专题07 整式加减-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题7 整式加减

一、整体代入求值

【学霸笔记】

 整体代入求值类问题常用技巧：

①化整体：通过问题入手，根据问题对已知式子进行整体化处理；

②拆整体：从已知条件入手，根据解题需要，对要求的式子进行拆分，使得能够对式子进行整体处理；

【典例】（1）已知x＝2，y＝﹣4时，代数式ax3by+5＝1997，求当时，代数式3ax﹣24by3+4986的值．

（2）已知关于x的二次多项式a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5，当x＝2时的值为﹣17，求当x＝﹣2时，该多项式的值．

【解答】解：（1）把x＝2，y＝一4代入代数式ax3by+5＝1997得：

4a﹣b＝996．

把代入代数式3ax﹣24by3+4986得：

﹣3（4a﹣b）+4986．

∴代数式3ax﹣24by3+4986＝﹣3×996+4986＝1998．

（2）a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5＝（a+1）x3+（2b﹣a）x2+（3a+b）x﹣5．

a+1＝0，a＝﹣1．

∴﹣17＝（a+1）x3+（2b﹣a）x2+（3a+b）x﹣5

＝（﹣1+1）x3+（2b+1）x2+[3（﹣1）+b]x﹣5

＝（2b+1）x2+（b﹣3）x﹣5

＝（2b+1）×22+（b﹣3）×2﹣5

＝10b﹣7，b＝﹣1．

∴关于x的二次多项式a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5

＝（2b+1）x2+（b﹣3）x﹣5

＝[2×（﹣1）+1）x2+（﹣1﹣3）x﹣5

＝﹣x2﹣4x﹣5

＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣5

＝﹣1．

【巩固】若（2011x+1）4＝ax4+bx3+cx2+dx+e，则a+c＝　                   　．

二、与字母取值无关类问题

 解答代数式的值与字母的取值无关的问题，一般是将代数式进行化简，求出结果，如果结果中不再含有某字母（或部分字母），那么就说明了代数值的值与字母（或部分字母）无关.

【典例】已知一个多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，求3（a2﹣ab+b2）﹣（3a2+ab+b2）的值．

【解答】解：∵（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）

＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1

＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+（﹣y﹣5y+7），

∴2﹣2b＝0，a+3＝0，

∴a＝﹣3，b＝1，

∴原式＝3a2﹣3ab+3b2﹣3a2﹣ab﹣b2

＝﹣4ab+2b2．

当a＝﹣3，b＝1时，

原式＝﹣4×（﹣3）×1+2×12

＝12+2

＝14．

【巩固】已知含字母x，y的多项式是：3[x2+2（y2+xy﹣2）]﹣3（x2+2y2）﹣4（xy﹣x﹣1）

（1）化简此多项式；

（2）小红取x，y互为倒数的一对数值代入化简的多项式中，恰好计算得多项式的值等于0，那么小红所取的字母y的值等于多少？

（3）聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，代数式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小刚所取的字母y的值．

巩固练习

1．设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e＝6，a2﹣b2+c2+d2+e2＝10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20

2．已知m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，则2m2+7mn+2n2﹣44值为　    　．

3．同时都含有a，b，c，且系数为1的7次单项式共有　    　个．

4．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝　 　．

5．规定一种新运算：a⊗b＝3（a+b），a⊕b＝2（a﹣b），其a，b是有理数．

（1）化简（a2b⊗3ab）﹣（5a2b⊕4ab）；

（2）当a＝﹣3，b＝1时，求（1）中式子的值．

6．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．

7．小明做一道数学题，“已知两个多项式A＝x2+4x，B＝2x2﹣3x+1，试求A+2B．”其中多项式A的二次项系数印刷不清楚．

（1）小明看答案以后知道A+2B＝x2﹣2x+2，请你替小明求出多项式A的二次项系数；

（2）在（1）的基础上，小明已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C，要求小明求出A﹣C的结果．小明在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，结果求出的答案为x2﹣5x+2．请你替小明求出“A﹣C”的正确答案．

8．一个多项式的次数为m，项数为n，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，例如：5x3y2﹣2x2y+3xy为五次三项式，2x2﹣2y2+3xy+2x为二次四项式．

（1）﹣3xy+2x2y2﹣4x3y3+3为 　   　次 　  　项式．

（2）若关于x、y的多项式A＝ax2﹣3xy+2x，B＝bxy﹣4x2+2y，已知2A﹣3B中不含二次项，求a+b的值．

（3）已知关于x的二次多项式，a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5在x＝2时，值是﹣17，求当x＝﹣2时，该多项式的值．

9．在一次游戏中，魔术师请一个参与者随意想了一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位数、十位数、个数位），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．

例如：

参与者：123，则132，213，231，312，321，于是N＝1209；

魔术师：1209＝222（a+b+c），因为1000，所以222（a+b+c）值在1209和2209之间，于是a+b+c值不小于6不大于9，所以a+b+c＝6，7，8，9

因为222×6﹣1209＝123，222×7﹣1209＝345，222×8﹣1209＝567，222×9﹣1209＝789

其中只有1+2+3＝6满足条件，所以123．

现在设N＝3194时，请你当魔术师，试求出的值．