01-专项素养综合全练(一)平行线“拐点”常见模型——2024年人教版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(一)平行线“拐点”常见模型类型一　“猪蹄”模型模型解读如图,AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐点P作AB(CD)的平行线可证).1.(2021湖北随州中考)如图,将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上,若∠1=45°,则∠2=　　　　　. 　2.如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28°,∠BPC=58°,则∠1=　　　　. 3.直线AB∥CD,点P在两平行线之间,点E、F分别在AB、CD上,连接PE,PF.尝试探究并解答:(1)若图1中∠1=36°,∠2=60°,则∠3=　　　. (2)探究图1中∠1,∠2与∠3之间的数量关系,并说明理由.(3)如图2,∠1与∠3的平分线交于点P',若∠2=α,试求∠EP'F的度数(用含α的式子表示).　类型二　“铅笔”模型模型解读如图,AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°(过拐点E作AB(CD)的平行线可证).4.【真实情境】图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架.图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠AGC=80°,则∠DEF的度数为(　　)　A.110°　　　　B.120°　　　　C.130°　　　　D.140°5.如图,∠1=40°,∠2=140°,直线a∥b,则∠3的度数为　　　　. 　　6.如图,已知AB∥EF,若α=∠A+∠F,β=∠B+∠C+∠D+∠E,则α与β之间的数量关系为　　　　. 7.(1)如图①,∠CEF=90°,点B在射线EF上,AB∥CD.若∠ABE=130°,求∠C的度数.(2)如图②,∠CEF=120°,点B在射线EF上,AB∥CD.猜想∠ABE与∠C的数量关系,并说明理由.(3)如图③,在(2)的条件下,作GC⊥CE,垂足为C,反向延长CD至H,若∠GCH=θ,则∠ABE的度数为　　　　　(请用含θ的式子表示). 　　类型三　“鹰嘴”模型模型解读如图,AB∥CD,则∠AEC=∠C-∠A.8.(2023辽宁大连中考)如图,直线AB∥CD,∠ABE=45°,∠D=20°,则∠E的度数为(　　)A.20°　　　　B.25°　　　　C.30°　　　　D.35°　　9.(2023北京大兴期末)如图,已知AB∥CD∥EF,则∠1,∠2,∠3之间的数量关系是　　　　. 10.已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上.(1)如图1,点P在AB的上方,则∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何数量关系?请说明理由.(2)如图2,在(1)的条件下,若∠EPF=60°,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,求∠G的度数.　答案全解全析1.15°解析　如图,过三角板的60°角的顶点F作EF∥AB,∴∠EFG=∠1=45°,∵∠EFG+∠EFH=60°,∴∠EFH=60°-∠EFG=60°-45°=15°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠2=∠EFH=15°.2.30°解析　解法一:过点P作射线PN∥AB,如图①.∵PN∥AB,AB∥CD,∴PN∥CD,∴∠4=∠2=28°,∴∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°,∵PN∥AB,∴∠3=∠1,∴∠1=30°.　解法二:过点P作射线PM∥AB,如图②.∵PM∥AB,AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠4=180°-∠2=180°-28°=152°,∵∠4+∠BPC+∠3=360°,∴∠3=360°-∠BPC-∠4=360°-58°-152°=150°,∵AB∥PM,∴∠1=180°-∠3=180°-150°=30°.3.解析　(1)24°.(2)∠2=∠1+∠3.理由:如图,作PM∥AB.∵AB∥CD,AB∥PM,∴PM∥CD,∠1=∠MPE,∴∠3=∠MPF,∴∠EPF=∠1+∠3,即∠2=∠1+∠3.(3)∵∠BEP+∠DFP=∠2=α,∴∠EP'F=∠BEP'+∠DFP'=12(∠BEP+∠DFP)=12α.4.C如图,过点F作FM∥CD,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥FM,∴∠DEF+∠EFM=180°,∠MFA+∠BAG=180°.∴∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°.∵CG∥EF,∴∠EFA=∠AGC=80°.∴∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°.∴∠DEF=180°-∠EFM=180°-50°=130°.故选C.5.80°解析　如图,作c∥a,则∠4=∠1=40°.∴∠5=∠2-∠4=140°-40°=100°.∵a∥b,∴c∥b.∴∠5+∠3=180°.∴∠3=180°-100°=80°.6.β=3α解析　如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,∴∠B+∠1=180°,∠2+∠3=180°,∠4+∠E=180°,∴β=∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=180°×3=540°.∵AB∥EF,∴α=∠A+∠F=180°,∴β=3α.7.解析　(1)如图①,过E作EK∥AB,则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE=50°,∵∠CEF=90°,∴∠2=90°-∠1=40°,∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2=40°.　(2)∠ABE-∠C=60°,理由:如图②,过E作EK∥AB,则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE,∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2.∵∠CEF=∠1+∠2=120°,∴180°-∠ABE+∠C=120°,∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°.(3)150°-θ.8.B如图,过点E作EF∥AB,得∠CEF=∠B=45°.∵AB∥CD,∴CD∥EF.∴∠1=∠D=20°.∴∠CED=∠CEF-∠1=45°-20°=25°.故选B.9.∠1+∠2-∠3=180°解析　∵CD∥EF,∴∠2+∠CEF=180°.∵AB∥EF,∴∠1=∠AEF=∠3+∠CEF.∴∠CEF=∠1-∠3,∴∠2+∠1-∠3=180°,即∠1+∠2-∠3=180°.10.解析　(1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下:如图,过P点作PN∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD,所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC,所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF,即∠PFC=∠PEA+∠EPF.(2)如图,过点G作AB的平行线GH,因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD,所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG,又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以∠HGE=∠AEG=12∠PEA,∠HGF=∠CFG=12∠PFC,由(1)可知,∠PFC=∠EPF+∠PEA,所以∠HGF=12(∠EPF+∠PEA),所以∠EGF=∠HGF-∠HGE=12(∠EPF+∠PEA)-12∠PEA=12∠EPF,因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°.