专题52 全国初中数学模拟卷（二）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练

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A．32≤S＜6B．﹣6＜S≤−32C．﹣6≤S≤−32D．3≤S≤6
【解答】解：如图所示，
∵经过（2，3）的直线y＝kx+b不经过第四象限，
∴直线y＝kx+b只能在图中l1和l2的位置中间（与虚线部分有交点），且l1经过坐标原点，l2与x轴平行，
得l1：y=32x，l2：y＝3，
∴当x=12时，l1所对应的函数值为34，l2所对应的函数值为3，
∵a≠0，
∴l2的位置对函数y＝kx+b不可取，l1的位置对该函数可取．
∴34≤12a+b＜3，
∴34≤12S＜3，
∴32≤S＜6，
故选：A．
2．有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若22x−1=44x2−1，则x=12；③命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和−12．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①若x2＝4，则x＝±2，本小题说法是假命题；
②x=12时，2x﹣1＝0，22x−1=44x2−1无意义，本小题说法是假命题；
③“a＞b，则若am2＞bm2”的逆命题是“若am2＞bm2，则a＞b”，本小题说法是真命题；
④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程为（x﹣1）（x﹣2）＝0，即x2﹣3x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴方程cx2﹣bx+a＝0为2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝﹣1和x2=−12，本小题说法是真命题．
故选：B．
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF=14S矩形ABCD，则S△AEFS△CEF=（ ）
A．3B．92C．5D．112
【解答】解：∵S△ABE＝S△ADF=14S矩形ABCD，
即12BE•AB=12AD•DF=14AB•BC=14AD•CD，
∴BE=12BC，DF=12DC，
∴EC=12BC，CF=12CD，
∴S△EFC=12×EC×CF=18×BC×CD=18S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△EFC=38S矩形ABCD，
∴S△AEFS△CEF=3，
故选：A．
4．若函数y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374B．390C．765D．578
【解答】解：令x2﹣100x+271＝0，
解得：x1＝50−2229＜3，x2＝50+2229＞97，
∴当x从3到97时，|x2﹣100x+271|＝﹣（x2﹣100x+271），则y＝0；
当x＝1时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=172；
当x＝2时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=75；
当x＝98时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=75；
当x＝99时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=172；
当x＝100时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=271；
故所求和为172+75+75+172+271＝765．
故选：C．
5．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 1，2，3，4，5，8，9，10或2，3，5，6，7，8，9或4，5，8，9，10 ，B部分的数是 6、7或1，4，10或1，2，3，7 ．
【解答】解：①∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，
而1+2+3+4+5+8+9+10＝6×7＝42；
∴A部分的数是1，2，3，4，5，8，9，10；B部分的数是：6，7．
②2+3+5+6+7+8+9＝40，
∴B部分的数是1，4，10
∴2，3，5，6，7，8，9，B部分的数是1，4，10；
③A部分的数是4，5，8，9，10；B部分的数是1，2，3，7．
故答案为：1，2，3，4，5，8，9，10或2，3，5，6，7，8，9或4，5，8，9，10；
6，7或1，4，10或1，2，3，7．
6．方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝ −12 ．
【解答】解：将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，
∴方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，
∵化简绝对值可得函数y=−x−2，x＜−2x+2，−2≤x＜−1−x，−1≤x＜0x，x≥0，且函数y＝kx﹣k的图象过定点（1，0），
∴函数图象如下：
由图可知，只有当y＝kx﹣k过点（﹣1，1）时，才有三个交点，
∴﹣k﹣k＝1，
∴k=−12．
故答案为：−12．
7．从﹣3，﹣2，﹣1，−12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组13(2x+7)≥3x−m＜0无解，且使关于x的分式方程xx+3+m−2x+3=−1有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 29 ．
【解答】解：解不等式13（2x+7）≥3，得：x≥1，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
∵不等式组无解，
∴m≤1，
∴符合此条件的有﹣3，﹣2，﹣1，−12，0，12，1这7个数，
解分式方程得x=−m−12，
∵方程有非负整数解，
∴在以上7个数中，符合此条件的有﹣3、﹣1这2个，
∴从这9个数中抽到满足条件的m的概率是29，
故答案为：29．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM．连接DF、CF，则DF+12FC的最小值为 52 ．
【解答】解：如图所示：取BG=12，连接FG．
∵BC＝2，E是BC的中点，
∴BE＝1．
由翻折的性质可知BF＝BE＝1．
∵BF＝1，BC＝2，GB=12，
∴BF2＝BC•GB．
∴BFCB=GBFB．
又∵∠FBG＝∠FBC，
∴△BGF∽△BFC，
∴FGFC=BFBC=12，
∴FG=12FC．
∴DF+12FC＝DF+FG≥DG=DC2+CG2=22+(32)2=52．
∴DF+12FC的最小值为52．
故答案为：52．
9．记S（n）为n的各位数字之和，例如S（2019）＝2+0+1+9＝12．
（1）当10≤n≤99时，求nS(n)的最小值．
（2）当100≤n≤999时，求nS(n)的最小值．
（3）当1000≤n≤9999时，求nS(n)的最小值．
【解答】解：（1）设两位数的十位数为a，个位数为b，则
ns(n)=10a+ba+b
=a+b+9aa+b
＝1+9aa+b
＝1+91+ba，
10a+ba+b值最小，则ba最大，ns(n)=10a+ba+b
∴a＝1，b＝9，
∴191+9=1.9．
（2）设三位数的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则要使ns(n)=100a+10b+ca+b+c值最小，
ns(n)=1+99a+9ba+b+c其值最小，
则a＝1，c＝9，
ns(n)=1+99a+9b10+b+1=10+910+b，
∴b＝9，
∴ns(n)=19919=10919．
（3）设四位数的千位数为a，百位数为b，十位数为c，个位数为d，
则ns(n)=1000a+100b+10c+da+b+c+d
＝1+999a+99b+9ca+b+c+d，
其值最小，则a＝1，d＝9，
∴ns(n)=1+999a+99b+9ca+b+c+d，
类似分析，b＝0，c＝9时符合题意，
ns(n)最小值为109919．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
（3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问M1P⋅M2PM1M2是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由．
【解答】解：（1）∵一次函数y=54x+m经过点A（﹣3，0），
∴m=154，
则C的坐标为（0，154），
∵抛物线经过点A（﹣3，0）、C（0，154），且以直线x＝1为对称轴，
则点B的坐标为（5，0），
∴二次函数为y=−14（x+3）（x﹣5）或y=−14x2+12x+154；
（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x＝1于P点，因为点A、B关于x＝1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，154），
∴直线BC解析式为y=−34x+154，
∵xP＝1，∴yP＝3，即P（1，3）．
（3）存在…（7分）
设Q（x，−14x2+12x+154）
①若C为直角顶点，则由△ACO相似于△CQE，
得x＝5.2，
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，
得x＝8.2，
∴Q的横坐标为5.2，8.2．
（4）是定值，定值为1．
令经过点P（1，3）的直线为y＝kx+b，则k+b＝3，即b＝3﹣k，
则直线的解析式是：y＝kx+3﹣k，
∵y＝kx+3﹣k，y=−14x2+12x+154，
联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣4k，x1x2＝﹣4k﹣3．
∵y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x1−x2)+k2(x1−x2)2=1+k2(x1−x2)2，
∴M1M2=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=1+k2(2−4k)2−4(−4k−3)=4（1+k2）．
又∵M1P=(x1−1)2+(y1−3)2=(x1−1)2+(kx1+3−k−3)2=1+k2(x1−1)2；
同理M2P=1+k2(x2−1)2
∴M1P•M2P＝（1+k2）•(x1−1)2(x2−1)2=（1+k2）•[x1x2−(x1+x2)+1]2=（1+k2）•[−4k−3−(2−4k)+1]2=4（1+k2）．
∴M1P•M2P＝M1M2，
∴M1P⋅M2PM1M2=1为定值．
11．如图，△ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q．
（1）证明：A，Q，D，E四点共圆；
（2）证明：A，Q，B，C四点共圆．
【解答】证明：（1）连接QA，QD，QE，QP，PD，PE，
根据对称性可知：DQ＝DP，EQ＝EP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠EQD＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠DPE，
∵E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，
∴EC＝EP，DB＝DP，
∴∠C＝∠5，∠B＝∠6，∠A+∠B+∠C＝180°，∠DPE+∠6+∠5＝180°，
∴∠A＝∠DPE＝∠EQD，
∴A，Q，D，E四点共圆；
（2）连接QB，QC，
∵A，Q，D，E四点共圆，
∴∠7＝∠8，
∴∠BDQ＝∠QEC，BD＝PD＝QD，QE＝PE＝CE，
∴△BDQ∽△CEQ，
∴∠BQD＝∠CQE，
∴∠BQC＝∠DQE＝∠DPE＝∠A，
∴A，Q，B，C四点共圆．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（−12，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，34x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|−12−0|=12≠2，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为12．
故答案是：12．
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知：|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，
由题意可知，点C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x，34x+3），
∴﹣x=34x+2，
此时，x=−87，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x|=87，
此时C（−87，157）；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与（﹣1，0）重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且CH＝HN，
此时，N（﹣1，1），
∴﹣1﹣x=34x+3﹣1，解得x=−127，
∴y=34×（−127）+3=127．
此时，点C的坐标为（−127，127），“非常静距离”的最小值为﹣1+127=57．
综上，C与点E的“非常距离”的最小值为57；相应的点E的坐标为（﹣1，1），点C的坐标（−127，127）．