝4，DF＝2，EF＝2.

∵＝＝＝ .∴△ABC∽△DEF.

(3)解：如图，△P2P4 P5即为所求．

规律方法：

在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.

如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．

一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以   v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．

(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？

(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

【思路点拨】(1)根据题意可知∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠C＝90°，在Rt△BOC中，根据cos ∠CBO＝，求出BC，根据“路程＝速度×时间”求出时间即可；

(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为    3v km，设相会点为点E，作CD⊥OA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE＝90－3v或DE＝3v－90，利用CD2＋DE2＝CE2，求出速度v和路程OE即可．

【自主解答】

解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，

∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos 60°＝120×＝60(km)，

∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为＝1(h)．

(2)过点C作CD⊥OA，设相遇处为点E.

则OC＝OB·cos 30°＝60(km)，CD＝OC＝30(km)，OD＝OC·cos 30°＝90(km)．

分两种情况：

当点E在线段OD上时，如图①，DE＝(90－3v)km，

∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，

∴(30)2＋(90－3v)2＝602，

∴v＝20或v＝40.

∵90－3v>0，∴v＝20.

当点E在射线DA上时，如图②，DE＝(3v－90)km，

∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，

∴(30)2＋(3v－90)2＝602，

∴v＝20或v＝40.

∵3v－90>0，∴v＝40.

∴当v＝20 km/h时，

OE＝3×20＝60(km)；

当v＝40 km/h时，

OE＝3×40＝120(km)．

规律方法：

解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.

【能力评估检测】

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(  C  )

A．45°     B．54°     C．40°      D．50°

2．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是(  B  )

A．14              B．12

C．12或14         D．以上都不对

3．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(  A  )

A．△ABC三边垂直平分线的交点

B．△ABC三条角平分线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点

D．△ABC三条中线的交点

4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为(  B  )

A.        B．1       C.       D．2

5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB的值等于(  C  )

A.       B.        C.        D．5

6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是(  C  )

A．2海里               B．2 sin 55°海里

C．2cos 55°海里          D．2tan 55°海里

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12.正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(     )

A．1          

B．2 

C．12－6   

D．6－6

【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，BH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝12，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝6，DG＝BC＝6，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是点F到BC的距离＝6－6.故选D.

答案: D

8．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(     )

A．3 s或4.8 s       B．3 s

C．4.5 s            D．4.5 s或4.8 s

【解析】根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，①若△ADE∽△ABC，则＝，∴＝，解得x＝3；②若△ADE∽△ACB，则＝，∴＝，解得   x＝4.8.∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s．故选A.

答案: A

二、填空题

9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15 °.

10．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为13.

11．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如AB＝CD或∠ACB＝∠DBC(填一个即可)．

12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为  .

【解析】在△ABC中，∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△AFH≌△ACH.∴AF＝AC＝3.∵AB＝5，∴BF＝2.∵AF＝AC，CH⊥AE，∴FH＝HC.∵AD为△ABC的中线，∴DH为△CBF的中位线，DH＝BF＝1.

答案: 1

三、解答题

13．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.

(1)如图①，连结BD，AF，则BD________AF(填“＞”“＜”或“＝”)．

图①　　　　　

(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证：BH＝GF.

　　　　               图②

(1)解：＝

(2)证明：如图，将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB. ∴∠GRC＝∠RGC，∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴CR＝EH.∴CG＝EH.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.又∵∠HEB＝   ∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.

14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．

现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)

(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82， tan 35°≈0.70)

解：如图，过点A′作A′H⊥OA于点H，

由旋转可知，OA′＝OA＝80 cm，

在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos 35°≈80×0.82＝65.6(cm)．

∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14(cm)．

答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14 cm.

15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．

(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；

(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．

(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°.∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC.又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABE≌   △ACF.∴BE＝CF.

(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4.理由如下：由(1)知，S△ABE＝S△ACF.∴S四边形AECF＝S△AEC＋ S△ACF＝S△AEC＋ S△ABE ＝S△ABC＝×4×4×sin 60°＝4.△CEF的面积发生变化，其最大值为.∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝4－×AE2，当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE＝4×＝2，∴S△CEF的最大值为4－×(2)2＝.