人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步训练题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·黑龙江哈尔滨高二期末]下列关于y与x的经验回归方程中，变量x，y成正相关关系的是( )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝－2.1x＋1.8B．eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋1.5
C．eq \(y,\s\up6(^))＝－0.5x＋2.1D．eq \(y,\s\up6(^))＝－0.6x＋3
2．已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为(4，5)，则经验回归方程是( )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋4B．eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋5
C．eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2D．eq \(y,\s\up6(^))＝0.95x＋1.2
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2x－1，若eq \i\su(i＝1,15,y)i＝23，则eq \i\su(i＝1,15,x)i＝( )
A．12B．19
C．31D．46
4．[2023·河北沧州高二期末]下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是( )
5．[2023·河北保定高二期末]已知x，y的对应值如下表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.4x＋1.4，则m＝( )
A.2B．3C．4D．5
6．[2023·河南濮阳高二期末]某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示
由表格数据可得到y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.04x＋eq \(a,\s\up6(^))，则第6天的残差为( )
A．－0.08B．2.12
C．－2.12D．0.08
7．[2023·河南郑州高二期末]若需要刻画预报变量Y和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量Y随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量Y大致趋于一个确定的值，为拟合Y和x之间的关系，应使用以下回归方程中的(b>0，e为自然对数的底数)( )
A．Y＝bx＋a
B．Y＝－b ln x＋a
C．Y＝b eq \r(x) ＋a
D．Y＝be－x＋a
8．用模型y＝menx＋2(m>0)拟合一组数据时，设z＝lny，将其变换后得到回归方程为eq \(z,\s\up6(^))＝3x＋2，则n－m＝( )
A．－1B．1
C．－2D．2
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是( )
A．经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个
B．若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1，则这组样本数据的样本相关系数为1
C.在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量eq \(y,\s\up6(^))平均增加2个单位
D.用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越小，模型的拟合效果越差
10．[2023·河南平顶山高二期末]“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方．”鲁山县张良镇生产的黄姜，有“姜中之王”的美誉，自汉朝起便为历代宫廷贡品，闻名天下．某黄姜种植户统计了某种有机肥料的施肥量x(单位：吨)与姜的产量y(单位：吨)的一组数据，由表中数据，得到经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝5.3x＋eq \(a,\s\up6(^))，则下列结论正确的是( )
A．eq \(a,\s\up6(^))＝－0.06
B．姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关
C．回归直线过点(1，5.24)
D．当施肥量为1.8吨时，预计姜的产量约为8.48吨
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·江西宜春高二考试]某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x，y的一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，经计算得到经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq \(a,\s\up6(^))，且eq \i\su(i＝1,10,x)i＝20，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝－25，则eq \(a,\s\up6(^))＝________．
12．[2023·河南南阳高二期中]已知两个随机变量x和y的一组成对样本数据为(1，3)，(2，4)，(4，5)，(9，n)，若用最小二乘法求出回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝x＋1.75，则n＝________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)[2023·河南南阳高二期中]某冷饮店为了解每天的用电量y(千瓦时)与销售额x(千元)之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：
(1)已知y与x线性相关，求y关于x的经验回归方程；
(2)若某天的销售额为1万元，利用(1)中所得的经验回归方程，预测这一天的用电量．
附：回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
14．(10分)[2023·河北邯郸高二期中]某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分．以下是价格和对应的评分数据：
(1)根据以上数据，求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.1)；
(2)某网友准备购买一台评分不低于90分的航拍无人机，根据(1)中经验回归方程，预估最少需要多少元(结果精确到整数).
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
关键能力综合练
15．(5分)[2023·河南洛阳高二期中]杂交水稻之父袁隆平，为推进粮食安全、消除贫困、造福民生做出杰出贡献，他在杂交水稻育种的某试验中，第1个周期到第5个周期育种频数如下
由表格可得y关于x的二次回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6x2＋eq \(a,\s\up6(^))，则此回归模型第2个周期的残差(实际值与预报值之差)为( )
A．0B．1
C．4D．5
[答题区]
16.(15分)[2023·山东滨州高二期末]为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1～10分别对应年份2013～2022.
根据散点图，分别用模型①y＝bx＋a，②y＝c＋deq \r(x)作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
同步练习19 一元线性回归模型及其应用
1．解析：设关于y与x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，变量x，y成正相关关系，则eq \(b,\s\up6(^))>0，
答案：B
2．解析：因为回归直线必过样本中心，所以回归直线必过(4，5)，所以由直线的点斜式方程可得：eq \(y,\s\up6(^))－5＝1.2(x－4)，即eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.
答案：C
3．解析：因为eq \i\su(i＝1,15,y)i＝23，所以eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(23,15)，因为eq \(y,\s\up6(^))＝2x－1，且过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，所以eq \f(23,15)＝2eq \(x,\s\up6(－))－1，解得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(19,15)，则eq \i\su(i＝1,15,x)i＝15eq \(x,\s\up6(－))＝19.
答案：B
4．解析：图A显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；图B说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；图C显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；图D的残差较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，可见D满足一元线性回归模型对随机误差的假定．
答案：D
5．解析：eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋2＋4＋6＋8,5)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1＋m＋1＋2m＋1＋3m＋3＋11,5)＝1.2m＋3.4，
又经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.4x＋1.4，所以1.2m＋3.4＝1.4×4＋1.4，解得m＝3.
答案：B
6．解析：eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1＋4＋6＋9＋11＋12＋13,7)＝8，
根据经验回归方程过样本中心(4，8)，故有8＝2.04×4＋eq \(a,\s\up6(^))，则有eq \(a,\s\up6(^))＝－0.16，
此时eq \(y,\s\up6(^))＝2.04x－0.16，当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝2.04×6－0.16＝12.08，残差eq \(e,\s\up6(^))＝12－12.08＝－0.08.
答案：A
7．解析：由预报变量Y随着解释变量x的增大而减小，即回归方程对应一个递减函数，排除A、C；由随解释变量x的增大，预报变量Y大致趋于一个确定的值，即x趋向正无穷，预报变量Y趋向于某一个值，而不是趋向负无穷，排除B.
答案：D
8．解析：因为y＝menx＋2(m>0)，z＝lny，
所以lny＝nx＋2＋lnm，
又eq \(z,\s\up6(^))＝3x＋2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝3,2＋lnm＝2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝3,m＝1))，
所以n－m＝2.
答案：D
9．解析：经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))可以不经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的任意一个，A错误；因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1，所以样本相关系数为1，B正确；在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量eq \(y,\s\up6(^))平均减少2个单位，C错误；用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越小，模型的拟合效果越差，D正确．
答案：BD
10．解析：由表中数据可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(0.6＋0.8＋1＋1.2＋1.4)＝1，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(3.1＋4.2＋5.2＋6.4＋7.3)＝5.24，
所以回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝5.3x＋eq \(a,\s\up6(^))过点(1，5.24)，故C正确；
eq \(a,\s\up6(^))＝5.24－5.3×1＝－0.06，故A正确；
因为系数5.3>0，所以姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关，故B正确；
在回归方程中令x＝1.8，得eq \(y,\s\up6(^))＝5.3×1.8－0.06＝9.48，所以预计姜的产量约为9.48吨，故D错误．
答案：ABC
11．解析：由题意知，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,x)i＝2，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,y)i＝－eq \f(5,2)，因为样本中心点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))满足经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq \(a,\s\up6(^))，所以eq \(a,\s\up6(^))＝－eq \f(5,2)＋2×2＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
12．解析：该组数据中，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(1＋2＋4＋9)＝4，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(3＋4＋5＋n)＝3＋eq \f(n,4)，则样本点中心为(4，3＋eq \f(n,4))，则3＋eq \f(n,4)＝4＋1.75，解之得，n＝11.
答案：11
13．解析：(1)由表中数据计算得：eq \(x,\s\up6(－))＝5，eq \(y,\s\up6(－))＝4，
eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－2)×(－1.5)＋1×0.5＋2×2＋(－1)×(－1)＋0×0＝8.5，
eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝4＋1＋4＋1＋0＝10，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(8.5,10)＝0.85，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－0.85eq \(x,\s\up6(－))＝－0.25.
所以回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－0.25.
(2)将x＝10代入(1)的回归方程中得：eq \(y,\s\up6(^))＝0.85×10－0.25＝8.25.
故预测这一天的用电量为8.25千瓦时．
14．解析：(1)由题意得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(3＋6＋8＋10＋14＋17＋22＋32,8)＝14，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(43＋52＋60＋71＋74＋81＋89＋98,8)＝71，
故eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\(x,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(9138－8×14×71,634)＝eq \f(1186,634)≈1.9，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))≈71－1.9×14≈44.4，
y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.9x＋44.4.
(2)令eq \(y,\s\up6(^))＝1.9x＋44.4≥90，解得x≥24，
即预估最少需要2400元．
15．解析：令t＝x2则回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6t＋eq \(a,\s\up6(^))，符合线性回归，
周期数的平均数eq \(t,\s\up6(－))＝eq \f(12＋22＋32＋42＋52,5)＝11，
频数的平均数eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(2＋17＋36＋93＋142,5)＝58，
则中心点为(11，58)，代入eq \(y,\s\up6(^))＝6t＋eq \(a,\s\up6(^))，
可得58＝6×11＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝－8，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝6t－8，
当x＝2时y的预估值为6×4－8＝16，
则第2个周期的残差为17－16＝1.
答案：B
16．解析：(1)根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
(2)设t＝eq \r(x)，所以y＝c＋dt，
所以eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,10,)（yi－\(y,\s\up6(－))）（ti－\(t,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,)（ti－\(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(28.35,4.5)＝6.3，eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))＝60.825，
所以y关于x的经验回归方程为y＝60.825＋6.3eq \r(x)，
令x＝16，则y＝60.825＋6.3×4＝86.025，
即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．x
0
2
4
6
8
y
1
m＋1
2m＋1
3m＋3
11
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度y/cm
1
4
6
9
11
12
13
施肥量x(吨)
0.6
0.8
1
1.2
1.4
姜的产量y(吨)
3.1
4.2
5.2
6.4
7.3
销售额(千元)
3
6
7
4
5
用电量(千瓦时)
2.5
4.5
6
3
4
价格x/百元
3
6
8
10
14
17
22
32
评分y
43
52
60
71
74
81
89
98
周期数(x)
1
2
3
4
5
频数(y)
2
17
36
93
142
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案