数学必修 第二册6.2 平面向量的运算教案

教学基本信息

课题

向量的数乘运算

学科

数学

学段： 高中

年级

一年级

教材

书名：普通高中教科书数学必修第二册A版     出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年6月

教学目标及教学重点、难点

本节课类比数的乘法，定义向量的数乘运算，验证向量数乘运算的运算律．在这个过程中，体会类比研究的方法，从数与形两方面对向量的数乘运算进行认识，感受向量数与形的双重属性，同时体会研究运算的一般过程，提升直观想象、数学抽象和数学运算等素养．

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

这节课我们一起来学习向量的数乘运算．前面我们已经学习了向量的加法和减法运算．我想一定有同学思考过，向量有没有乘法运算呢？如果你也考虑过这样的问题，说明你已经有了类比的意识．在向量的学习中，我们不止一次与数量进行类比或对比，今天我们也不妨从数量的乘法说起．

新课

环节1  类比数量乘法定义向量的数乘运算

1．   以特殊的数量乘法为例：3a＝a＋a＋a；

－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．类比到向量：

3a＝a＋a＋a；－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．

由于向量加法运算的结果仍为向量，进而分别作出对应的有向线段，观察结果的长度和方向．再将类比得到的结论，由特殊推广到一般，给出向量数乘运算的定义．

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

(1)  | λa |＝| λ || a |；

(2)  当λ＞0时，λa与a的方向相同；

当λ＜0 时，λa与a的方向相反．

这种运算叫做向量的数乘．

2．   特例的点明

(1)    当λ＝0时，，所以，0a＝0．这说明0与任意向量数乘运算的结果均为零向量．

(2)    当a＝0时，，所以，λ0＝0．这说明零向量与任意实数数乘运算的结果均为零向量．

3．   小练习：已知向量a如图所示，求作向量   b＝0.5a，向量c＝－2a．

1．   (1) 通过类比，使学生更容易理解，也更容易接受向量数乘运算的定义方式．

(2) 从给定实数与向量数乘，到任意实数与向量数乘的定义，从特殊过渡到一般，学生更容易接受和理解．

(3) 了解对该运算的命名原因也有助于学生对定义的理解，同时为后面数量积运算的学习做了铺垫．

2．   这两个特殊情况在数乘相关辨析以及定理的推倒过程都有着重要的作用．

3．   这个练习一方面是对定义的直接应用．另一方面也为后面对几何意义进行理解所做的铺垫．

环节2  加深向量数乘运算的几何意义的理解

1．   给定非零向量a，并分别对λ＞1，λ＝1，λ∈(0,1)， λ＝0， λ∈(－1,0)， λ＝－1，    λ＜－1几种情况下，λa的长度与方向进行分析．

2．   模拟λ连续变化时，数乘向量随λ变化而变化的情况，从几何直观上感受数乘运算的效果：非零向量的数乘运算，相当于对向量a，延其所在直线方向的拉伸或压缩，其中，当  λ＜0时，可以看作是反向的伸缩．

本环节的意图是帮助学生从形上加深对向量数乘运算的理解．其中第2小部分如果用动画展示，更容易看出“伸缩”．

环节3  猜想并验证向量数乘运算的运算律

1．   类比数量乘法的运算律，写出向量数乘运算可能满足的运算律．

2．   通过几何作图的方式逐一验证上述运算律．

3．   总结3条运算律并点明特例

向量数乘运算律：

(1)    λ(μa)＝(λμ)a＝(μλ)a＝μ(λa)；

(2)    (λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)    λ(a＋b)＝λa＋λb．

特别的，λ(－a)＝(－λ)a＝－(λa)；

(λ－μ)a＝λa＋(－μ)a＝λa－μa；

λ(a－b)＝λa＋λ(－b)＝λa－λb．

定义了新的运算以后，考察它的运算律是一个自然的问题．希望学生经历并内化研究运算的一般过程．

1．   通过类比的方式猜想向量数乘的运算律，类比是发现和提出问题的重要方法．

2．   运算律的证明难度较大，故本课只对运算律进行简单的作图验证．这也相当于运算律的几何意义．

作图验证的过程也是对向量数乘运算定义的再巩固．

3．   验证运算律之后，还需要对运算律进行再认识．

“特别的”是从一般再到特殊的过程，特殊的结论也有特殊的价值．第一条结论使得我们对负号的处理更加灵活，最后两条说明向量数乘运算对于数量和向量的减法也都满足分配律．这些都与数量的乘法类似．

环节4  定义向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量．

对于任意向量a与b，以及任意实数λ, μ1, μ2，λ(μ1a ± μ2b)＝λμ1a ± λμ2b .

体会向量线性运算与数量运算之间的相似性．

例题

例1        点C在线段 AB 上，且，则

，．

分析：作出图形，依照向量数乘运算的定义，即可得到答案．第一个空应填，第二个空应填．

例1

本题是对定义的逆向应用，通过两向量长度和方向的关系，找到二者的运算关系．

例2        判断下列结论的正误：

① 0a＝0；

② 若 λa＝0，则λ＝0或a＝0；

③ 若 λa＝λb，则a＝b；

④ 若 λa＝μa，则λ＝μ．

分析：

① 题目是数量0乘以向量a，属于数乘运算，结果应为向量，而等号右边却是数量0，因此是错误的．

② λa＝0说明| λa |＝0，即| λ || a |＝0，因此

λ＝0或a＝0．本小题结论正确．

③ 本小题结论错误．反例：λ＝0．

④ 本小题结论错误．反例：a＝0．

例2

第1小题的设计意图是使学生明确两件事：一是向量数乘运算的结果是一个向量；二是数量0与向量0在表示上的区别．

后三个小题，一方面加深对数乘运算的理解，另一方面可以与数量乘法运算的相关结论进行对比．

总的来说，向量的运算与数量的运算之间有着很多相似的性质，但也有差别．遇到具体问题的时候，需要准确把握相关概念，具体严谨地分析，不能直接套用数量问题的结论．

例3        (1)  (－3)×4a；

(2)  3(a＋b)－2(a－b)－a；

(3)  (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．

解： (1)  (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；

     (2)  3(a＋b)－2(a－b)－a

       ＝3a＋3b－2a＋2b－a

       ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)

       ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b

       ＝0a＋5b

       ＝5b；

     (3)  解法1：

(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)

      ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b

      ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb

      ＝ －2ya＋2xb．

         解法2：

(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)

      ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b

      ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b

      ＝ －2ya＋2xb．

例3

本题是从代数运算的角度对向量线性运算进行应用．

具体来说，第1小题是对结合律的应用．后两个小题是对向量线性运算的综合应用，但也各有侧重．

通过第2小题的解答过程，说明在向量的线性运算中，“合并同类项”和“提取公因式”的方法都是有据可依的．

通过第3小题的解法1，说明数量和与向量和相乘，可以类比多项式与多项式相乘的方法进行，展开式的结构也与多项式运算中的对应结论相似．

通过第3小题的解法2，说明在运算的过程中要注意观察，才能恰当地使用运算律，从而简化计算．

    这3个题目的解题过程，严格遵照向量线性运算的运算律进行，说明向量的线性运算，与数和代数式的运算非常相似，去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法同样适用．使学生在体会这种相似性带来的便利的同时，理解其中的算理．

例4        如图，□ABCD的两条对角线相交        于点 M，且，，

(1)       用a，b表示向量和．

(2)       点P和点Q分别在线段BD和AC上，且DB＝6DP，AQ＝2QC，用a，b表示向量和．

解：(1) 在□ABCD中，

 ，

 ．

 ．

     (2) 在△ADP中，

在△APQ中，

例4

本题中的两个小问，由易到难，层层递进，目的是使学生体会借助几何图形，用两个已知向量的线性运算表示同一平面内待求向量的一般方法，即把待求向量放在三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量数乘的定义，逐步完成对待求向量的表示．

本题也是为后面平面向量基本定理的学习进行的铺垫．

总结

这节课，我们类比数量的乘法定义了向量的数乘运算，验证了数乘运算的结合律及分配律，并对向量的线性运算进行了应用．

通过这节课，希望同学们体会研究一种运算的基本过程，即从运算法则（也可以说是定义），到运算律，再到运算的应用．感受向量数与形的双重属性，尝试从数与形两个角度认识向量的问题．同时，还要体会类比的研究方法，在类比时既要关注共性，又要关注区别．

对知识和方法进行总结提升．

作业

1. 化简：

   (1) 6 (a －3b＋c)－4 (－a＋b－c)；

   (2) (x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．

2. 在△ABC中，，DE∥BC，且与边 AC 相交于点 E，△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N．设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，，．

这两道作业题是选自教材的练习题，分别是对课上例3和例4的巩固练习．