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初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质第2课时学案设计
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质第2课时学案设计，共4页。学案主要包含了学习目标，课前预习，学习探究，参考答案，课后练习等内容，欢迎下载使用。
1．掌握角平分线的判定．
2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题
【课前预习】
1．下列四个命题中，假命题是（ ）
A．“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理B．等边三角形是锐角三角形
C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．真命题的逆命题是真命题
2．△ABC内一点P到三边距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
3．下列语句中正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等
C．有两边分别相等的两个直角三角形全等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
4．下列说法正确的有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【学习探究】
自主学习
阅读课本，完成下列问题
1．到角的两边距离相等的点在________________．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是________________．
符号表示：
如图，
∵OP平分∠AOB（或∠1=∠2），
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ PD＝PE
2．如图12-83，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
第2题
第3题
1
2
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
3．如图12-84，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PE B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD
互学探究
1：角平分线的判定定理
问题1：如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，并且PD=PE，请问：点P的位置有什么特殊性吗？猜想：点P在 上。
问题2：你能证明你的猜测吗？
证明：
要点归纳：
角平分线的判定定理：
应用所具备的条件：（1）位置关系： ；
（2）数量关系： .
定理的作用： .
应用格式：∵
∴点P 在∠AOB的平分线上.
活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？
活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？
要点归纳：
①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 .
②三角形内，到三边距离相等的点是 .
典例精析
例1：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
方法总结:三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
方法总结:由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
课后练习
1．若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点
2．下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的对应边相等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．对顶角相等
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
4．下列各语句中不正确的是（ ）
A．全等三角形的周长相等
B．全等三角形的对应角相等
C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
5．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上D．在AC边的垂直平分线上
6．三角形内到三条边距离相等的点是三条_____线的交点．
7．到一个角的两边距离相等的点都在_________。
8．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝___．
9．若△ABC的周长为12，∠A和∠B的平分线相交于点P，点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为___．
10．己知，某三角形的周长是30，两个内角的平分线交于点O，点O到其中一边的距离为2，则该三角形的面积是________．
【参考答案】
【课前预习】
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C
【课后练习】
1．C 2．D 3．C 4．C 5．C
6．角平分
7．这个角的平分线上
8．5：6
9．6
10．30
1．掌握角平分线的判定．
2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题
【课前预习】
1．下列四个命题中，假命题是（ ）
A．“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理B．等边三角形是锐角三角形
C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．真命题的逆命题是真命题
2．△ABC内一点P到三边距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
3．下列语句中正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等
C．有两边分别相等的两个直角三角形全等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
4．下列说法正确的有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【学习探究】
自主学习
阅读课本，完成下列问题
1．到角的两边距离相等的点在________________．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是________________．
符号表示：
如图，
∵OP平分∠AOB（或∠1=∠2），
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ PD＝PE
2．如图12-83，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
第2题
第3题
1
2
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
3．如图12-84，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PE B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD
互学探究
1：角平分线的判定定理
问题1：如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，并且PD=PE，请问：点P的位置有什么特殊性吗？猜想：点P在 上。
问题2：你能证明你的猜测吗？
证明：
要点归纳：
角平分线的判定定理：
应用所具备的条件：（1）位置关系： ；
（2）数量关系： .
定理的作用： .
应用格式：∵
∴点P 在∠AOB的平分线上.
活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？
活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？
要点归纳：
①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 .
②三角形内，到三边距离相等的点是 .
典例精析
例1：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
方法总结:三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
方法总结:由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
课后练习
1．若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点
2．下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的对应边相等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．对顶角相等
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
4．下列各语句中不正确的是（ ）
A．全等三角形的周长相等
B．全等三角形的对应角相等
C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
5．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上D．在AC边的垂直平分线上
6．三角形内到三条边距离相等的点是三条_____线的交点．
7．到一个角的两边距离相等的点都在_________。
8．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝___．
9．若△ABC的周长为12，∠A和∠B的平分线相交于点P，点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为___．
10．己知，某三角形的周长是30，两个内角的平分线交于点O，点O到其中一边的距离为2，则该三角形的面积是________．
【参考答案】
【课前预习】
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C
【课后练习】
1．C 2．D 3．C 4．C 5．C
6．角平分
7．这个角的平分线上
8．5：6
9．6
10．30
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