高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第七章　7.4　7.4.1

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　ABD　)
A．p＝ B．E(ξ)＝
C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝
[解析]　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝.
∴E(ξ)＝2×＝，D(η)＝3××＝.
P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝.
2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是(　C　)
A．C4×
B．C5
C．C4×＋C5
D．1－C3×2
[解析]　用X表示该生做对的题数，则X～B，该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形故所求概率为P(X＝4)＋P(X＝5)＝C4×＋C5.
3．已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p＝(　C　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
[解析]　某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则1－[Cp(1－p)2＋Cp0(1－p)3]＝0.784，解得p＝0.7.
4．甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为，设各局比赛相互间没有影响，甲队战胜乙队包含两种情况：
①甲连胜2局，概率为p1＝2＝，
②前两局甲队一胜一负，第三局甲队胜，概率为p2＝C×××＝，则甲队战胜乙队的概率为p＝p1＋p2＝＋＝.
5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　A　)
A．[0.4，1) B．(0，0.4]
C．[0.6，1) D．(0，0.6]
[解析]　由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
∴Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p<1，∴0.4≤p<1.
二、填空题
6．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0 [解析]　所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n.
7．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p是_或__.
[解析]　P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝22，解得p＝或p＝.
8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝___.
[解析]　考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B.
即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0，1，2，3，4，5，所以P(ξ＝4)＝C4×1＝.
三、解答题
9．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
[解析]　(1)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B.P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2或E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B，
由题意，M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，
由事件的独立性和互斥性，得
P(M)＝P{X＝3，Y＝1}＋P{X＝2，Y＝0}
＝P{X＝3}P{Y＝1}＋P{X＝2}P{Y＝0}
＝×＋×
＝.
10．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张，每人投三类票中的任何一类的概率都是，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
[解析]　(1)该公司决定对该项目投资的概率为P＝C2＋C3＝.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：

“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
事件A
0
0
3
事件B
1
0
2
事件C
1
1
1
事件D
0
1
2
P(A)＝C3＝，
P(B)＝C3＝，
P(C)＝CC3＝，
P(D)＝C3＝.
因为A，B，C，D互斥，
所以P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．下列结论，其中正确的是(　AD　)
A．他第3次射击时，首次击中目标的概率是0.12×0.9
B．他第3次射击时，首次击中目标的概率是C×0.9×0.12
C．他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1
D．他恰好击中目标3次的概率是C×0.93×0.1
[解析]　在他第3次射击时才击中，说明前两次都没有击中，故其概率为0.12×0.9，故A正确，B错误；击中目标的次数服从二项分布，所以恰好击中目标3次的概率为C×0.93×0.1，故D正确，C错误．故选AD．
2．随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为(　B　)
A．64 B．256
C．259 D．320
[解析]　由X～B(100，0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B．
3．(多选)(2022·山东新课改高三大联考)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则(　ABD　)
A．该游客至多游览一个景点的概率为
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
[解析]　X的所有可能取值为0，1，2，3，4.则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×3＋×C××2＝，
所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，故A正确．
P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×1＝，故B正确．
P(X＝4)＝×3＝，故C错误．
又P(X＝3)＝×C×2×1＋×C×3＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确．
故选ABD．
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是(　B　)
A．5 B．C5
C．C3 D．CC5
[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2，3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C32＝C5＝C5.
二、填空题
5．甲、乙两人组队参加答题比赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为___.
[解析]　甲、乙两人共答对三个题，分两个互斥事件：
①甲答对2个题，乙答对1个题的概率为2·C··＝.
②甲答对1个题，乙答对2个题的概率为C···2＝.
故甲、乙两人共答对三个题的概率为＋＝＝.
6．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为___.
[解析]　由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝Cp0(1－p)2，∴p＝，
∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
＝1－Cp0(1－p)4－Cp(1－p)3
＝1－－＝.
7．某篮球决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为___.
[解析]　依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，所以Sn＝＝.
由Sn≥390得n2＋7n≥78，所以n≥6.所以要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．
①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P(6)＝C×5＝；
②若比赛共进行了7场，则前6场比赛的比分为3∶3，其概率P(7)＝C×6＝.
所以门票收入不少于390万元的概率P＝P(6)＋P(7)＝＝.
三、解答题
8．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的占60%，参加过计算机培训的占75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
[解析]　(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，则事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是
P()＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1.
所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布ξ～B(3，0.9)，P(ξ＝k)＝C0.9k×0.13－k，k＝0，1，2，3，
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
9.现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目，掷出点数为1或2的人去参加甲项目，掷出点数大于2的人去参加乙项目．
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目的概率；
(2)求这4个人中去参加甲项目的人数大于去参加乙项目的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ 的分布列与数学期望E(ξ)．
[解析]　依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目的概率为，去参加乙项目的概率为.设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，
则P(Ai)＝Ci4－i.
(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目的概率P (A2) ＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲项目的人数大于去参加乙项目的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C31＋C4＝.
∴这4个人中去参加甲项目的人数大于去参加乙项目的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P



E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.