初中数学中考复习 考点23 相似三角形 （原卷版）

考点二十三  相似三角形

【命题趋势】

   在中考中，相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主；常考的3种相似模型经常以解答题形式考查，常结合二次函数、圆综合考查。

【中考考查重点】

一、比例线段及性质

二、相似三角形性质与判定

     考点1：比例线段及性质

1、比例线段的有关概念：在比例式（）中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，叫第四比例项，如果，那么叫做、的比例中项．

2、把线段AB分成两条线段AC和BC，使，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点．

3比例性质：；

；

；

4、平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

如图，已知∥∥，可得

等．

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

由DE∥BC可得：．此推论较原定理应用更加广泛．

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．那么这条直线平行于三角形的第三边．

此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线．

（4）定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

1．（2021秋•金安区校级期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（　　）

A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm

考点2 相似三角形的性质与判定

三大常考相似模型

模型一  A字型

模型二  8字型

模型三  K型

3．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

4．（2021秋•南岸区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，，，则△ABC与△DBE的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

5．（2021秋•椒江区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2021秋•贞丰县期末）如图AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：AC＝1：3，S△AED：S△CEB为（　　）

A．1：9 B．1：4 C． D．

7．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）

A． B． C．2 D．3

8．（2021•韩城市模拟）如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．2

9．（2021•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝4，E为AC中点，D为AB上一点，连接DE，当∠AED＝60°时，AD的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．

10．（2020秋•长安区期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则BD的长度为　　．

11．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝　　．

12．（2021•安徽模拟）（1）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．

求证：DE＝DF；

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．

①求证：DF•DA＝DB•DE；

②求EF的最小值．

13．（2021•靖西市模拟）如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDF∽△FEC．

（2）设．

①若BC＝15，求线段BF的长；

②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．

1．（2021春•永嘉县校级期中）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）

A． B． 

C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC•BA

2．（2021秋•南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（　　）

A．＝ 

B．＝ 

C．＝ 

D．＝

3．（2021•平南县三模）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　）

A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7

4．（2021•吉安模拟）如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（　　）

A．11 B．12 C． D．

5．（2021•蚌埠二模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）

A．5 B．6 C．9 D．

6．（2021•东港区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．

求证：（1）△EDA∽△EBD；

（2）ED•BC＝AO•BE．

1．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．12

2．（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） 

C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对

3．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（　　）

A．DE：BC＝1：2 

B．△ADE与△ABC的面积比为1：3 

C．△ADE与△ABC的周长比为1：2 

D．DE∥BC

4．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）

A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3

5．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．15

6．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2

7．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 　　．

8．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　　    ．

9．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　　   ．

10．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　　．

11．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．

（1）求证：△DFC∽△AED；

（2）若CD＝AC，求的值．

12．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

13．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）求证：DF2＝EF•AB．

14．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若AB＝3PA，求的值．

1．（2021•武都区二模）如图所示，若点C是AB的黄金分割点，AB＝2，则AC的值为（　　）

A． B． C． D．

22．（2021•香洲区二模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝2，GC＝1，CE＝5，则的值是（　　）

A． B． C． D．

2．（2021•武进区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　．

4．（2021秋•阳山县期末）如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　　．

5．（2021•兰州模拟）如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．（2021•云南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AD＝4，AB＝5，则AC长为（　　）

A． B． C． D．

7．（2021•元阳县模拟）如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝，延长AE交BC的延长线于点F，则△CEF和四边形ABCE的面积比为（　　）

A． B． C． D．

8．（2021•滦南县二模）如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度，他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端B的距离BE＝16m，当镜子与观测者小芳的距离ED＝2m时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m，铁塔AB的高度为（　　）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）

A．9m B．12m C．15m D．18m

9．（2021•城关区校级模拟）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是　       　．

10．（2021•二道区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点C、D分别作CE∥AB，DE∥AC交于点E，连结BE．

（1）求证：四边形CDBE是菱形．

（2）若AB＝10，tanA＝，则菱形CDBE的面积为 　　．

11．（2020•曹县二模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，PC切⊙O于C，AE⊥PC交PC的延长线于E，AE交⊙O于D，PC与AB的延长线相交于点P，连接AC、BC．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若PB：PC＝1：2，PB＝4，求AB的长．