专题14 直线、射线、线段-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练

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【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝12cm，BC＝8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
【解答】解：（1）由AC＝12（cm），M是AC的中点，得
MC=12AC＝6（cm）．
由BC＝8（cm），N是CB的中点，得
CN=12CB＝4（cm）．
由线段的和差，得
MN＝MC+NC＝6+4＝10（cm）；
（2）由AC＝a（cm），M是AC的中点，得
MC=12AC=a2（cm）．
由BC＝b（cm），N是CB的中点，得
CN=12CB=b2（cm）．
由线段的和差，得
MN＝MC+NC=a2+b2=a+b2（cm）；
（3）①当点C在B点的右边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）．
由线段的和差，得
MN＝MC−NC=a2−b2=a−b2（cm）；
②当点C在A点的左边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）．
由线段的和差，得
MN＝NC−MC=b2−a2=b−a2，
③点C在线段AB上时，MN＝MC+NC=a2+b2=a+b2（cm）．
【巩固】如图，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长；
（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA−PBPC是定值，②PA+PBPC是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
二、计数类问题
【学霸笔记】
1.若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；
2.若一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；
3.过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；
4.平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.
【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，
已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，
又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），
所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．
故选：B．
【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n＝2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：
过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9＝45条直线．
请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）
（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？
（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？
巩固练习
1．如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：
①图中共有3条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线CD是同一条射线．
其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，线段AF中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EF＝e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（ ）
A．5a+8b+9c+8d+5eB．5a+8b+10c+8d+5e
C．5a+9b+9c+9d+5eD．10a+16b+18c+16d+10e
3．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
4．如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A、E两点表示的数的分别为﹣13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（ ）
A．﹣1B．5C．6D．8
5．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36B．37C．38D．39
7．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A区B．B区
C．C区D．A、B两区之间
8．如图，B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE＝9，BD＝4，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为 ．
9．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝ ；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．
10．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC=12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．
（1）MP＝ cm；
（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．