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第11章《一元一次不等式》（导图+知识梳理+十一大考点讲练）-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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这是一份第11章《一元一次不等式》（导图+知识梳理+十一大考点讲练）-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版），文件包含第11章一元一次不等式教师版docx、第11章一元一次不等式学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练第11章 一元一次不等式（思维导图+知识梳理+十一大重点考向举一反三讲练）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点01：不等式【高频考点精讲】1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.【易错点剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知识点02：一元一次不等式【高频考点精讲】1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点03：一元一次不等式组 【高频考点精讲】 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．重点考向01：不等式的性质重点考向02：不等式的解集重点考向03：在数轴上表示不等式的解集重点考向04：解一元一次不等式重点考向05：一元一次不等式的整数解重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式重点考向07：一元一次不等式的应用重点考向08：解一元一次不等式组重点考向09：一元一次不等式组的整数解重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组重点考向11：一元一次不等式组的应用重点考向01：不等式的性质【典例精讲】（2023春•南丹县期末）下列不等式变形正确的是（ ）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得2+a＞2+b C．由a＞b，得﹣a＞﹣b D．由a＞b，得a﹣1＜b﹣1【思路点拨】根据不等式的性质依次判断．【规范解答】解：A、当c＞0时，由a＞b，得ac＞bc，故该项不符合题意；B、由a＞b，得2+a＞2+b，故该项符合题意，C、由a＞b，得﹣a＜﹣b，故该项不符合题意；D、由a＞b，得a﹣1＞b﹣1，故该项不符合题意．故选：B．【考点评析】此题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的正数，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的负数，不等号方向改变．【变式训练1-1】（2023春•襄城县期末）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．【思路点拨】设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【规范解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．∵a，b，c为非负实数，∴，解得：﹣≤k≤．∴当k＝﹣时，S取最大值，当k＝时，S取最小值．∴m＝﹣4×（﹣）+14＝16，n＝﹣4×+14＝11．∴．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设＝＝＝k是解题的关键．【变式训练1-2】（2023春•吉首市期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①试确定y的取值范围；②试确定x+y的取值范围；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣5y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，请直接写出a、b的值．【思路点拨】（1）①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得y的取值；②由①得﹣7＜y＜0，进而求得﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5，即可求得x+y的取值范围；（2）根据题意求得a+b+1＜﹣y＜﹣2b，2b+a+1＜x＜﹣b，然后利用不等式的性质求解3x﹣5y的取值范围，从而得到关于a，b的方程求解．【规范解答】解：（1）①∵x﹣y＝5，∴x＝y+5，∵x＞﹣2，∴y+5＞﹣2，∴y＞﹣7，∵y＜0，∴﹣7＜y＜0，②由①得﹣7＜y＜0，∴﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5②，∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5，∴x+y的取值范围是﹣9＜x+y＜5；（2）∵x﹣y＝a+1，∴x＝y+a+1，∵x＜﹣b，∴y+a+1＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b﹣1，∴﹣y＞a+b+1，∵y＞2b，∴﹣y＜﹣2b，∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①，∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5，∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b，∴2b+a+1＜x＜﹣b，∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②，∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b，∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b，∵3x﹣y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，∴，解得：．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解答本题的关键．【变式训练1-3】（2023春•沾化区期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按90%收费，已知a＞b，顾客累计购物金额为x元．（1）若a＝100，b＝80①当x＝120时，到甲商场实际花费 117 元，到乙商场实际花费 116 元；②若x＞100，那么当x＝ 140 时，到甲或乙商场实际花费一样；（2）经计算发现：当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；（3）若x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，且30≤a﹣b≤50，请直接写出a+b的最小值．【思路点拨】（1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可．（2）建立关于a，b的方程组计算即可．（3）根据甲乙两商场费用一样求解．【规范解答】解：（1）①由题意得到甲商场实际花费：100+（120﹣100）×85%＝117（元），到乙商场实际花费：80+（120﹣80）×90%＝116（元）．故答案为：117，116．②若x＞100，到甲商场实际花费：100+（x﹣100）×85%＝15+0.85x．到乙商场实际花费：80+（x﹣80）×90%＝8+0.9x．∵15+0.85x＝8+0.9x，∴x＝140（元）．故答案为：140．（2）∵当x＝120时，到甲商场无优惠，∴a≥120，∵当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，∴b+（120﹣b）×90%＝119．∴b＝110．∵当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，∴a+（200﹣a）×85%＝110+（200﹣110）×90%，∴a＝140．∴a＝140，b＝110．（3）∵x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，∴a+（180﹣a）×85%＝b+（180﹣b）×90%，∴0.15a+153＝0.1b+162．∴0.15a﹣0.1b＝9．∴b＝1.5a﹣90．∴a﹣b＝a﹣1.5a+90＝﹣0.5a+90．∵30≤a﹣b≤50，∴30≤﹣0.5a+90≤50，∴80≤a≤120．∴a+b＝a+1.5a﹣90＝2.5a﹣90．∵2.5＞0，∴a+b随a的增大而增大．∴当a＝80时，a+b有最小值：2.5×80﹣90＝110．【考点评析】本题考查列代数式，正确表示两个商场实际花费是求解本题的关键．重点考向02：不等式的解集【典例精讲】（2023春•岳麓区校级期末）若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2【思路点拨】根据大大小小无解集得到4m≤8，即可得出答案．【规范解答】解：根据题意得：4m≤8，∴m≤2．故选：A．【考点评析】本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键．【变式训练2-1】（2023春•平泉市期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x⩽2，则a＝3；②当a＝2，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5⩽a＜6；④若它无解，则a⩽2．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解．【规范解答】解：①若它的解集是1＜x⩽2，则：a﹣1＞1，且a﹣1＝2，∴a＝3，故①正确；②当a＝2时，不等式组无解，故②不正确；③由题意得：4≤a﹣1＜5，解得：5≤a＜6，故③正确；④由题意得：a﹣1≤1，解得：a≤2，故④正确．故选：C．【考点评析】本题考查了不等式组的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．【变式训练2-2】（2023春•香洲区期末）下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝3的解，则不等式组的解集为 ﹣3＜x＜0 ．【思路点拨】根据题意列出方程组，求出ab的值，再将相关数据代入方程求出mn的值，进而求出不等式组的结集．【规范解答】解：将x＝1，y＝1；x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝3中得：，解得：，∴原方程为2x+y＝3，当y＝3时，m＝0；当x＝3时，n＝﹣3，∴的解集为﹣3＜x＜0．故答案为：﹣3＜x＜0．【考点评析】本题考查不等式的解集和二元一次方程的解，正确代入数据进行计算是解题关键．【变式训练2-3】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．【思路点拨】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．【规范解答】解：（1）解原方程组得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣，∴m＝﹣1．【考点评析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．重点考向03：在数轴上表示不等式的解集【典例精讲】（2023春•昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 x≥1 ．【思路点拨】直接根据数轴写出答案即可．【规范解答】解：这个不等式的解集是：x≥1．故答案为：x≥1．【考点评析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【变式训练3-1】（2022春•长阳县期末）在一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1＜x≤2【思路点拨】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于．【规范解答】解：由数轴可知，这个不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故答案为：D．【考点评析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，属于基础题目，其中是否可以取得等于是易错点，解题的关键是准确从数轴上找出不等式组的解集．【变式训练3-2】（2023秋•隆回县期末）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 ﹣3 ．【思路点拨】根据去括号、移项、合并同类项，可得不等式的解集，根据不等式解集的表示方法，可得答案．【规范解答】解：去括号，得3x+1＞2x﹣2，移项、合并同类项，得x＞﹣3，故答案为：﹣3．【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来＞或≥，向右画；＜或≤，向左画，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式训练3-3】（2023春•宝应县期末）整式的值为P．（1）当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值．【思路点拨】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可；（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．【规范解答】解：（1）P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5，∴P的值为﹣5；（2）由数轴知：P≤7，即3（﹣m）≤7，解得m≥﹣2，m为非正整数，∴m＝0，﹣1或﹣2．【考点评析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．【变式训练3-4】（2023春•徐闻县期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：【思路点拨】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【规范解答】解：解不等式5x﹣2＞4x﹣1，得x＞1，解不等式x+1≥﹣2+，得x≤3，在数轴表示如图所示：∴原不等式组的解集是1＜x≤3．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．重点考向04：解一元一次不等式【典例精讲】（2023春•德化县期中）若关于x的不等式4x﹣2＞3x﹣k的解集在数轴上表示如图所示，则关于y的方程的解为（ ）A．4 B．2 C．﹣1 D．﹣3【思路点拨】先根据数轴得出不等式4x﹣2＞3x﹣k的解集为x＞1，由此确定k的值，然后代入方程，解方程即可．【规范解答】解：4x﹣2＞3x﹣k，移项，得：4x﹣3x＞2﹣k，解集为x＞2﹣k，∴2﹣k＝1，∴k＝1，则关于y的方程为，解得：y＝﹣3．故选：D．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集以及一元一次方程的解法，正确确定k的值是关键．【变式训练4-1】（2023秋•鄞州区期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是 a＜1 ．【思路点拨】先根据不等式的解集是x＞1得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【规范解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，∴a﹣1＜0，解得a＜1．故答案为：a＜1．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．【变式训练4-2】（2023•鼓楼区校级模拟）解不等式：≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【规范解答】解：≥3（x﹣1）﹣6.5，x+1≥6x﹣6﹣13，∴x≤4．数轴表示为：【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式训练4-3】（2023春•云阳县期末）已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围．【思路点拨】利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解满足2x﹣y＜19，建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案．【规范解答】解：②﹣①×2得：3x＝6m+9，解得x＝2m+3，把x＝2m+3代入①得：2m+3+y＝﹣1，解得y＝﹣4﹣2m，∴方程组的解为，∵关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，∴2（2m+3）﹣（﹣4﹣2m）＜19，∴4m+6+4+2m＜19，解得m＜．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确利用加减消元法求出方程组的解是解题的关键．重点考向05：一元一次不等式的整数解【典例精讲】（2023春•黔东南州期末）已知关于x的不等式3x﹣a＞1有且只有1个负整数解，则a的取值范围是（ ）A．a＞4 B．﹣7≤a＜﹣4 C．﹣7＜a≤﹣4 D．a≤4【思路点拨】解不等式3x﹣a＞1，由不等式的负整数解为﹣1，即可求解．【规范解答】解：解不等式3x﹣a＞1，得：，∵不等式有且只有1个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1，∴，解得﹣7≤a＜﹣4．故选：B．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式训练5-1】（2023春•文昌期末）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是 ．【思路点拨】直接解不等式表示出不等式组的解集，进而利用不等式组有三个整数解，进而得出a的取值范围．【规范解答】解：解+得：x，解3x+5a＞4x+3a得：x＜2a，故不等式组的解集为：﹣＜x＜2a，∵关于x的不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a≤3，解得：1＜a≤．故答案为：．【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组是解题关键．【变式训练5-2】（2023春•南召县期中）对m、n定义一种新运算“*”规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10．则关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为 1 ．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值，即可由x*（2x﹣3）＜9，得出ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，解得x＞，从而得出关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为1．【规范解答】解：∵2*3＝1，3*（﹣1）＝10，∴，解得，∵x*（2x﹣3）＜9，∴ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，解得x＞，∴关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为1．故答案为：1．【考点评析】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练5-3】（2023春•迪庆州期末）已知不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是方程2x﹣ax＝16的解，求a的值．【思路点拨】先求出不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的解集，即可得到不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解，然后代入方程2x﹣ax＝16，即可求得a的值【规范解答】解：由3（2x+5）＞2（4x+3），可得x＜4.5，∴不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是x＝4，∵不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是方程2x﹣ax＝16的解，∴2×4﹣4a＝16，解得a＝﹣2，即a的值是﹣2．【考点评析】本题考查一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解答本题的关键是明确解不等式的方法和解一元一次方程的方法．重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式【典例精讲】（2023春•灵丘县校级期末）某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（ ）A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90 C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90【思路点拨】根据每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【规范解答】解：设小明答对x道题，由题意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．故选：C．【考点评析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．【变式训练6-1】（2023春•忻州期末）某服饰店搞促销活动，买两件衬衫可先减100元，再打8折，假设芳芳购买衬衫的定价为x元/件，两件优惠后售价不超过1000元，根据题意，可列不等式 0.8（2x﹣100）≤1000 ．【思路点拨】先表示出打折之后的价格，根据不超过1000元可列不等式．【规范解答】解：依题意得：0.8（2x﹣100）≤1000，故答案为：0.8（2x﹣100）≤1000．【考点评析】本题考查列一元一次不等式，找到题中的不等关系是解题的关键．【变式训练6-2】（2022春•安阳期末）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式≥+1解：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+1…………第一步去括号，得2x+2≥6x﹣5+1…………第二步移项，得2x﹣6x≥﹣5+1+2…………第三步合并同类项，得﹣4x≥﹣2…………第四步系数化为1，得x≥…………第五步所以不等式的解集为：x≥任务一：以上解题过程中，从第 一 步开始出现错误，错误的原因是 去分母时两边都乘12时右边1漏乘12 ；任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程完整的写出来；任务三：请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时需要注意的事项．【思路点拨】任务一：去分母时两边都乘12时右边1漏乘12，据此可得答案；任务二：根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可；任务三：去括号、移项、系数化为1均有错误，逐一解答即可．【规范解答】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是两边都乘以12时右边1漏乘12，故答案为：一，两边都乘以12时右边1漏乘12；任务二：正确过程如下：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+12，去括号，得2x+2≥6x﹣15+12，移项，得2x﹣6x≥﹣15+12﹣2，合并同类项，得﹣4x≥﹣5，系数化为1，得x≤；任务三：去括号时括号内每项都要乘括号前的常数，移项要变号，系数化为1时两边都乘或除以负数时不等号的方向要改变．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式训练6-3】（2022春•通榆县期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5．（1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数x表示的意义；（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5；（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程）【思路点拨】（1）根据这些硬币的总币值小于9.5元，结合两人所列不等式可得；（2）由（1）可得答案；（3）解不等式得出x的范围，从而得出答案．【规范解答】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下：小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数．（2）由（1）知小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5故答案为：0.5×（15﹣x）、1×（15﹣x）．（3）设小刚可能有5角的硬币x枚，根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9.5解得：x＞11，∵x是自然数，∴x可取12，13、14，答：小刚可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚．【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键．重点考向07：一元一次不等式的应用【典例精讲】（2023春•儋州期末）下表为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【思路点拨】设共有x人，分别计算选择包场计费和人数计费的费用，然后根据包场计费方案比人数方案便宜，列出不等式求解即可．【规范解答】解：设共有x人，包场计费方案费用为：90×6+10x＝540+10x（元），人数计费方案费用为：54x+（6﹣3）×8x＝78x（元），由题意得，540+10x＜78x，解得：，∵人数为正整数，∴至少有8人，故选：B．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到不等关系，列出不等式求解是解题的关键．【变式训练7-1】（2023春•巴彦淖尔期末）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 12 道题，成绩才能在60分以上．【思路点拨】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．得到不等式6x﹣2（15﹣x）＞60，求解即可．【规范解答】解：设答对x道．故6x﹣2（15﹣x）＞60解得：x＞所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．【变式训练7-2】（2023秋•遂川县期末）五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？【思路点拨】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购进A和B两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．【规范解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，，解得，答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是200元、300元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，∵某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），∴或或，∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+50×6＝380，当a＝4，b＝4时，w＝80×4+50×4＝520，当a＝7，b＝2时，w＝80×7+50×2＝660，由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．【变式训练7-3】（2023春•莒南县期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．【规范解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37，∵a是整数，∴a最大是37，答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得：（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，解得：x＞35，∵x≤37，且x应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．【考点评析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．重点考向08：解一元一次不等式组【典例精讲】（2023春•武汉期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；②当a＝3，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；④若它有解，则a＞3．其中正确的结论个数（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．【规范解答】解：，解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x≤，所以不等式组的解集为1＜x≤，①∵它的解集是1＜x≤3，∴＝3，解得a＝7，故原结论正确；②∵a＝3，∴＝＝1，故不等式组无解，故原结论错误；③∵它的整数解仅有3个，∴4≤＜5，解得9≤a＜11．则a的取值范围是9≤a＜11，故原结论错误；④∵不等式组有解，∴＞1，∴a＞3，故本小题正确．所以正确的结论个数是2个．故选：B．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练8-1】（2023秋•东安县校级期末）若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围 a≥2 ．【思路点拨】先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论．【规范解答】解：，由①得，x＜2，由②得，x＞a，∵不等式组无解，∴a≥2．故答案为：a≥2．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练8-2】（2023•夏津县二模）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是 a≤2 ．【思路点拨】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x＞6确定a的取值范围即可．【规范解答】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：，解不等式①可得：x＞6，解不等式①可得：x＞3a，因为该不等式组的解集为x＞6，∴3a≤6，解得：a≤2．故答案为：a≤2．【考点评析】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．【变式训练8-3】（2023春•淅川县期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集；（2）求不等式＞0的解集．【思路点拨】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．【规范解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”有①或②，解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣4，所以一元二次不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集是x＞3或x＜﹣4；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”有①或②，解不等式组①得：﹣3＜x＜2，解不等式组②无解，所以不等式＞0的解集是﹣3＜x＜2．【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．重点考向09：一元一次不等式组的整数解【典例精讲】（2023春•开福区校级月考）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组最少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】解含参的一元一次方程及一元一次不等式组，根据已知条件确定a的取值，然后将它们相加即可．【规范解答】解：，解得：x＝，∵原方程有整数解，∴为整数，，由①可得x≤4a，②可得x＞12，∵原不等式组最多有3个整数解，∴它的三个整数解为：13，14，15，16，∴13≤4a＜17，解得：3.75≤a＜4.25，∵为整数，∴a＝4，故选：B．【考点评析】本题主要考查解含参的一元一次方程及不等式组确定参数的取值，结合已知条件确定m的取值范围并且确定为整数是解题的关键．【变式训练9-1】．（2023秋•新田县期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．【思路点拨】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．【规范解答】解：，解①得：x＞a﹣2，解②得：x≤3．∵不等式组恰有3个整数解，∴不等式组的整数解是：1，2，3．∴0≤a﹣2＜1，∴2≤a＜3．故答案为：2≤a＜3．【考点评析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式训练9-2】（2023春•重庆期中）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数a的所有值的积为 15 ．【思路点拨】解不等式组中两个不等式结合其整数解的情况可得a≤8，再解方程得x＝，由其解为正整数解得出a＞0，最后根据方程的解必须为正整数解得a的取值情况．【规范解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，解不等式，得x＜8，∵不等式组至少有4个整数解，∴≤4，解得a≤8，解关于x的一元一次方程，得x＝，∵方程有正整数解，∴＞0，则a＞0，∴0＜a≤8，其中能使为正整数的a值有1，3，5，其积为1×3×5＝15．故答案为：15．【考点评析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．【变式训练9-3】（2023春•东湖区校级期末）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．（3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．【思路点拨】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断；（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围；（3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围．【规范解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：解不等式组A：，得4＜x＜6，∴A的中点值为x＝5，∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内，∴不等式B对于不等式组A中点包含；（2）∵D对于不等式组C中点包含，∴不等式组C和不等式组D有解，解不等式组C：，得，不等式组D：，得，∴，解得：m＞﹣4，∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x＜，∴C的中点值为＝2m+1，∵D对于不等式组C中点包含，∴m﹣4＜2m+1＜，解得：﹣5＜m＜10，又∵m＞﹣4，∴﹣4＜m＜10．（3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，，∴E的中点值为n+m，∵不等式组F对于不等式组E中点包含，∴，解得：n＜m＜5，∵所有符合要求的整数m之和为9，∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1．【考点评析】本题以新定义为背景，考查了两数的中间值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）．重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组【典例精讲】（2021春•东至县期末）开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（ ）A． B． C． D．【思路点拨】货车承载量要不低于（≥）A种货物总件数和B种货物总件数，故可列一元一次不等式组解决．【规范解答】解：设安排甲种物流货车x辆，则需要乙种物流货车（15﹣x）辆．由题意：，故选：A．【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，分别表示出两种货车所载A种货物总件数和B种货物总件数是解题关键．【变式训练10-1】（2023春•长寿区期末）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料均不超过2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方法？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2元，B种饮料每瓶的成本为2.50元，试说明选择哪种方法成本最低，最低成本是多少？【思路点拨】（1）设生产A种饮料x瓶解出不等式方程组即可．（2）如图可得x与y的关系式，可知道x与y的关系．【规范解答】解：（1）根据题意得：，解这个不等式组，得20≤x≤40．因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种．（2）根据题意，得y＝2x+2.5（100﹣x），整理，得y＝﹣0.5x+250．∵k＝﹣0.5＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝40时成本最低．当x＝40时，y＝﹣0.5×40+250＝230，生产A种饮料40瓶，B种饮料60瓶，成本最低是230元．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解，解（2）时一定要注意根据一次函数的增减性求解．【变式训练10-2】（2023春•交城县期末）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为 1≤x﹣7（）＜7 ．【思路点拨】设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据最后一人虽分到书但不足7本，可得出不等式．【规范解答】解：设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据题意得：1≤x﹣7（）＜7．故答案为：1≤x﹣7（）＜7．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．重点考向11：一元一次不等式组的应用【典例精讲】（2023春•霍邱县期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是（ ）A．4＜x≤10 B．4≤x＜10 C．4＜x＜10 D．4≤x≤10【思路点拨】根据运算进行了2次才停止，列出不等式组，求解即可得到x的取值范围．【规范解答】解：根据题意得：，解不等式①，得：x≤10，解不等式②，得：x＞4，∴不等式组的解集为4＜x≤10，即x的取值范围是4＜x≤10，故选：A．【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，根据运算程序并列出不等式组是解题关键．【变式训练11-1】（2023春•新市区校级期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 48 人．【思路点拨】假设共安排x艘船，根据报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，则可知划船员工数是6x+18且6x+18＜50；若每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，则10（x﹣1）+1≤6x+18＜10x，解得x代入6x+18即是划船的员工数．【规范解答】解：设共安排x艘船，根据题意得：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组的解集为：，∴x＝5，∴划船员工数为：6x+18＝48（人），∴参加划船的员工共有48人．故答案为：48．【考点评析】本题考查一元一次不等式（组）的应用．解题的关键是根据题意，逐句分析题目已知，找出存在的或隐含的关系式，然后求解．【变式训练11-2】（2023春•开福区校级月考）“阅美湖湘，点亮成长”青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数暴不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择，并计算出最省钱的购买方案．【思路点拨】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．【规范解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：， 解之得：，答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：，解之得：8≤m≤10，因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10，即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【考点评析】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．【变式训练11-3】（2020春•张店区期末）随着科技的飞跃，社会的进步，我们望谟县各个乡镇中学都安装了班班通，班班通是由一台电脑和电子白板构成，经过调查得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元；（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？【思路点拨】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．【规范解答】解（1）设每台电脑为x万元，每台电子白板为y万元，依题意得：，解得：．答：每台电脑为0.5万元，每台电子白板为1.5万元．（2）设需购进电脑为a台，则需购进电子白板为（30﹣a）台，依题意得：，解得：5＜a≤7，∵a只能取整数，∴a＝6，7，∴有两种购买方案，方案1：需购进电脑6台，则购进电子白板24台，方案2：需购进电脑7台，则购进电子白板23台，方案1：6×0.5+1.5×24＝39（万元），方案2：7×0.5+1.5×23＝38（万元），∵38＜39，∴选择方案2最省钱，即购买电脑7台，电子白板23台最省钱．【考点评析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数 xm123y31﹣1n飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每小时90元，每人须另付入场费10元人数计费方案每人打球3小时54元，接着续打球每人每小时8元销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元原料名称饮料名称甲乙A（瓶）20克40克B（瓶）30克20克
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练第11章 一元一次不等式（思维导图+知识梳理+十一大重点考向举一反三讲练）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点01：不等式【高频考点精讲】1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.【易错点剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知识点02：一元一次不等式【高频考点精讲】1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点03：一元一次不等式组 【高频考点精讲】 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．重点考向01：不等式的性质重点考向02：不等式的解集重点考向03：在数轴上表示不等式的解集重点考向04：解一元一次不等式重点考向05：一元一次不等式的整数解重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式重点考向07：一元一次不等式的应用重点考向08：解一元一次不等式组重点考向09：一元一次不等式组的整数解重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组重点考向11：一元一次不等式组的应用重点考向01：不等式的性质【典例精讲】（2023春•南丹县期末）下列不等式变形正确的是（ ）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得2+a＞2+b C．由a＞b，得﹣a＞﹣b D．由a＞b，得a﹣1＜b﹣1【思路点拨】根据不等式的性质依次判断．【规范解答】解：A、当c＞0时，由a＞b，得ac＞bc，故该项不符合题意；B、由a＞b，得2+a＞2+b，故该项符合题意，C、由a＞b，得﹣a＜﹣b，故该项不符合题意；D、由a＞b，得a﹣1＞b﹣1，故该项不符合题意．故选：B．【考点评析】此题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的正数，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的负数，不等号方向改变．【变式训练1-1】（2023春•襄城县期末）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．【思路点拨】设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【规范解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．∵a，b，c为非负实数，∴，解得：﹣≤k≤．∴当k＝﹣时，S取最大值，当k＝时，S取最小值．∴m＝﹣4×（﹣）+14＝16，n＝﹣4×+14＝11．∴．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设＝＝＝k是解题的关键．【变式训练1-2】（2023春•吉首市期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①试确定y的取值范围；②试确定x+y的取值范围；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣5y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，请直接写出a、b的值．【思路点拨】（1）①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得y的取值；②由①得﹣7＜y＜0，进而求得﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5，即可求得x+y的取值范围；（2）根据题意求得a+b+1＜﹣y＜﹣2b，2b+a+1＜x＜﹣b，然后利用不等式的性质求解3x﹣5y的取值范围，从而得到关于a，b的方程求解．【规范解答】解：（1）①∵x﹣y＝5，∴x＝y+5，∵x＞﹣2，∴y+5＞﹣2，∴y＞﹣7，∵y＜0，∴﹣7＜y＜0，②由①得﹣7＜y＜0，∴﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5②，∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5，∴x+y的取值范围是﹣9＜x+y＜5；（2）∵x﹣y＝a+1，∴x＝y+a+1，∵x＜﹣b，∴y+a+1＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b﹣1，∴﹣y＞a+b+1，∵y＞2b，∴﹣y＜﹣2b，∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①，∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5，∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b，∴2b+a+1＜x＜﹣b，∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②，∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b，∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b，∵3x﹣y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，∴，解得：．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解答本题的关键．【变式训练1-3】（2023春•沾化区期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按90%收费，已知a＞b，顾客累计购物金额为x元．（1）若a＝100，b＝80①当x＝120时，到甲商场实际花费 117 元，到乙商场实际花费 116 元；②若x＞100，那么当x＝ 140 时，到甲或乙商场实际花费一样；（2）经计算发现：当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；（3）若x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，且30≤a﹣b≤50，请直接写出a+b的最小值．【思路点拨】（1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可．（2）建立关于a，b的方程组计算即可．（3）根据甲乙两商场费用一样求解．【规范解答】解：（1）①由题意得到甲商场实际花费：100+（120﹣100）×85%＝117（元），到乙商场实际花费：80+（120﹣80）×90%＝116（元）．故答案为：117，116．②若x＞100，到甲商场实际花费：100+（x﹣100）×85%＝15+0.85x．到乙商场实际花费：80+（x﹣80）×90%＝8+0.9x．∵15+0.85x＝8+0.9x，∴x＝140（元）．故答案为：140．（2）∵当x＝120时，到甲商场无优惠，∴a≥120，∵当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，∴b+（120﹣b）×90%＝119．∴b＝110．∵当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，∴a+（200﹣a）×85%＝110+（200﹣110）×90%，∴a＝140．∴a＝140，b＝110．（3）∵x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，∴a+（180﹣a）×85%＝b+（180﹣b）×90%，∴0.15a+153＝0.1b+162．∴0.15a﹣0.1b＝9．∴b＝1.5a﹣90．∴a﹣b＝a﹣1.5a+90＝﹣0.5a+90．∵30≤a﹣b≤50，∴30≤﹣0.5a+90≤50，∴80≤a≤120．∴a+b＝a+1.5a﹣90＝2.5a﹣90．∵2.5＞0，∴a+b随a的增大而增大．∴当a＝80时，a+b有最小值：2.5×80﹣90＝110．【考点评析】本题考查列代数式，正确表示两个商场实际花费是求解本题的关键．重点考向02：不等式的解集【典例精讲】（2023春•岳麓区校级期末）若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2【思路点拨】根据大大小小无解集得到4m≤8，即可得出答案．【规范解答】解：根据题意得：4m≤8，∴m≤2．故选：A．【考点评析】本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键．【变式训练2-1】（2023春•平泉市期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x⩽2，则a＝3；②当a＝2，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5⩽a＜6；④若它无解，则a⩽2．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解．【规范解答】解：①若它的解集是1＜x⩽2，则：a﹣1＞1，且a﹣1＝2，∴a＝3，故①正确；②当a＝2时，不等式组无解，故②不正确；③由题意得：4≤a﹣1＜5，解得：5≤a＜6，故③正确；④由题意得：a﹣1≤1，解得：a≤2，故④正确．故选：C．【考点评析】本题考查了不等式组的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．【变式训练2-2】（2023春•香洲区期末）下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝3的解，则不等式组的解集为 ﹣3＜x＜0 ．【思路点拨】根据题意列出方程组，求出ab的值，再将相关数据代入方程求出mn的值，进而求出不等式组的结集．【规范解答】解：将x＝1，y＝1；x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝3中得：，解得：，∴原方程为2x+y＝3，当y＝3时，m＝0；当x＝3时，n＝﹣3，∴的解集为﹣3＜x＜0．故答案为：﹣3＜x＜0．【考点评析】本题考查不等式的解集和二元一次方程的解，正确代入数据进行计算是解题关键．【变式训练2-3】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．【思路点拨】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．【规范解答】解：（1）解原方程组得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣，∴m＝﹣1．【考点评析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．重点考向03：在数轴上表示不等式的解集【典例精讲】（2023春•昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 x≥1 ．【思路点拨】直接根据数轴写出答案即可．【规范解答】解：这个不等式的解集是：x≥1．故答案为：x≥1．【考点评析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【变式训练3-1】（2022春•长阳县期末）在一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1＜x≤2【思路点拨】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于．【规范解答】解：由数轴可知，这个不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故答案为：D．【考点评析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，属于基础题目，其中是否可以取得等于是易错点，解题的关键是准确从数轴上找出不等式组的解集．【变式训练3-2】（2023秋•隆回县期末）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 ﹣3 ．【思路点拨】根据去括号、移项、合并同类项，可得不等式的解集，根据不等式解集的表示方法，可得答案．【规范解答】解：去括号，得3x+1＞2x﹣2，移项、合并同类项，得x＞﹣3，故答案为：﹣3．【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来＞或≥，向右画；＜或≤，向左画，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式训练3-3】（2023春•宝应县期末）整式的值为P．（1）当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值．【思路点拨】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可；（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．【规范解答】解：（1）P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5，∴P的值为﹣5；（2）由数轴知：P≤7，即3（﹣m）≤7，解得m≥﹣2，m为非正整数，∴m＝0，﹣1或﹣2．【考点评析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．【变式训练3-4】（2023春•徐闻县期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：【思路点拨】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【规范解答】解：解不等式5x﹣2＞4x﹣1，得x＞1，解不等式x+1≥﹣2+，得x≤3，在数轴表示如图所示：∴原不等式组的解集是1＜x≤3．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．重点考向04：解一元一次不等式【典例精讲】（2023春•德化县期中）若关于x的不等式4x﹣2＞3x﹣k的解集在数轴上表示如图所示，则关于y的方程的解为（ ）A．4 B．2 C．﹣1 D．﹣3【思路点拨】先根据数轴得出不等式4x﹣2＞3x﹣k的解集为x＞1，由此确定k的值，然后代入方程，解方程即可．【规范解答】解：4x﹣2＞3x﹣k，移项，得：4x﹣3x＞2﹣k，解集为x＞2﹣k，∴2﹣k＝1，∴k＝1，则关于y的方程为，解得：y＝﹣3．故选：D．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集以及一元一次方程的解法，正确确定k的值是关键．【变式训练4-1】（2023秋•鄞州区期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是 a＜1 ．【思路点拨】先根据不等式的解集是x＞1得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【规范解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，∴a﹣1＜0，解得a＜1．故答案为：a＜1．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．【变式训练4-2】（2023•鼓楼区校级模拟）解不等式：≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【规范解答】解：≥3（x﹣1）﹣6.5，x+1≥6x﹣6﹣13，∴x≤4．数轴表示为：【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式训练4-3】（2023春•云阳县期末）已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围．【思路点拨】利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解满足2x﹣y＜19，建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案．【规范解答】解：②﹣①×2得：3x＝6m+9，解得x＝2m+3，把x＝2m+3代入①得：2m+3+y＝﹣1，解得y＝﹣4﹣2m，∴方程组的解为，∵关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，∴2（2m+3）﹣（﹣4﹣2m）＜19，∴4m+6+4+2m＜19，解得m＜．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确利用加减消元法求出方程组的解是解题的关键．重点考向05：一元一次不等式的整数解【典例精讲】（2023春•黔东南州期末）已知关于x的不等式3x﹣a＞1有且只有1个负整数解，则a的取值范围是（ ）A．a＞4 B．﹣7≤a＜﹣4 C．﹣7＜a≤﹣4 D．a≤4【思路点拨】解不等式3x﹣a＞1，由不等式的负整数解为﹣1，即可求解．【规范解答】解：解不等式3x﹣a＞1，得：，∵不等式有且只有1个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1，∴，解得﹣7≤a＜﹣4．故选：B．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式训练5-1】（2023春•文昌期末）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是 ．【思路点拨】直接解不等式表示出不等式组的解集，进而利用不等式组有三个整数解，进而得出a的取值范围．【规范解答】解：解+得：x，解3x+5a＞4x+3a得：x＜2a，故不等式组的解集为：﹣＜x＜2a，∵关于x的不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a≤3，解得：1＜a≤．故答案为：．【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组是解题关键．【变式训练5-2】（2023春•南召县期中）对m、n定义一种新运算“*”规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10．则关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为 1 ．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值，即可由x*（2x﹣3）＜9，得出ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，解得x＞，从而得出关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为1．【规范解答】解：∵2*3＝1，3*（﹣1）＝10，∴，解得，∵x*（2x﹣3）＜9，∴ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，解得x＞，∴关于x的不等式x*（2x﹣3）＜9的最小整数解为1．故答案为：1．【考点评析】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练5-3】（2023春•迪庆州期末）已知不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是方程2x﹣ax＝16的解，求a的值．【思路点拨】先求出不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的解集，即可得到不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解，然后代入方程2x﹣ax＝16，即可求得a的值【规范解答】解：由3（2x+5）＞2（4x+3），可得x＜4.5，∴不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是x＝4，∵不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整数解是方程2x﹣ax＝16的解，∴2×4﹣4a＝16，解得a＝﹣2，即a的值是﹣2．【考点评析】本题考查一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解答本题的关键是明确解不等式的方法和解一元一次方程的方法．重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式【典例精讲】（2023春•灵丘县校级期末）某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（ ）A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90 C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90【思路点拨】根据每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【规范解答】解：设小明答对x道题，由题意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．故选：C．【考点评析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．【变式训练6-1】（2023春•忻州期末）某服饰店搞促销活动，买两件衬衫可先减100元，再打8折，假设芳芳购买衬衫的定价为x元/件，两件优惠后售价不超过1000元，根据题意，可列不等式 0.8（2x﹣100）≤1000 ．【思路点拨】先表示出打折之后的价格，根据不超过1000元可列不等式．【规范解答】解：依题意得：0.8（2x﹣100）≤1000，故答案为：0.8（2x﹣100）≤1000．【考点评析】本题考查列一元一次不等式，找到题中的不等关系是解题的关键．【变式训练6-2】（2022春•安阳期末）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式≥+1解：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+1…………第一步去括号，得2x+2≥6x﹣5+1…………第二步移项，得2x﹣6x≥﹣5+1+2…………第三步合并同类项，得﹣4x≥﹣2…………第四步系数化为1，得x≥…………第五步所以不等式的解集为：x≥任务一：以上解题过程中，从第 一 步开始出现错误，错误的原因是 去分母时两边都乘12时右边1漏乘12 ；任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程完整的写出来；任务三：请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时需要注意的事项．【思路点拨】任务一：去分母时两边都乘12时右边1漏乘12，据此可得答案；任务二：根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可；任务三：去括号、移项、系数化为1均有错误，逐一解答即可．【规范解答】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是两边都乘以12时右边1漏乘12，故答案为：一，两边都乘以12时右边1漏乘12；任务二：正确过程如下：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+12，去括号，得2x+2≥6x﹣15+12，移项，得2x﹣6x≥﹣15+12﹣2，合并同类项，得﹣4x≥﹣5，系数化为1，得x≤；任务三：去括号时括号内每项都要乘括号前的常数，移项要变号，系数化为1时两边都乘或除以负数时不等号的方向要改变．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式训练6-3】（2022春•通榆县期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5．（1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数x表示的意义；（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5；（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程）【思路点拨】（1）根据这些硬币的总币值小于9.5元，结合两人所列不等式可得；（2）由（1）可得答案；（3）解不等式得出x的范围，从而得出答案．【规范解答】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下：小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数．（2）由（1）知小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5故答案为：0.5×（15﹣x）、1×（15﹣x）．（3）设小刚可能有5角的硬币x枚，根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9.5解得：x＞11，∵x是自然数，∴x可取12，13、14，答：小刚可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚．【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键．重点考向07：一元一次不等式的应用【典例精讲】（2023春•儋州期末）下表为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【思路点拨】设共有x人，分别计算选择包场计费和人数计费的费用，然后根据包场计费方案比人数方案便宜，列出不等式求解即可．【规范解答】解：设共有x人，包场计费方案费用为：90×6+10x＝540+10x（元），人数计费方案费用为：54x+（6﹣3）×8x＝78x（元），由题意得，540+10x＜78x，解得：，∵人数为正整数，∴至少有8人，故选：B．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到不等关系，列出不等式求解是解题的关键．【变式训练7-1】（2023春•巴彦淖尔期末）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 12 道题，成绩才能在60分以上．【思路点拨】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．得到不等式6x﹣2（15﹣x）＞60，求解即可．【规范解答】解：设答对x道．故6x﹣2（15﹣x）＞60解得：x＞所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．【变式训练7-2】（2023秋•遂川县期末）五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？【思路点拨】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购进A和B两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．【规范解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，，解得，答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是200元、300元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，∵某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），∴或或，∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+50×6＝380，当a＝4，b＝4时，w＝80×4+50×4＝520，当a＝7，b＝2时，w＝80×7+50×2＝660，由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．【变式训练7-3】（2023春•莒南县期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．【规范解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37，∵a是整数，∴a最大是37，答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得：（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，解得：x＞35，∵x≤37，且x应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．【考点评析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．重点考向08：解一元一次不等式组【典例精讲】（2023春•武汉期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；②当a＝3，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；④若它有解，则a＞3．其中正确的结论个数（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．【规范解答】解：，解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x≤，所以不等式组的解集为1＜x≤，①∵它的解集是1＜x≤3，∴＝3，解得a＝7，故原结论正确；②∵a＝3，∴＝＝1，故不等式组无解，故原结论错误；③∵它的整数解仅有3个，∴4≤＜5，解得9≤a＜11．则a的取值范围是9≤a＜11，故原结论错误；④∵不等式组有解，∴＞1，∴a＞3，故本小题正确．所以正确的结论个数是2个．故选：B．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练8-1】（2023秋•东安县校级期末）若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围 a≥2 ．【思路点拨】先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论．【规范解答】解：，由①得，x＜2，由②得，x＞a，∵不等式组无解，∴a≥2．故答案为：a≥2．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练8-2】（2023•夏津县二模）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是 a≤2 ．【思路点拨】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x＞6确定a的取值范围即可．【规范解答】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：，解不等式①可得：x＞6，解不等式①可得：x＞3a，因为该不等式组的解集为x＞6，∴3a≤6，解得：a≤2．故答案为：a≤2．【考点评析】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．【变式训练8-3】（2023春•淅川县期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集；（2）求不等式＞0的解集．【思路点拨】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．【规范解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”有①或②，解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣4，所以一元二次不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集是x＞3或x＜﹣4；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”有①或②，解不等式组①得：﹣3＜x＜2，解不等式组②无解，所以不等式＞0的解集是﹣3＜x＜2．【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．重点考向09：一元一次不等式组的整数解【典例精讲】（2023春•开福区校级月考）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组最少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】解含参的一元一次方程及一元一次不等式组，根据已知条件确定a的取值，然后将它们相加即可．【规范解答】解：，解得：x＝，∵原方程有整数解，∴为整数，，由①可得x≤4a，②可得x＞12，∵原不等式组最多有3个整数解，∴它的三个整数解为：13，14，15，16，∴13≤4a＜17，解得：3.75≤a＜4.25，∵为整数，∴a＝4，故选：B．【考点评析】本题主要考查解含参的一元一次方程及不等式组确定参数的取值，结合已知条件确定m的取值范围并且确定为整数是解题的关键．【变式训练9-1】．（2023秋•新田县期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．【思路点拨】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．【规范解答】解：，解①得：x＞a﹣2，解②得：x≤3．∵不等式组恰有3个整数解，∴不等式组的整数解是：1，2，3．∴0≤a﹣2＜1，∴2≤a＜3．故答案为：2≤a＜3．【考点评析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式训练9-2】（2023春•重庆期中）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数a的所有值的积为 15 ．【思路点拨】解不等式组中两个不等式结合其整数解的情况可得a≤8，再解方程得x＝，由其解为正整数解得出a＞0，最后根据方程的解必须为正整数解得a的取值情况．【规范解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，解不等式，得x＜8，∵不等式组至少有4个整数解，∴≤4，解得a≤8，解关于x的一元一次方程，得x＝，∵方程有正整数解，∴＞0，则a＞0，∴0＜a≤8，其中能使为正整数的a值有1，3，5，其积为1×3×5＝15．故答案为：15．【考点评析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．【变式训练9-3】（2023春•东湖区校级期末）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．（3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．【思路点拨】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断；（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围；（3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围．【规范解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：解不等式组A：，得4＜x＜6，∴A的中点值为x＝5，∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内，∴不等式B对于不等式组A中点包含；（2）∵D对于不等式组C中点包含，∴不等式组C和不等式组D有解，解不等式组C：，得，不等式组D：，得，∴，解得：m＞﹣4，∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x＜，∴C的中点值为＝2m+1，∵D对于不等式组C中点包含，∴m﹣4＜2m+1＜，解得：﹣5＜m＜10，又∵m＞﹣4，∴﹣4＜m＜10．（3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，，∴E的中点值为n+m，∵不等式组F对于不等式组E中点包含，∴，解得：n＜m＜5，∵所有符合要求的整数m之和为9，∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1．【考点评析】本题以新定义为背景，考查了两数的中间值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）．重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组【典例精讲】（2021春•东至县期末）开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（ ）A． B． C． D．【思路点拨】货车承载量要不低于（≥）A种货物总件数和B种货物总件数，故可列一元一次不等式组解决．【规范解答】解：设安排甲种物流货车x辆，则需要乙种物流货车（15﹣x）辆．由题意：，故选：A．【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，分别表示出两种货车所载A种货物总件数和B种货物总件数是解题关键．【变式训练10-1】（2023春•长寿区期末）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料均不超过2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方法？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2元，B种饮料每瓶的成本为2.50元，试说明选择哪种方法成本最低，最低成本是多少？【思路点拨】（1）设生产A种饮料x瓶解出不等式方程组即可．（2）如图可得x与y的关系式，可知道x与y的关系．【规范解答】解：（1）根据题意得：，解这个不等式组，得20≤x≤40．因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种．（2）根据题意，得y＝2x+2.5（100﹣x），整理，得y＝﹣0.5x+250．∵k＝﹣0.5＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝40时成本最低．当x＝40时，y＝﹣0.5×40+250＝230，生产A种饮料40瓶，B种饮料60瓶，成本最低是230元．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解，解（2）时一定要注意根据一次函数的增减性求解．【变式训练10-2】（2023春•交城县期末）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为 1≤x﹣7（）＜7 ．【思路点拨】设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据最后一人虽分到书但不足7本，可得出不等式．【规范解答】解：设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据题意得：1≤x﹣7（）＜7．故答案为：1≤x﹣7（）＜7．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．重点考向11：一元一次不等式组的应用【典例精讲】（2023春•霍邱县期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是（ ）A．4＜x≤10 B．4≤x＜10 C．4＜x＜10 D．4≤x≤10【思路点拨】根据运算进行了2次才停止，列出不等式组，求解即可得到x的取值范围．【规范解答】解：根据题意得：，解不等式①，得：x≤10，解不等式②，得：x＞4，∴不等式组的解集为4＜x≤10，即x的取值范围是4＜x≤10，故选：A．【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，根据运算程序并列出不等式组是解题关键．【变式训练11-1】（2023春•新市区校级期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 48 人．【思路点拨】假设共安排x艘船，根据报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，则可知划船员工数是6x+18且6x+18＜50；若每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，则10（x﹣1）+1≤6x+18＜10x，解得x代入6x+18即是划船的员工数．【规范解答】解：设共安排x艘船，根据题意得：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组的解集为：，∴x＝5，∴划船员工数为：6x+18＝48（人），∴参加划船的员工共有48人．故答案为：48．【考点评析】本题考查一元一次不等式（组）的应用．解题的关键是根据题意，逐句分析题目已知，找出存在的或隐含的关系式，然后求解．【变式训练11-2】（2023春•开福区校级月考）“阅美湖湘，点亮成长”青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数暴不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择，并计算出最省钱的购买方案．【思路点拨】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．【规范解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：， 解之得：，答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：，解之得：8≤m≤10，因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10，即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【考点评析】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．【变式训练11-3】（2020春•张店区期末）随着科技的飞跃，社会的进步，我们望谟县各个乡镇中学都安装了班班通，班班通是由一台电脑和电子白板构成，经过调查得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元；（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？【思路点拨】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．【规范解答】解（1）设每台电脑为x万元，每台电子白板为y万元，依题意得：，解得：．答：每台电脑为0.5万元，每台电子白板为1.5万元．（2）设需购进电脑为a台，则需购进电子白板为（30﹣a）台，依题意得：，解得：5＜a≤7，∵a只能取整数，∴a＝6，7，∴有两种购买方案，方案1：需购进电脑6台，则购进电子白板24台，方案2：需购进电脑7台，则购进电子白板23台，方案1：6×0.5+1.5×24＝39（万元），方案2：7×0.5+1.5×23＝38（万元），∵38＜39，∴选择方案2最省钱，即购买电脑7台，电子白板23台最省钱．【考点评析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数 xm123y31﹣1n飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每小时90元，每人须另付入场费10元人数计费方案每人打球3小时54元，接着续打球每人每小时8元销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元原料名称饮料名称甲乙A（瓶）20克40克B（瓶）30克20克
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