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高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电场 电场强度第1课时学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电场 电场强度第1课时学案，共11页。
[学习目标] 1.知道电场的概念及电场的基本性质。2.理解电场强度及其定义式，并能用该公式进行有关计算(重点)。3.掌握点电荷的电场和电场强度的叠加(难点)。
一、电场 电场强度
1．电场
电荷之间通过电场相互作用。电场和磁场像分子、原子等实物粒子一样也有能量，因而场也是物质存在的一种形式。
静止电荷产生的电场叫作静电场。它的基本性质是对放入电场的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)试探电荷与场源电荷
①试探电荷：为了便于研究电场各点的性质而引入的电荷，是电荷量和体积都很小的点电荷。
②场源电荷：激发电场的带电体所带的电荷，也叫源电荷。
(2)电场强度
①定义：放入电场中某点的试探电荷，所受的静电力跟它的电荷量之比，叫作该点的电场强度。
②定义式：E＝eq \f(F,q)(适用于一切电场)。
③单位：牛每库，符号是N/C。
④方向
规定：与正电荷在该点所受的静电力的方向相同；与负电荷在该点所受的静电力的方向相反。
⑤电场强度反映了电场的力的性质，但与试探电荷受到的静电力大小无关(填“有关”或“无关”)。
⑥电场中某点的电场强度E是唯一的，是由电场本身的特性(形成电场的电荷及空间位置)决定的，与是否放入试探电荷无关(填“有关”或“无关”)。
(1)E＝eq \f(F,q)中的q是场源电荷。( × )
(2)若在电场中某点放置负试探电荷，则该点的电场强度方向与放置正试探电荷时相反。
( × )
(3)若在电场中的某点不放试探电荷，则该点的电场强度为0。( × )
(4)电场强度公式E＝eq \f(F,q)表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍。( × )
例1 在一带负电荷的导体A附近有一点B，如在B处放置一个q1＝－2.0×10－8 C的电荷，测出其受到的静电力F1大小为4.0×10－6 N，方向如图，则：
(1)B处电场强度多大？方向如何？
(2)如果换成一个q2＝＋4.0×10－7 C 的电荷放在B点，其受力多大？此时B处电场强度多大？
(3)如果将B处电荷拿走，B处的电场强度是多大？
答案 (1)200 N/C 方向与F1方向相反
(2)8.0×10－5 N 200 N/C
(3)200 N/C
解析 (1)由电场强度公式可得
EB＝eq \f(F1,|q1|)＝eq \f(4.0×10－6,2.0×10－8) N/C＝200 N/C，
因为B处是负电荷，所以B处电场强度方向与F1方向相反。
(2)q2在B点所受静电力大小
F2＝q2EB＝4.0×10－7×200 N＝8.0×10－5 N，
方向与电场强度方向相同，也就是与F1方向相反。
此时B处电场强度大小仍为200 N/C，方向与F1方向相反。
(3)某点电场强度大小与有无试探电荷无关，故将B处电荷拿走，B处电场强度大小仍为200 N/C。
二、点电荷的电场
如图所示，在电荷量为Q的正点电荷的电场中，P点到Q的距离为r，则Q在P点的电场强度是多大？方向如何？
答案 正试探电荷q在P点受到的静电力大小为F＝keq \f(Qq,r2)，所以Q在P点产生的电场的电场强度为E＝eq \f(F,q)＝keq \f(Q,r2)，方向沿QP的连线由Q指向P。
1．点电荷的电场强度
(1)表达式： E ＝ keq \f(Q,r2)。
(2)适用条件：真空、静止、点电荷。
2．点电荷电场的方向
当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外(如图甲);
当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内(如图乙)。
注意：如果以Q为圆心、r为半径作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等，但方向不同。
(1)根据公式E＝keq \f(Q,r2)可知，电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量Q成正比，与r2成反比。( √ )
(2)由E＝eq \f(kQ,r2)可知，在离点电荷非常近的地方(r→0)，电场强度E可达无穷大。( × )
例2 在真空中O点放一个电荷量为Q＝＋1.0×10－9 C的点电荷，直线MN通过O点，O、M间的距离r＝30 cm，M点放一个电荷量为q＝－1.0×10－10 C的点电荷，如图所示。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)q在M点受到的作用力；
(2)M点的电场强度；
(3)拿走q后M点的电场强度；
(4)M、N两点的电场强度哪点大。
答案 见解析
解析 (1)据库仑定律，q在M点受到的作用力大小FM＝keq \f(|Qq|,r2)＝1.0×10－8 N，因为Q为正电荷，q为负电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO连线指向O。
(2)M点的电场强度大小EM＝eq \f(FM,|q|)＝100 N/C，其方向沿OM连线背离O。
(3)拿走电荷q，M点的电场强度仍为100 N/C，方向沿OM连线背离O。
(4)由E＝keq \f(Q,r2)可知，M点的电场强度大。
E＝eq \f(F,q)与E＝keq \f(Q,r2)的比较
三、电场强度的叠加
1．电场强度叠加原理
在几个点电荷共同形成的电场中，电场中任意一点的总电场强度等于各个点电荷在该点各自产生的电场强度的矢量和。
2．一个半径为R的均匀带电球体(或球壳)在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同(如图)。
例3 如图所示，
真空中，电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，静电力常量为k，求：
(1)两点电荷连线的中点O处的电场强度大小和方向。
(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的电场强度大小和方向。
答案 (1)eq \f(8kQ,r2) 方向由A→B
(2)eq \f(kQ,r2) 方向平行于AB向右
解析 (1)如图甲所示，
A、B两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，均由A→B。A、B两点电荷分别在O点处的电场强度大小EA＝EB＝eq \f(kQ,\f(r,2)2)＝eq \f(4kQ,r2)。
O点处的电场强度大小为EO＝EA＋EB＝eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B。
(2)如图乙所示，
EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，由矢量图结合几何关系可知，O′点的电场强度大小EO′＝EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，方向平行于AB向右。
例4 如图所示，等边三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、－q、－q，已知三角形边长为eq \r(3)L，静电力常量为k，则该三角形中心O点处的电场强度大小、方向如何？
答案 eq \f(2kq,L2) 方向沿AO方向
解析 O点是三角形的中心，到三个点电荷的距离均为r＝eq \f(\r(3)L,2sin 60°)＝L
三个点电荷在O点产生的电场强度大小均为
E0＝eq \f(kq,r2)
根据对称性和几何知识可知，两个点电荷－q在O点的合电场强度大小为E1＝eq \f(kq,r2)
再与＋q在O处产生的电场强度合成，得到O点的合电场强度大小为E＝E1＋E0＝eq \f(2kq,r2)＝eq \f(2kq,L2)，方向沿AO方向。
例5 如图所示，真空中有两个点电荷，Q1 ＝ 4.0×10－8 C，Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上。
(1)x轴上哪个位置的电场强度为0?
(2)x轴上哪些位置的电场强度的方向是沿x轴的正方向的？
答案 (1)12 cm (2) (0,6 cm)和(12 cm，＋∞)
解析 (1)设电场强度为0的点到Q2的距离为L。因为Q1的电荷量比Q2的多，所以电场强度为0的位置只能在Q2右边，有eq \f(kQ1,0.06 m＋L2)＝eq \f(|kQ2|,L2)
解得L＝6 cm
所以x坐标轴上x＝12 cm处的电场强度为0，只有一处。
(2)根据点电荷的电场强度公式和电场强度的叠加原理可知x＞12 cm的区域电场强度沿x轴正方向。在Q1Q2之间，正电荷Q1和负电荷Q2在该处产生的电场强度方向均沿x轴正方向，所以实际电场也是沿x轴正方向，所以x轴上电场强度方向沿x轴正方向的区域是(0,6 cm)和(12 cm，＋∞)。
课时对点练
考点一 电场 电场强度
1．(多选)关于电场，下列说法正确的是( )
A．电荷周围一定存在着电场
B．电场是一种物质，它与其他物质一样，不依赖我们的感觉而客观存在
C．电荷间的相互作用是通过电场而产生的，电场最基本的性质是对放在其中的电荷有力的作用
D．电场只能存在于真空中和空气中，不可能存在于物体中
答案 ABC
2．(多选)如图是电场中某点的电场强度E及所受静电力F与放在该点处的试探电荷所带电荷量q之间的函数关系图像，其中正确的是( )
答案 AD
解析 电场强度的大小和方向都是由电场本身所决定的，与试探电荷无关，故该点电场强度是个定值，故A正确，B错误；根据F＝Eq可知，F－q图像是正比例函数图像，故C错误，D正确。
3．(2023·天津崇化中学高二期中)若在电场中的某点A放一试探电荷＋q，它所受到的静电力大小为F，方向水平向右。下列说法中正确的是( )
A．若将q移走，则该点的电场强度为零
B．在A点放一个负试探电荷，A点的电场强度方向为水平向左
C．在A点放一个负试探电荷，它所受静电力方向水平向左
D．在A点放一个电荷量为＋2q的试探电荷，它所受的静电力仍为F
答案 C
解析 电场中某点的电场强度只由电场本身决定，与试探电荷无关，若将q移走，A点的电场强度保持不变，A错误；在A点放一个正试探电荷时，受到的静电力水平向右，可知A点的电场强度方向水平向右；在A点放一个负试探电荷，A点的电场强度方向仍水平向右，负试探电荷所受的静电力方向水平向左，B错误，C正确；在A点放一个电荷量为＋2q的试探电荷，由于A点的电场强度不变，则试探电荷所受的静电力为2F，D错误。
考点二 点电荷的电场 电场强度的叠加
4.(2022·南通市高一期中)如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b、c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为－q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q，则( )
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4∶1
D．将a处试探电荷电荷量变为＋2q，该处电场强度变为原来的两倍
答案 C
5．(2023·佛山市石门中学高二月考)如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的电场强度大小为Ea，方向与ab连线成60°角，b点的电场强度大小为Eb，方向与ab连线成30°角，a、b两点距O点的距离分别为ra、rb，则关于a、b两点电场强度大小Ea、Eb的关系，以下结论正确的是( )
A．Ea＝eq \f(\r(3),3)Eb B．Ea＝eq \f(1,3)Eb
C．Ea＝eq \r(3)Eb D．Ea＝3Eb
答案 D
解析 由题图可知，rb＝eq \r(3)ra，再由E＝eq \f(kQ,r2)可知，eq \f(Ea,Eb)＝eq \f(rb2,ra2)＝3，D正确。
6.(2023·平冈中学高二月考)如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°。电荷量相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，此时O点的电场强度大小为E2，则E1与E2之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．2∶eq \r(3) D．4∶eq \r(3)
答案 B
解析 依题意，两点电荷在O点产生的电场强度大小均为eq \f(E1,2)，当N点处的点电荷移至P点时，O点电场强度如图所示，则合电场强度大小E2＝eq \f(E1,2)，故eq \f(E1,E2)＝eq \f(2,1)，选项B正确。
7．(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为x轴上的三点。放在A、B两点的试探电荷受到的静电力跟其所带电荷量的关系如图乙所示，则( )
A．A点的电场强度大小为2×103 N/C
B．B点的电场强度大小为2×103 N/C
C．点电荷Q在A、B之间
D．点电荷Q在O、B之间
答案 AC
解析 由F＝Eq可知，在F－q图像中，斜率的绝对值表示电场强度大小，由题图乙知，A点的电场强度大小为2×103 N/C，B点的电场强度大小为500 N/C，故A对，B错；由题图乙知，A、B两点放正、负不同的试探电荷，受力方向总为正，说明A、B两点的电场强度方向相反，点电荷Q只能在A、B之间，故C对，D错。
8．如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距。先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E。若再将另一等量异种点电荷－Q放在d点，则( )
A．b点场强大小为eq \f(3,4)E B．c点场强大小为eq \f(5,4)E
C．b点场强方向向左 D．c点场强方向向左
答案 B
解析 设ab＝bc＝cd＝L，＋Q在b点产生的场强大小为E，方向水平向右，由点电荷的场强公式得：E＝keq \f(Q,L2)，－Q在b点产生的场强大小为E1＝keq \f(Q,2L2)＝eq \f(1,4)E，方向水平向右，所以b点的场强大小为Eb＝E＋eq \f(1,4)E＝eq \f(5,4)E，方向水平向右，故A、C错误；根据对称性可知，c点与b点的场强大小相等，为eq \f(5,4)E，方向水平向右，故B正确，D错误。
9.如图所示，O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正N边形的一个顶点A放置一个电荷量为＋2q的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为－q的点电荷(未画出)。已知静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为( )
A.eq \f(2kq,R2) B.eq \f(3kq,R2)
C.eq \f(N－1kq,R2) D.eq \f(Nkq,R2)
答案 B
解析 由对称性及电场叠加原理可知，圆心O处的电场可等效为由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为＋2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为－q的点电荷共同产生的，由点电荷电场强度公式知圆心O处的电场强度大小为E＝eq \f(3kq,R2)，故选项B正确。
10．(2023·桂林十八中高二月考)如图所示，按A、B、C、D四种方式在一个正方形的四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，其中正方形中心电场强度最大的是( )
答案 A
解析 根据E＝eq \f(kQ,r2)，结合矢量合成法则，设正方形顶点到正方形中心的距离为r，则方式A中中心处的合电场强度大小为E＝2eq \r(2)eq \f(kQ,r2)；方式B中两个负点电荷在正方形中心处合电场强度为0，两个正点电荷在中心处合电场强度为0，因此中心处的电场强度大小为0；同理，方式C中正方形对角线的两负点电荷的电场强度在中心处相互抵消，而正点电荷在中心处叠加后电场强度大小为E＝eq \f(kQ,r2)；方式D中，在中心处的电场强度大小为E＝eq \r(2)eq \f(kQ,r2)。综上比较，正方形中心电场强度最大的是A。
11.(2021·湖南卷)如图所示，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
答案 B
解析 根据E＝keq \f(Q,r2)，两异种点电荷在P点的电场强度大小均为E0＝eq \f(kq,a2)，方向如图所示：两异种点电荷在P点的合电场强度大小为E1＝eq \r(2)E0＝eq \r(2)eq \f(kq,a2)，方向与＋q点电荷和－q点电荷的连线平行，点电荷Q在P点的电场强度大小为E2＝keq \f(Q,\r(2)a2)＝eq \f(kQ,2a2)，由于三点电荷在P处的合电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，解得Q＝2eq \r(2)q，由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)，故选B。
12.(多选)如图所示，点电荷＋4Q与＋Q分别固定在A、B两点，C、D两点将AB连线三等分。现使一个带负电的粒子从C点开始以某一初速度向右运动，不计粒子的重力，则该粒子在CD之间运动的速度大小v与时间t的关系图像可能是图中的( )
答案 BC
解析 根据库仑定律、电场强度公式和电场叠加规律可知，CD之间合电场强度方向向右，大小逐渐减小到零，所以带负电的粒子向右做变减速运动，可能出现到D点时速度仍未减小为零，A错误，B正确；也可能出现未到D点之前速度减小为零而后反向加速，C正确，D错误。项目
E＝eq \f(F,q)(定义式)
E＝keq \f(Q,r2)(决定式)
意义及用途
给出了一种量度电场强弱的方法
指明了点电荷电场强度大小的决定因素
适用范围
一切电场
真空中点电荷的电场
E与各量关系
E的大小与F、q的大小无关
E∝Q，E∝eq \f(1,r2)
Q或q的意义
q是试探电荷的电荷量，Q是场源电荷的电荷量
[学习目标] 1.知道电场的概念及电场的基本性质。2.理解电场强度及其定义式，并能用该公式进行有关计算(重点)。3.掌握点电荷的电场和电场强度的叠加(难点)。
一、电场 电场强度
1．电场
电荷之间通过电场相互作用。电场和磁场像分子、原子等实物粒子一样也有能量，因而场也是物质存在的一种形式。
静止电荷产生的电场叫作静电场。它的基本性质是对放入电场的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)试探电荷与场源电荷
①试探电荷：为了便于研究电场各点的性质而引入的电荷，是电荷量和体积都很小的点电荷。
②场源电荷：激发电场的带电体所带的电荷，也叫源电荷。
(2)电场强度
①定义：放入电场中某点的试探电荷，所受的静电力跟它的电荷量之比，叫作该点的电场强度。
②定义式：E＝eq \f(F,q)(适用于一切电场)。
③单位：牛每库，符号是N/C。
④方向
规定：与正电荷在该点所受的静电力的方向相同；与负电荷在该点所受的静电力的方向相反。
⑤电场强度反映了电场的力的性质，但与试探电荷受到的静电力大小无关(填“有关”或“无关”)。
⑥电场中某点的电场强度E是唯一的，是由电场本身的特性(形成电场的电荷及空间位置)决定的，与是否放入试探电荷无关(填“有关”或“无关”)。
(1)E＝eq \f(F,q)中的q是场源电荷。( × )
(2)若在电场中某点放置负试探电荷，则该点的电场强度方向与放置正试探电荷时相反。
( × )
(3)若在电场中的某点不放试探电荷，则该点的电场强度为0。( × )
(4)电场强度公式E＝eq \f(F,q)表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍。( × )
例1 在一带负电荷的导体A附近有一点B，如在B处放置一个q1＝－2.0×10－8 C的电荷，测出其受到的静电力F1大小为4.0×10－6 N，方向如图，则：
(1)B处电场强度多大？方向如何？
(2)如果换成一个q2＝＋4.0×10－7 C 的电荷放在B点，其受力多大？此时B处电场强度多大？
(3)如果将B处电荷拿走，B处的电场强度是多大？
答案 (1)200 N/C 方向与F1方向相反
(2)8.0×10－5 N 200 N/C
(3)200 N/C
解析 (1)由电场强度公式可得
EB＝eq \f(F1,|q1|)＝eq \f(4.0×10－6,2.0×10－8) N/C＝200 N/C，
因为B处是负电荷，所以B处电场强度方向与F1方向相反。
(2)q2在B点所受静电力大小
F2＝q2EB＝4.0×10－7×200 N＝8.0×10－5 N，
方向与电场强度方向相同，也就是与F1方向相反。
此时B处电场强度大小仍为200 N/C，方向与F1方向相反。
(3)某点电场强度大小与有无试探电荷无关，故将B处电荷拿走，B处电场强度大小仍为200 N/C。
二、点电荷的电场
如图所示，在电荷量为Q的正点电荷的电场中，P点到Q的距离为r，则Q在P点的电场强度是多大？方向如何？
答案 正试探电荷q在P点受到的静电力大小为F＝keq \f(Qq,r2)，所以Q在P点产生的电场的电场强度为E＝eq \f(F,q)＝keq \f(Q,r2)，方向沿QP的连线由Q指向P。
1．点电荷的电场强度
(1)表达式： E ＝ keq \f(Q,r2)。
(2)适用条件：真空、静止、点电荷。
2．点电荷电场的方向
当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外(如图甲);
当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内(如图乙)。
注意：如果以Q为圆心、r为半径作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等，但方向不同。
(1)根据公式E＝keq \f(Q,r2)可知，电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量Q成正比，与r2成反比。( √ )
(2)由E＝eq \f(kQ,r2)可知，在离点电荷非常近的地方(r→0)，电场强度E可达无穷大。( × )
例2 在真空中O点放一个电荷量为Q＝＋1.0×10－9 C的点电荷，直线MN通过O点，O、M间的距离r＝30 cm，M点放一个电荷量为q＝－1.0×10－10 C的点电荷，如图所示。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)q在M点受到的作用力；
(2)M点的电场强度；
(3)拿走q后M点的电场强度；
(4)M、N两点的电场强度哪点大。
答案 见解析
解析 (1)据库仑定律，q在M点受到的作用力大小FM＝keq \f(|Qq|,r2)＝1.0×10－8 N，因为Q为正电荷，q为负电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO连线指向O。
(2)M点的电场强度大小EM＝eq \f(FM,|q|)＝100 N/C，其方向沿OM连线背离O。
(3)拿走电荷q，M点的电场强度仍为100 N/C，方向沿OM连线背离O。
(4)由E＝keq \f(Q,r2)可知，M点的电场强度大。
E＝eq \f(F,q)与E＝keq \f(Q,r2)的比较
三、电场强度的叠加
1．电场强度叠加原理
在几个点电荷共同形成的电场中，电场中任意一点的总电场强度等于各个点电荷在该点各自产生的电场强度的矢量和。
2．一个半径为R的均匀带电球体(或球壳)在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同(如图)。
例3 如图所示，
真空中，电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，静电力常量为k，求：
(1)两点电荷连线的中点O处的电场强度大小和方向。
(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的电场强度大小和方向。
答案 (1)eq \f(8kQ,r2) 方向由A→B
(2)eq \f(kQ,r2) 方向平行于AB向右
解析 (1)如图甲所示，
A、B两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，均由A→B。A、B两点电荷分别在O点处的电场强度大小EA＝EB＝eq \f(kQ,\f(r,2)2)＝eq \f(4kQ,r2)。
O点处的电场强度大小为EO＝EA＋EB＝eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B。
(2)如图乙所示，
EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，由矢量图结合几何关系可知，O′点的电场强度大小EO′＝EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，方向平行于AB向右。
例4 如图所示，等边三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、－q、－q，已知三角形边长为eq \r(3)L，静电力常量为k，则该三角形中心O点处的电场强度大小、方向如何？
答案 eq \f(2kq,L2) 方向沿AO方向
解析 O点是三角形的中心，到三个点电荷的距离均为r＝eq \f(\r(3)L,2sin 60°)＝L
三个点电荷在O点产生的电场强度大小均为
E0＝eq \f(kq,r2)
根据对称性和几何知识可知，两个点电荷－q在O点的合电场强度大小为E1＝eq \f(kq,r2)
再与＋q在O处产生的电场强度合成，得到O点的合电场强度大小为E＝E1＋E0＝eq \f(2kq,r2)＝eq \f(2kq,L2)，方向沿AO方向。
例5 如图所示，真空中有两个点电荷，Q1 ＝ 4.0×10－8 C，Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上。
(1)x轴上哪个位置的电场强度为0?
(2)x轴上哪些位置的电场强度的方向是沿x轴的正方向的？
答案 (1)12 cm (2) (0,6 cm)和(12 cm，＋∞)
解析 (1)设电场强度为0的点到Q2的距离为L。因为Q1的电荷量比Q2的多，所以电场强度为0的位置只能在Q2右边，有eq \f(kQ1,0.06 m＋L2)＝eq \f(|kQ2|,L2)
解得L＝6 cm
所以x坐标轴上x＝12 cm处的电场强度为0，只有一处。
(2)根据点电荷的电场强度公式和电场强度的叠加原理可知x＞12 cm的区域电场强度沿x轴正方向。在Q1Q2之间，正电荷Q1和负电荷Q2在该处产生的电场强度方向均沿x轴正方向，所以实际电场也是沿x轴正方向，所以x轴上电场强度方向沿x轴正方向的区域是(0,6 cm)和(12 cm，＋∞)。
课时对点练
考点一 电场 电场强度
1．(多选)关于电场，下列说法正确的是( )
A．电荷周围一定存在着电场
B．电场是一种物质，它与其他物质一样，不依赖我们的感觉而客观存在
C．电荷间的相互作用是通过电场而产生的，电场最基本的性质是对放在其中的电荷有力的作用
D．电场只能存在于真空中和空气中，不可能存在于物体中
答案 ABC
2．(多选)如图是电场中某点的电场强度E及所受静电力F与放在该点处的试探电荷所带电荷量q之间的函数关系图像，其中正确的是( )
答案 AD
解析 电场强度的大小和方向都是由电场本身所决定的，与试探电荷无关，故该点电场强度是个定值，故A正确，B错误；根据F＝Eq可知，F－q图像是正比例函数图像，故C错误，D正确。
3．(2023·天津崇化中学高二期中)若在电场中的某点A放一试探电荷＋q，它所受到的静电力大小为F，方向水平向右。下列说法中正确的是( )
A．若将q移走，则该点的电场强度为零
B．在A点放一个负试探电荷，A点的电场强度方向为水平向左
C．在A点放一个负试探电荷，它所受静电力方向水平向左
D．在A点放一个电荷量为＋2q的试探电荷，它所受的静电力仍为F
答案 C
解析 电场中某点的电场强度只由电场本身决定，与试探电荷无关，若将q移走，A点的电场强度保持不变，A错误；在A点放一个正试探电荷时，受到的静电力水平向右，可知A点的电场强度方向水平向右；在A点放一个负试探电荷，A点的电场强度方向仍水平向右，负试探电荷所受的静电力方向水平向左，B错误，C正确；在A点放一个电荷量为＋2q的试探电荷，由于A点的电场强度不变，则试探电荷所受的静电力为2F，D错误。
考点二 点电荷的电场 电场强度的叠加
4.(2022·南通市高一期中)如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b、c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为－q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q，则( )
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4∶1
D．将a处试探电荷电荷量变为＋2q，该处电场强度变为原来的两倍
答案 C
5．(2023·佛山市石门中学高二月考)如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的电场强度大小为Ea，方向与ab连线成60°角，b点的电场强度大小为Eb，方向与ab连线成30°角，a、b两点距O点的距离分别为ra、rb，则关于a、b两点电场强度大小Ea、Eb的关系，以下结论正确的是( )
A．Ea＝eq \f(\r(3),3)Eb B．Ea＝eq \f(1,3)Eb
C．Ea＝eq \r(3)Eb D．Ea＝3Eb
答案 D
解析 由题图可知，rb＝eq \r(3)ra，再由E＝eq \f(kQ,r2)可知，eq \f(Ea,Eb)＝eq \f(rb2,ra2)＝3，D正确。
6.(2023·平冈中学高二月考)如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°。电荷量相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，此时O点的电场强度大小为E2，则E1与E2之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．2∶eq \r(3) D．4∶eq \r(3)
答案 B
解析 依题意，两点电荷在O点产生的电场强度大小均为eq \f(E1,2)，当N点处的点电荷移至P点时，O点电场强度如图所示，则合电场强度大小E2＝eq \f(E1,2)，故eq \f(E1,E2)＝eq \f(2,1)，选项B正确。
7．(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为x轴上的三点。放在A、B两点的试探电荷受到的静电力跟其所带电荷量的关系如图乙所示，则( )
A．A点的电场强度大小为2×103 N/C
B．B点的电场强度大小为2×103 N/C
C．点电荷Q在A、B之间
D．点电荷Q在O、B之间
答案 AC
解析 由F＝Eq可知，在F－q图像中，斜率的绝对值表示电场强度大小，由题图乙知，A点的电场强度大小为2×103 N/C，B点的电场强度大小为500 N/C，故A对，B错；由题图乙知，A、B两点放正、负不同的试探电荷，受力方向总为正，说明A、B两点的电场强度方向相反，点电荷Q只能在A、B之间，故C对，D错。
8．如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距。先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E。若再将另一等量异种点电荷－Q放在d点，则( )
A．b点场强大小为eq \f(3,4)E B．c点场强大小为eq \f(5,4)E
C．b点场强方向向左 D．c点场强方向向左
答案 B
解析 设ab＝bc＝cd＝L，＋Q在b点产生的场强大小为E，方向水平向右，由点电荷的场强公式得：E＝keq \f(Q,L2)，－Q在b点产生的场强大小为E1＝keq \f(Q,2L2)＝eq \f(1,4)E，方向水平向右，所以b点的场强大小为Eb＝E＋eq \f(1,4)E＝eq \f(5,4)E，方向水平向右，故A、C错误；根据对称性可知，c点与b点的场强大小相等，为eq \f(5,4)E，方向水平向右，故B正确，D错误。
9.如图所示，O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正N边形的一个顶点A放置一个电荷量为＋2q的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为－q的点电荷(未画出)。已知静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为( )
A.eq \f(2kq,R2) B.eq \f(3kq,R2)
C.eq \f(N－1kq,R2) D.eq \f(Nkq,R2)
答案 B
解析 由对称性及电场叠加原理可知，圆心O处的电场可等效为由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为＋2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为－q的点电荷共同产生的，由点电荷电场强度公式知圆心O处的电场强度大小为E＝eq \f(3kq,R2)，故选项B正确。
10．(2023·桂林十八中高二月考)如图所示，按A、B、C、D四种方式在一个正方形的四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，其中正方形中心电场强度最大的是( )
答案 A
解析 根据E＝eq \f(kQ,r2)，结合矢量合成法则，设正方形顶点到正方形中心的距离为r，则方式A中中心处的合电场强度大小为E＝2eq \r(2)eq \f(kQ,r2)；方式B中两个负点电荷在正方形中心处合电场强度为0，两个正点电荷在中心处合电场强度为0，因此中心处的电场强度大小为0；同理，方式C中正方形对角线的两负点电荷的电场强度在中心处相互抵消，而正点电荷在中心处叠加后电场强度大小为E＝eq \f(kQ,r2)；方式D中，在中心处的电场强度大小为E＝eq \r(2)eq \f(kQ,r2)。综上比较，正方形中心电场强度最大的是A。
11.(2021·湖南卷)如图所示，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
答案 B
解析 根据E＝keq \f(Q,r2)，两异种点电荷在P点的电场强度大小均为E0＝eq \f(kq,a2)，方向如图所示：两异种点电荷在P点的合电场强度大小为E1＝eq \r(2)E0＝eq \r(2)eq \f(kq,a2)，方向与＋q点电荷和－q点电荷的连线平行，点电荷Q在P点的电场强度大小为E2＝keq \f(Q,\r(2)a2)＝eq \f(kQ,2a2)，由于三点电荷在P处的合电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，解得Q＝2eq \r(2)q，由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)，故选B。
12.(多选)如图所示，点电荷＋4Q与＋Q分别固定在A、B两点，C、D两点将AB连线三等分。现使一个带负电的粒子从C点开始以某一初速度向右运动，不计粒子的重力，则该粒子在CD之间运动的速度大小v与时间t的关系图像可能是图中的( )
答案 BC
解析 根据库仑定律、电场强度公式和电场叠加规律可知，CD之间合电场强度方向向右，大小逐渐减小到零，所以带负电的粒子向右做变减速运动，可能出现到D点时速度仍未减小为零，A错误，B正确；也可能出现未到D点之前速度减小为零而后反向加速，C正确，D错误。项目
E＝eq \f(F,q)(定义式)
E＝keq \f(Q,r2)(决定式)
意义及用途
给出了一种量度电场强弱的方法
指明了点电荷电场强度大小的决定因素
适用范围
一切电场
真空中点电荷的电场
E与各量关系
E的大小与F、q的大小无关
E∝Q，E∝eq \f(1,r2)
Q或q的意义
q是试探电荷的电荷量，Q是场源电荷的电荷量
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