人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理背景图课件ppt

这是一份人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理背景图课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了定理与互逆定理，新知巩固练习，它们是互逆定理，∠A900，∠B900，∠C900，新知应用举例，能力提升等内容，欢迎下载使用。
新知探索——直角三角形的判定
【操作】用13个等距的结, 把一根绳 子分成等长的12段, 然后以3个结、 4个结、5个结的长度为边长, 用木 桩钉成的三角形是 三角形.
【思考】(1)这组数是否满足a2+b2=c2呢?
(2)这个三角形是直角三角形吗？
【归纳】三边满足“a2+b2=c2”的三角形是直角三角形, 这个规律叫做勾股定理的逆定理.
如果三角形的三边长a、b、c满足: a2+b2=c2那么, 这个三角形是直角三角形.
1. 勾股定理的逆定理:
如几组常见的勾股数:①5, 12, 13; ②7, 24, 25; ③8, 15, 17.
2. 勾股数: 满足勾股定理的逆定理的一组整数叫做勾股数.
事先不知道三角形是否为直角三角形
已知直角三角形→勾股定理→a2+b2=c2;已知a2+b2=c2 →勾股定理的逆定理→直角三角形.
∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c (A’B’ >0, c >0 )在△ABC和△A’B’C’中
已知: 在△ABC中, AB=c, BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.求证: △ABC是直角三角形.
证明: 画一个△A’B’C’, 使∠C’=900, B’C’=a, C’A’=b
3.勾股定理逆定理的证明
∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴ ∠C=∠C’= 900∴ △ ABC是直角三角形
(1)判断一件事情的句子叫做命题(注意:命题有假之分); 真命题是题设和结论都正确的命题; 假命题是题设和结论相矛盾的命题.(2)条件和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题, 其中 的一个叫做原命题, 则另一个叫做它的逆命题.
【思考】一个命题一定有逆命题吗? 一个定理有是逆定理吗?
(2)互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题, 那么它也是一个定理, 这两个定理称 为互逆定理, 其中一个定理称为另一个 定理的逆定理.
(1)定理:用推理的方法得到的真命题叫做“定理”;
【注意】一个命题一定有逆命题, 但一个定理不一定有逆定理.
(1)两条直线平行, 内错角相等.(2)如果两个实数相等, 那么它们的平方也相等.(3)如果两个实数相等, 那么它们的绝对值相等.(4)全等三角形的对应角相等.
1.说出下列命题的逆命题, 这些命题的逆命题成立吗?
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题: 如果两个实数的平方相等, 那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等, 那么这两个实数相等. 不成立
逆命题: 对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？ 如果是, 请指出哪一个角是直角.
(1) a=25, b=20, c=15. , ;
(3) a:b:c=3:4:5. , .
注意: (1)和(2)中的数据都满足勾股定理的逆定理,只有(1)中的数据是勾股数, 因为勾股数都是整数,但(2)中的数据不是勾股数, 因为3个数不都是整数.
例1.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=15, b=8, c=17; (2)a=13, b=15, c=14; (3) a:b:c=3:4:5.
解: (1)∵152+82=225+64=289=172 即a2+b2=c2 ∴这个三角形是直角三角形. (2)∵132+142=169+196=365≠152 即a2+b2 ≠c2 ∴这个三角形不是直角三角形. (3)设a=3x, 则b=4x, c=5x ∵(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2 即a2+b2=c2 ∴这个三角形是直角三角形.
【分析】先由含m, n的代数式判断出a, b, c中最长的边 是c, 再利用勾股定理的逆定理作出判定.
例2. 已知△ABC的三边分别是a, b, c, 且a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2(m>n, m, n都是正整数). △ABC是什么三 角形？请说明理由.
解: △ABC是直角三角形. 理由是: ∵ (m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2 即a2+b2=c2 ∴ △ABC是直角三角形.
解: 连结AC, ∵∠B=900, AB=3, BC=4 ∴在Rt△ABC中由勾股定理得 ∵在△ACD中 AC2+CD2=52+122=169=132 即AC2+CD2= AD2 ∴由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形
例3.已知: 如图, 四边形ABCD中, ∠B=900, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13. 求四边形ABCD的面积?
互逆定理的典型应用
1.一个零件的形状如下图所示, 按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角. 请根据工人师傅量出的这个零件各边的尺寸, 判 断这个零件符合要求.
思考：这个四边形ABCD的面积是多少?
解: ∵在△ABC中, AB=3, AD=4, BD=5 则32+42=52, 即AB2+AD2=BD2 ∴由勾股定理的逆定理得： △ABD是直角三角形, 且∠A=900; ∵在△ABC中, BD=5, BC=12, CD=13 则52+122=132, 即AB2+AD2=BD2 ∴由勾股定理逆定理得： △BCD是直角三角形, 且∠DBC=900 ∴这个零件符合要求.
2. 已知a, b, c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
解: △ABC是直角三角形. 理由是: ∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ∴ a2+b2+c2+338-10a-24b-26c =0 则 a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 ∴ (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 ∴ a-5=0, b-12=0, c-13=0 ∴ a=5, b=12=, c=13 ∵ 52+122=25+144=169=132 即 a2+b2 =c2 ∴由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形.
3. 以△ABC三边a, b, c为边分别向外作正三角形, 正方形; 以三边为直径作半圆, 若S1+S2=S3成立. 则△ABC是直角 三角形吗? 为什么？
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c² 。
∵△ABC是直角三角形∴三边之间的关系为：a²+b²=c²
练一练（已知Rt△ABC,求AB）：
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
尝试画出满足表格数据的三角形，测量它的三个角度数，你发现了什么？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证： △ABC是直角三角形．
分析：1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠C=______°2.构造△A’B’C’，使其满足______________________ __________。3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
AC=A’C’,BC=B’C
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。几何描述：∵三角形三边之间的关系为：a²+b²=c²∴△ABC是直角三角形
勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。
用角判断： 1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形； 2.有一个角是90°的三角形是直角三角形； 用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a²+b²=c²）进行判断.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？1、a=15 ，b=8 ，c=172、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：1.找：确定三角形的最长边。 2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。 3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。 4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
观察下面的两个命题，你发现了什么？
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2。命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
它们是题设和结论正好相反两个命题
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理。勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理。
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等。(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方相等。(3)对顶角相等。(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝7：24：25C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B