第8章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直学案含解析

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8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直观察下面两个图形．问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？知识点　异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？[提示]　相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)A．共面　　　　　　 B．平行C．异面 D．平行或异面D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．(1)60°　(2)45°　[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．] 类型1　异面直线所成的角【例1】　如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′．(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？[提示]　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？[提示]　异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．[解]　(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°．(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．求异面直线所成角的方法步骤是什么？[提示]　(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．eq \o([跟进训练])1．如图，已知在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AA′＝2．(1)BC和A′C′所成的角为________；(2)AA′和BC′所成的角为________．(1)45°　(2)60°　[(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq \r(3)，B′C′＝2eq \r(3)，所以∠B′C′A′＝45°．(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq \r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°．因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°．]2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________．eq \f(\r(15),15)　[将正方体ABCD­A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个如图所示的长方体，连接CE1，ME1．因为DB1∥CE1，所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a．在三角形MCE1中，CM＝eq \f(\r(5),2)a，CE1＝eq \r(3)a，ME1＝eq \f(\r(13),2)a，那么cos∠MCE1＝eq \f(\f(5,4)a2＋3a2－\f(13,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\r(3)a)＝eq \f(\r(15),15)．] 类型2　直线与直线垂直的证明【例2】　(对接教材P147例2)如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．[证明]　法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G．则OG∥B1D，EF∥A1C1．∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．∴DB1⊥EF．法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HEeq \f(1,2)DB1．于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝eq \f(\r(2),2)，HE＝eq \f(\r(3),2)，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF．∴HF2＝HI2＋IF2＝eq \f(5,4)．∴HF2＝EF2＋HE2．∴∠HEF＝90°．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．∴DB1⊥EF．证明两条异面直线垂直的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或其补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．eq \o([跟进训练])3．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3．求证：AC⊥BD．[证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°．即异面直线AC与BD所成的角是90°．∴AC⊥BD.1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)A．异面　　　　　　 B．平行C．相交 D．以上都有可能D　[当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．]2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)A．45° B．60°C．90° D．120°B　[取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG．易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°．]3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．60°　[连接AD1，则AD1∥BC1．∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°．]4．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为________．45°　[因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)异面直线所成角的定义是什么？(2)异面直线所成角的范围与平面内两直线所成角的范围有什么不同？(3)如何证明两条异面直线垂直？学 习 任 务核 心 素 养1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)2．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(重点、易错点)1．通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养．2．借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养．