高中物理人教版 (2019)必修 第三册2 库仑定律达标测试

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一、同一直线上三个点电荷的平衡问题
A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷：(如图)
(1)A和B固定，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？
(2)如果A和B是自由的，如何放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。
(3)如图，A、B是两个自由的点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有－4Q的负电荷，放置第三个点电荷E，使系统处于平衡状态，求E的位置、电性和电荷量。
答案 (1)放在A、B的连线上距离A右侧eq \f(3r,5)处 不发生变化
(2)放在A、B的连线上距离A右侧eq \f(3r,5)处 负电荷 eq \f(36Q,25)
(3)放在A、B连线上距离B右侧2r处 正电荷 36Q
1．两个电荷固定，第三个电荷平衡问题
只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。
2．三个自由电荷的平衡问题
(1)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
(2)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。
例1 如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三球沿一直线摆放，它们之间仅在静电力的作用下静止，则以下判断正确的是( )
A．a对b的静电力可能是斥力
B．a对c的静电力一定是斥力
C．a的电荷量可能比b少
D．a的电荷量一定比c多
答案 B
解析 根据静电力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”，因此a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力，故A错误，B正确；同时根据库仑定律来确定静电力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此在电荷量大小上一定为“两大夹一小”，则a的电荷量一定比b多，而a的电荷量与c的电荷量无法确定，故C、D错误。
针对训练1 如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )
A．－Q，在A左侧距A为L处
B．－2Q，在A左侧距A为eq \f(L,2)处
C．－4Q，在B右侧距B为L处
D．＋2Q，在A右侧距A为eq \f(3L,2)处
答案 C
解析 A、B、C三个点电荷要平衡，三个点电荷必须共线且外侧两点电荷相排斥，中间点电荷吸引外侧两电荷，而且外侧点电荷电荷量大，所以C必须带负电，放在B右侧，
对C：eq \f(kQqC,r2)＝keq \f(4Q·qC,L＋r2)，代入得r＝L
对B：eq \f(kQ|qC|,r2)＝eq \f(k4Q·Q,L2)，代入得|qC|＝4Q，C带负电，则qC＝－4Q，选项C正确。
二、非共线力作用下带电体的平衡问题
例2 如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30eq \r(3) g，则B的电荷量是多少？(取g＝10 m/s2，小球A、B视为点电荷，k＝9.0×109 N·m2/C2)
答案 1.0×10－6 C
解析 因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L。
依据题意可得tan 30°＝eq \f(h,L)
则L＝eq \f(h,tan 30°)＝10eq \r(3) cm
设A、B所带电荷量均为q，对B进行受力分析如图所示，
依据平衡条件，解得静电力F＝mgtan 30°＝30eq \r(3)×10－3×10×eq \f(\r(3),3) N＝0.3 N
根据F＝keq \f(q2,L2)
解得q＝eq \r(\f(FL2,k))＝eq \r(\f(0.3,9.0×109)×10\r(3)×10－22) C
＝1.0×10－6 C。
针对训练2 (2022·南通市高二期中)如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则( )
A．a球的质量一定比b球的大
B．a球的电荷量一定比b球的大
C．a球受到的库仑力比b球的小
D．丝线对a球的拉力比对b球的小
答案 A
解析 小球a受力如图，
受力分析可知eq \f(F库,mag)＝tan α，同理可得eq \f(F库,mbg)＝tan β，其中F库＝keq \f(qaqb,r2)，由牛顿第三定律可知两球之间的库仑力大小相等，但是无法判断两球电荷量之间的关系，所以B、C错误。由于β>α，则ma>mb，所以A正确；由于eq \f(F库,FTa)＝sin α，eq \f(F库,FTb)＝sin β，则FTa>FTb，所以D错误。
例3 (多选)(2023·怀仁市大地学校高二月考)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比( )
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力减小
C．地面对小球B的弹力一定增大
D．两个小球之间的距离增大
答案 BD
解析 对球A受力分析，A受三个力的作用，即重力GA，墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确；
对A、B整体受力分析可知，F＝FA，故推力F也将减小，A错误；
地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对B的弹力保持不变，C错误；
由于两球之间的静电力减小，故两小球之间的距离增大，D正确。
三、含库仑力的动力学问题
例4 如图所示，在光滑绝缘的水平面上从左向右依次放着三个质量都是m，间隔为l的带电小球A、B、C。其中A球电荷量为＋10q，B球电荷量为＋q，现用水平向右的力F拉C球，使三球在运动中保持距离不变。(静电力常量为k)求：
(1)C球的电性和带电荷量；
(2)F的大小。
答案 见解析
解析 三个球做加速度相同的加速运动，每个球受到的合力是相同的，水平方向受力情况如图所示。
三个球均以加速度a向右做匀加速直线运动，对三个球组成的系统，彼此间库仑力为内力，由牛顿第二定律有F＝3ma
因A、B球带正电，易判断出C球必带负电
对A球，有keq \f(10q·|qc|,4l2)－keq \f(10q·q,l2)＝ma
对B球，有keq \f(10q·q,l2)＋keq \f(q·|qc|,l2)＝ma
联立各式得qC＝－eq \f(40q,3)，F＝eq \f(70kq2,l2)。
分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下：
1．确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”；
2．对研究对象进行受力分析，画示意图(受力和运动过程)；
3．根据平衡条件或牛顿第二定律列方程；
4．解方程求出待求量。
专题强化练
1．(2023·内乡县第三高级中学高二月考)如图所示，上端固定在天花板上的绝缘轻绳连接带电小球，带电小球b固定在绝缘水平面上，可能让轻绳伸直且a球保持静止状态的情景是( )
答案 C
解析 a球能处于静止状态，则所受合力为零，由题图知a球受重力、绳的拉力和库仑力，这三个力组成封闭三角形时合力为零，或者三力在同一直线上时合力为零，只有C正确。
2.如图所示，质量为m的带电小球N用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球N的左侧，小球N平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上。关于小球N的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)( )
A．正电，eq \f(mg,tan θ) B．正电，mgtan θ
C．负电，mgtan θ D．负电，eq \f(mg,tan θ)
答案 B
解析 以小球N为研究对象，对其进行受力分析，若使小球N处于平衡状态，则M对小球N的库仑力应水平向右，则小球N带正电；小球N的受力分析图如图所示，根据小球处于平衡状态可知，在水平方向有F＝FTsin θ，在竖直方向有FTcs θ＝mg，解得F＝mgtan θ，则小球N所受库仑力大小为mgtan θ，故选项B正确。
3.(多选)(2023·深圳市福田中学高二期中)如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球Q时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球Q的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是( )
A．A球带正电，B球带负电，并且A球带电荷量较多
B．A球带负电，B球带正电，并且A球带电荷量较少
C．如果减小B球的质量，B会右移
D．如果只改变B球的质量，B不会移动
答案 BD
解析 根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带正电，A球才能受到固定球的向左的吸引力和B球向右的吸引力而平衡，B球受到固定球向右的排斥力和A球向左的吸引力而平衡，A错误；A球与两边带电小球的间距相等，根据库仑定律可知，两边带电小球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等，对于B球，因为A离B较近，故要使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，B正确；改变B球的质量，影响的是B球的重力，不会影响三个球之间的库仑力，故三个球仍可保持平衡，B不会移动，C错误，D正确。
4.(多选)(2022·赣州市高二期末)如图所示，两个电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为d的水平面上，另有一个质量为m、电荷量为q的小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为eq \f(\r(3),2)d，离Q2的距离为eq \f(1,2)d。已知重力加速度为g，静电力常量为k，三小球均可视为点电荷。则( )
A．Q1与Q2为同种电荷
B．Q1＝3Q2
C．Q1＝eq \f(mgd2,8kq)
D．Q2＝eq \f(\r(3)mgd2,8kq)
答案 AD
解析 小球A悬浮于空中，因此Q1对A的排斥力与Q2对A的排斥力的合力，一定与A所受的重力等大反向，故Q1与Q2与A都带同种电荷，A正确；利用三角形的边角关系可知∠AQ1Q2＝30°，∠AQ2Q1＝60°，根据库仑定律和平衡条件，可得eq \f(kQ1q,\f(\r(3),2)d2)sin 30°＋eq \f(kQ2q,\f(1,2)d2)sin 60°＝mg，eq \f(kQ1q,\f(\r(3),2)d2)cs 30°＝eq \f(kQ2q,\f(1,2)d2)cs 60°，解得Q1＝eq \f(3mgd2,8kq)，Q2＝eq \f(\r(3)mgd2,8kq)，因此B、C错误，D正确。
5.(2023·辽宁实验中学高一期中)如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是( )
A．a、b小球可能带异种电荷
B．a、c小球可能带同种电荷
C．a、b小球所带电荷量之比为eq \f(\r(3),6)
D．a、b小球所带电荷量之比为eq \f(\r(3),9)
答案 D
解析 对a小球进行受力分析可知，要使a小球处于平衡状态，小球a、c之间的库仑力一定为引力，故a、c小球带异种电荷，B错误；对c小球进行受力分析，根据B选项的结论可得，小球a对c的库仑力为引力，方向左向下，小球c位于圆环最高点，则支持力方向竖直向上，重力方向竖直向下，小球c处于平衡状态，则小球b对小球c的库仑力方向为右向下，为引力，所以a、b小球带同种电荷，A错误；因为ac连线与bc连线的夹角为90°，根据几何关系可知，ab的连线过圆心，则ac＝2Rsin 30°＝R，bc＝2Rcs 30°＝eq \r(3)R，小球c处于平衡状态，则Facsin 60°＝Fbcsin 30°，Fac＝eq \f(kqaqc,R2)，Fbc＝eq \f(kqcqb,\r(3)R2)，可得eq \f(qa,qb)＝eq \f(\r(3),9)，C错误，D正确。
6．真空中有两个点电荷A、B，它们固定在一条直线上相距L＝0.3 m的两点，它们的电荷量分别为QA＝＋16×10－12 C，QB＝＋4.0×10－12 C，现引入第三个点电荷C。
(1)若要使C处于平衡状态，试求C电荷的电性和放置的位置；
(2)若点电荷A、B不固定，而使三个点电荷在库仑力作用下都能处于平衡状态，试求C电荷的电荷量和电性。
答案 (1)见解析 (2)eq \f(16,9)×10－12 C 负电荷
解析 (1)由分析可知，由于A和B为同种电荷，要使C处于平衡状态，C必须放在A、B之间某位置，可为正电荷，也可为负电荷，如图所示。设电荷C放在距A右侧x处，电荷量为QC，FAC＝FBC，keq \f(QAQC,x2)＝keq \f(QBQC,L－x2)，可得x＝0.2 m，即点电荷C放在距A右侧0.2 m处。
(2)由第(1)问的分析及共线三电荷的平衡规律，对B，有keq \f(QAQB,L2)＝keq \f(QCQB,L－x2)，解得QC＝eq \f(16,9)×10－12 C，为负电荷。
7.(2023·邢台市第二中学高二期中)如图，带正电的小球a在外力作用下静止在绝缘光滑竖直面上的P点，带正电的小球b用绝缘细线系住，挂在绝缘光滑竖直面上的O点，b球静止时与a球在同一水平面内。若将小球a从P点缓慢移到C点过程中，小球a与小球b之间的距离( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．保持不变
D．先减小后增大
答案 A
解析 小球a从P点缓慢移到C点过程中，对小球b进行受力分析如图所示，根据相似三角形有eq \f(mg,hOa)＝eq \f(F,xab)，根据库仑定律有F＝keq \f(qaqb,xab2)，解得xab＝eq \r(3,\f(kqaqb,mg)·hOa)，当小球a从P点缓慢移到C点过程中，hOa增大，可知xab也增大，故选A。
8.(多选)(2023·郑州剑桥中学月考)如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是( )
A．若a、c带正电，则b带负电
B．若a、c带负电，则b带正电
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动
答案 ABC
解析 三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以a和c带同种电荷，b带异种电荷，故A、B正确；根据库仑定律和矢量的合成，则有keq \f(q1q2,2r2)＝keq \f(q1q3,3r2)＝keq \f(q2q3,r2)，化简可得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确；当3个点电荷的电荷量均变为原来的一半，点电荷所受的所有库仑力都减小到原来的四分之一，依然满足平衡条件，故三个点电荷仍处于静止状态，D错误。
9.(多选)如图所示，光滑绝缘的水平面上，三个质量均为m的带电小球A、B、C用长为l的绝缘轻杆相连，A球的电荷量为＋q，现对C球施加一水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动且杆均没有弹力，F的作用线反向延长与A、B间杆的中点相交。已知静电力常量为k，三个带电小球均可视为点电荷，下列说法正确的是( )
A．A、B、C三个小球一定带同种电荷
B．A、B两个小球的电荷量一定相同
C．C的电荷量大小为2q
D．恒力F的大小为keq \f(\r(3)q2,2l)
答案 BC
解析 三个小球一起向右运动且杆均没有弹力，则三个小球具有向右的相同加速度，所以A、B与C应是异种电荷，并且A、B是等量的同种电荷，A错误，B正确；对三个小球整体分析有F＝3ma，对A球分析有keq \f(qqC,l2)sin 60°＝ma, keq \f(qqC,l2)cs 60°＝keq \f(q2,l2)，解得qC＝2q，F＝keq \f(3\r(3)q2,l2)，C正确，D错误。
10.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为( )
A.eq \f(mgL2,3kQ) B.eq \f(2\r(3)mgL2,9kQ)
C.eq \f(\r(6)mgL2,6kQ) D.eq \f(\r(2)mgL2,6kQ)
答案 C
解析 设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝eq \f(\r(6),3)，对带正电的小球根据平衡条件可得3keq \f(qQ,L2)sin θ＝mg，解得q＝eq \f(\r(6)mgL2,6kQ)，选项C正确。
11.(2022·淄博市高二阶段练习)如图所示，V形绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面间的夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是( )
A．两小滑块所带电荷为异种电荷
B．两小滑块间的库仑力大小等于小滑块重力的两倍
C．P与M间的动摩擦因数至少为eq \f(\r(3),6)
D．P与M间的动摩擦因数至少为eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 滑块Q在光滑斜面N上静止，由平衡条件知Q所受库仑力方向斜向右上，即P、Q相互排斥，P与Q带同种电荷，A错误；设两者之间的库仑力大小为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对滑块Q在沿着斜面N方向有mgcs 30°＝Fcs 30°，可得F＝mg，B错误；对滑块P，静止时的摩擦力恰好为最大静摩擦力，此时动摩擦因数最小，由平衡条件有FN2＝F＋mgsin 30°，Ff＝mgcs 30°，又Ff＝μFN2，联立以上各式解得μ＝eq \f(\r(3),3)，C错误，D正确。