专题31 三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练

这是一份专题31 三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练，文件包含专题31三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练原卷版docx、专题31三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
【典例】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接CG．
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在△BDF和△CDG中
BD=CD∠BDF=∠CDGDF=DG，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G．
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC．
【巩固】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由．
二、一线三等角模型
【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【解答】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
∠1=∠D∠ACB=∠DEAAB=AD，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；
（2）①证明：如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
∠BFA=∠AMD∠B=∠2AB=AD，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
∠DMG=∠ENG∠DGM=∠EGNDM=EN，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②解：如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝6，
解得，BC＝2，OC＝4，
∴点B的坐标为（4，2），
同理，点B′的坐标为（﹣2，4），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（﹣2，4）．
【巩固】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）△ABD与△CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）．
（3）如图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）．
三、角含半角模型
【典例】正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG．求证：EF＝BE+DF．
【解答】证明：如图，由题意得：△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG；
∴FG＝BE+DF；
∴∠BAE+∠FAD＝∠FAD+∠DAG；
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAG＝45°，∠EAF＝∠FAG；
在△EAF与△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，而FG＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【巩固】
如图1，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF；
如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明；
如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 ．
巩固练习
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
2．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC
≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．18C．12D．8
4．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28B．29C．30D．31
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE=12BF；④AE＝CF．其中正确的是 （填上正确结论的序号）．
6．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，DF⊥DE交AC于F，延长ED至G，使ED＝GD．
（1）求证：BE＝CG；
（2）求证：BE+CF＞EF．
7．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE度数．
8．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
9．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，若BC交x轴于点M，过C点作CD⊥BC交y轴于D点．求证：BC﹣CD＝MC；
（3）如图3，若点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．