初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质学案

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质学案，共3页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

1、理解角的平分线的性质及判定；
2、能用角的平分线的性质及判定方法解决一些简单的实际问题。
【学习重点】运用角平分线的性质和判定进行简单的推理及解决实际问题；
【学习难点】角平分线的性质和判定的应用。
【学习过程】
一、复习回顾
1、什么叫角的平分线？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线
2、什么叫三角形的角平分线？
三角形一个内角的角平分分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个角的角平分线
二、自主学习
1、探究
为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该在何处修建？
2、作已知角的平分线的方法：
操作观察：
已知：∠BAC．
求作：∠BAC的平分线．
作法：（1）以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于E，交AC于F．
（2）分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点D．
（3）作射线AD，射线AD即为所求作的角平分线。
3、思考回答：角的平分线有什么性质？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
证明如下：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等。反过来，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD，垂足分别为C和D点。求证：∠AOP=∠BOP
证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB
∴∠OCP=∠ODP=90°
在Rt△POC和Rt△POD中

∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)
∴∠AOP=∠BOP
典例探究
例、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE
同理,PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
三、自主检测
1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ D ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
2.如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（ A ）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ C ）
A．2 B．2 C．4 D．4
4.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ B ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（ B ）
A．2m B．a﹣m C．a D．a+m
四、课堂小结
谈一谈这节课你有什么收获？你的困惑是什么？