高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计
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教学基本信息 | ||||
课题 | 向量的数乘运算的应用 | |||
学科 | 数学 | 学段：高中 | 年级 | 高一 |
教材 | 书名： 普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人教社A版 出版日期： 2019年 6月 | |||
教学目标及教学重点、难点 |
本节课由向量数乘运算的定义出发，探究非零向量a与向量b共线的充要条件，即向量共线定理，并对该定理的应用进行探究和练习。在这个过程中，体会数学逻辑的严谨性，以及向量在解决几何问题中的工具性，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养。 |
教学过程(表格描述) | ||
教学环节 | 主要教学活动 | 设置意图 |
引入 | 上节课，我们学习了向量的数乘运算，这节课我们继续学习向量数乘运算的应用，在学习之前，我们先复习一下向量的数乘的定义： 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ倍向量a，它的长度与方向规定如下： (1) | λa | ＝ | λ | | a | ； (2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反. 特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
| 承上启下，为本节.课的学习做好铺垫。 |
新课 | 探究1 若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？ 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反. 当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定零向量与任意向量平行. 平行向量也叫共线向量. 结论： b = λa b // a . a
λa
探究2 若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？ (1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa. (2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa. (3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa. (4)当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.
结论： 所以当b//a ，a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
问题： 若存在唯一一个实数λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0吗？ 分析： 若a=0，则b=λa=0，此时，λ可以取任意实数，不唯一 . 定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
判断： (1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( ) (2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( ) (3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则实数λ=μ=0. ( )
应用1 若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b共线。 1．证明向量共线 例如：已知，试证向量a，b共线。 2．证明两直线平行 ，且直线AB与CD不重合 直线 AB//CD
3．证明三点共线 A,B,C三点共线 或 或 ……
| 引导学生发现向量的数乘运算中其实就蕴含了向量的平行，并从几何角度进行了适当的阐述，希望学生能直观地角度加以理解。进而得出要推证的定理。
提出探究问题 通过对不同情形的分析，培养学生思考问题的严密性，逻辑推理的严谨性
推理得出结论是正确的
进一步提出要探究的问题引发学生的思考
学生体会反证法在证明中的作用
师生一起归纳得出定理的内容，培养学生的归纳能力，语言表达能力
通过辨析题，让学生加深对定理的理解与认识
引导学生从多方面发现定理的运用必要性解决问题的常见类型： （1）证明向量共线，并举例说明，(2) 证明两直线平行,(3) 证明三点共线 培养学生善于思考，勇于探究的学习习惯
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例题 | 例1 已知任意两个非零向量a，b，试作 ，．猜想 A，B，C三点之 间的位置关系，并证明你的猜想． 猜想：A，B，C三点共线. 证明： ∴ A，B，C三点共线.
| 通过学生操作、观察，掌握利用向量共线判断三点共线的方法，培养学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观相象和逻辑推理素养。 |
新课 | 应用2 若向量a(a≠0)与b共线，则 存在唯一一个实数λ，使b=λa. 与非零向量a同向的单位向量为_______ . 与非零向量a共线的单位向量为_____.
| 进一步提出定理的用法，加深对定理的理解 |
例题 | 例2 已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta， 共线，求实数t的值． 解：∵ a，b不共线， ， ∵ a，b不共线， ∴a // b . 与已知矛盾.
| 让学生熟练运用向量共线定理，体会知识之间的联系。 |
总结 | 本节课从复习向量数乘运算的定义出发，探究了非零向量a与向量b共线的充要条件（定理），并对该定理的应用进行了探究和练习。在这个过程中，充分体现了数学逻辑的严谨性，向量在解决几何问题中的工具性，让我们的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养得以提升。
| 总结概况所学内容，方法，让学生形成反思的习惯，提升分析问题解决问题的能力。 |
业 | 1．已知a，b是不共线的向量，且 ， ， ，则( )． (A) A，B，D三点共线 (B) A，B，C三点共线 (C) B，C，D三点共线 (D) A，C，D三点共线 2．已知若 ， 是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值．
| 巩固所学内容 |
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