高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布课时练习

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1．设随机变量Z服从标准正态分布Z～N(0，1)，且Z在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1和p2的大小关系为( )
A．p1＞p2B．p1＜p2
C．p1＝p2D．不确定
【答案】C 【解析】因为这是一个标准正态分布，标准正态曲线关于y轴对称，所以p1＝p2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2).若P(ξ＞2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)等于( )
A．0.85B．0.70
C．0.35D．0.15
【答案】C 【解析】P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ＞2)＝0.35.
3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X＞4)＝( )
A．0.158 8B．0.158 65
C．0.158 6D．0.158 55
【答案】B 【解析】P(X＞4)＝ eq \f(1,2)[1－P(2≤X≤4)]＝ eq \f(1,2)×(1－0.682 7)＝0.158 65.
4．某工厂生产的零件外直径(单位： cm)服从正态分布N(10，0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为( )
A．上、下午生产情况均正常
B．上、下午生产情况均异常
C．上午生产情况异常，下午生产情况正常
D．上午生产情况正常，下午生产情况异常
【答案】D 【解析】∵零件外直径X～N(10，0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2，10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异常．∵9.4<9.75<10.6，9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选D．
5．某年高二年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(≥100)＝0.3，据此可估计这次数学成绩在80～90分的学生人数约为( )
A．2 800B．4 200
C．5 600D．7 000
【答案】A 【解析】∵X～N(90，σ2)，且P(X≥100)＝0.3，∴P(X≤80)＝0.3.∴P(80≤X≤90)＝ eq \f(1－0.3×2,2)＝0.2.∴估计这次检测数学成绩在80～90分之间的学生人数约为14 000×0.2＝2 800.
6．(2023年大连期末)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,a－x)(0A． eq \f(9,2)B．4
C．6D．9
【答案】A 【解析】因为随机变量ξ～N(1，σ2)且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则 eq \f(a,2)＝1，得a＝2. eq \f(1,x)＋ eq \f(4,a－x)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(4,2－x)＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,x)＋ eq \f(4,2－x))[x＋(2－x)]＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))＝ eq \f(9,2)，当且仅当x＝ eq \f(2,3)时等号成立．所以 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,a－x)(07．(多选)(2022年张家港月考)在一次考试中，对某学校数学考试成绩的数据分析，男生的成绩X服从正态分布N(72，92)，女生成绩Y服从正态分布N(74，72)，若P(|X－μ|≤2σ)≈95.4%，则下列说法中正确的是( )
A．女生的平均成绩高于男生
B．男生成绩比较分散，女生成绩比较集中
C．在女生中，不及格(低于60分)的人数不超过3%
D．在男生中，优秀(高于90分)的人数超过3%
【答案】ABC 【解析】∵男生的成绩X服从正态分布N(72，92)，女生成绩Y服从正态分布N(74，72)，∴男生的平均成绩为72分，女生的平均成绩为74分，即女生的平均成绩高于男生，故A正确；∵92>72，∴男生成绩比较分散，女生成绩比较集中，故B正确；∵女生成绩Y服从正态分布N(74，72)，∴P(Y<60)＝P(Y≤74)－P(60≤X≤74)≈0.5－ eq \f(0.954,2)＝0.023<0.03，故C正确；∵男生的成绩X服从正态分布N(72，92)，∴P(X≤90)＝P(X≤72)＋P(72≤X≤90)≈0.5＋ eq \f(0.954,2)＝0.977，∴P(X>90)＝1－P(X≤90)＝0.023<0.03，故D错误．故选ABC．
8．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，则P(2＜X≤3)＝________．
【答案】0.34 【解析】如图，由图可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2＜X≤3)＝ eq \f(1,2)P(2＜X＜4)＝ eq \f(1,2)×0.68＝0.34.
9．若某一正态分布的均值和方差分别是2和3，则这一正态密度曲线的函数表达式为________．
【答案】f(x)＝ eq \f(1,\r(6π))e－ eq \s\up6(\f((x－2)2,6)) 【解析】由已知可得μ＝2，σ2＝3，将它们代入f(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π))e－ eq \s\up6(\f((x－2)2,2σ2))，便得所求函数表达式为f(x)＝ eq \f(1,\r(6π))e－ eq \s\up6(\f((x－2)2,6)).
10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，求p0的值．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解：由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)≈0.954 5.由正态分布密度曲线的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)P(700＜X≤900)≈0.977 3.
B级——能力提升练)
11．(2023年成都模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(ξP(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；丙：P(ξ≤a)＝0.5；丁：P(a<ξA．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】D 【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ.根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)，所以假命题是丁．
12．(多选)(2022年吉林期末)某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位：小时)均近似服从正态分布．用工艺1加工一个零件所用时间X～N(μ1，σ eq \\al(2,1))；用工艺2加工一个零件所用时间Y～N(μ2，σ eq \\al(2,2)).X，Y的分布密度曲线如图所示，则( )
A．μ1<μ2，σ eq \\al(2,1)>σ eq \\al(2,2)
B．若加工时间只有a小时，应选择工艺2
C．若加工时间只有c小时，应选择工艺2
D．∀x0∈(b，c)，P(XP(Y【答案】AC 【解析】对于A，因为X～N(μ1，σ eq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σ eq \\al(2,2))，所以X的密度曲线的对称轴μ1＝a，Y的密度曲线的对称轴μ2＝b，由图知ac)，P(Y≤c)＝1－P(Y>c)，而P(X>c)>P(Y>c)，故P(X≤c)13．已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a＝________，b＝________．
【答案】 eq \f(1,2) －1 【解析】∵随机变量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，解得a＝ eq \f(1,2)，b＝－1.
14．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y，已知Y～N(1 000，302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，则灯管的最低寿命应控制在________小时．
【答案】910 【解析】因为P(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)＝99.7%，又Y～N(1 000，302)，所以Y在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910，1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．
15．(2023年邯郸模拟)某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位： mm)，统计结果如下表所示：
(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件数为随机变量X，求X的均值；
(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)，根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品，请估计m的值(结果保留三位小数).
附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝ eq \f(Y－μ,σ)，则Z～N(0，1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.
解：(1)依题意，得P(尺寸不大于2.06 mm)＝ eq \f(4＋36,100)＝0.4，∴X～B(1 000，0.4).
∴E(X)＝1 000×0.4＝400.
(2)设合格零件的最大尺寸为m mm，则P(Y≤m)≈0.9.
令Z＝ eq \f(Y－2.069,0.01)，则Y＝0.01Z＋2.069.
∴P(Y≤m)＝P(0.01Z＋2.069≤m)≈0.9，
即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Z≤\f(m－2.069,0.01)))≈0.9且P(Z≤1.28)≈0.9，
得 eq \f(m－2.069,0.01)≈1.28，∴m≈2.082.
故合格零件的最大尺寸约为2.082 mm.零件的尺寸
(2，2.03]
(2.03，2．06]
(2.06，2．09]
2.09以上
零件的个数
4
36
56
4