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人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第三课时教案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第三课时教案设计，共7页。
课题：等差数列的前n项和公式
课型：
课时教学目标
（1）能推导等差数列前n项和公式；能说明等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；说明等差数列前n项和公式的代数特征与几何特征.
（2）能用等差数列前n项和公式解决问题
教学重点和难点
（1）教学重点：等差数列前n项和公式的推导.
（2）教学难点：倒序相加方法的发现.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
重温经典算法，归纳“探”公式
问题情境 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图4.2-4中的1，3，6，10，15，…，由于这些数能够表示成三角形，因此将其称为三角形数.
问题1 如果图4.2-4中的石子有100层，那么第1层到第100层一共用了多少粒石子？
师生活动 教师引导学生将问题抽象为求1 + 2 + 3 + … + 100，让学生独立解决问题，并进行全班展示、交流，教师在总结学生解法的基础上介绍高斯（*）的算法，
“注：见教科书第18页关于高斯的简介.
追问1 高斯采用的是什么算法？数列1，2，3，…，n，…是什么数列？高斯在求和过程中利用了数列1，2，3，…，n，…的什么性质？高斯求和法的实质是什么？
师生活动 教师引导学生发现高斯巧算的“秘密”，也就是其求和过程用的就是首尾配对法，即利用性质a1+a100=a2+a99=⋯=a50+a51，通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，实现了“化和为积”.
追问2 如果图4.2 - 4中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？
师生活动 学生很自然地将问题先转化为计算1 + 2 + 3 + … + 101.教师再引导学生明确求解的关键是将奇数项的求和问题转化为偶数项的求和问题.学生经过合作学习，相互讨论，形成以下两种求解思路。
思路1： 先拿出一项，再首尾配对.如可先拿出中间项，再首尾配对，即
原式=（1 + 101） + （2 + 100） + … + （50 + 52） + 51；
也可先拿出末项，再首尾配对，即
原式=（1 + 2 + 3 + … + 100） + 101=（1 + 100） + （2 + 99） + … + （50 + 51） + 101.
思路2： 先凑成偶数项，再配对.如可通过前面补零，凑成偶数项配对，即
原式=0 + 1 + 2 + 3 + …+ 100 + 101 = （0 + 101） + （1 + 100） + …+ （50 + 51）；
也可通过后面增项减项，凑成偶数项配对，即
原式=（1 + 2 + 3 + … + 101 + 102） －102 = （1 + 102） + （2 + 101） + …+ （51 + 52） －102.
问题2 如果图4.2 - 4中的石子有n层，那么第1层到第n层一共用了多少粒石子？
师生活动 学生将问题转化为计算Sn=1+2+3+⋯+n后，教师同样引导学生仿照问题1的转化思路，从奇偶分析法人手探求：
（1）当n为偶数时，直接运用高斯算法求解；
（2）当n为奇数时，学生经过小组合作讨论，借鉴前面的研究经验，通过不同的配项方式（增项、补项等），得到“化奇为偶”的不同化归方法，教师再让学生分组展示.
问题3 毕达哥拉斯学派是如何利用直观图形来研究“石子堆”的数量问题的？
师生活动 教师借助信息技术工具，引导学生回顾初中推导梯形面积公式的方法，帮助学生追寻毕达哥拉斯学派研究“石子堆”问题的方法，由此获得避免分类讨论的启发.
追问 为什么要“倒置”一个全等梯形？梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？能否借助这样的策略研究“石子堆”的数量问题？
师生活动 教师引导学生分析，“倒置”是为了补成平行四边形，将不规则或不熟悉的图形转化为规则或熟悉的图形；并引导学生归纳如图4.2 - 5所示的求解方法：平行四边形n行中的每行石子的粒数均为n+1，共有nn+1粒石子，所以原图案共有12nn+1粒石子.
在此基础上，教师介绍：毕达哥拉斯学派正是利用这种直观的拼图方法，求出了从1开始的连续n个正整数之和，即Sn=1+2+3+⋯+n=nn+12.
重温高斯算法，挖掘它蕴含的等差数列的对称性，提炼出将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”的本质，为推导等差数列的求和公式作准备.
如何实现“化奇为偶”是突破高斯算法的关键，同时，这种化归与转化的思想也为接下来解决更一般的求和问题提供了研究思路.
推广前面求1 + 2 + 3 + … + 101的方法，展现分奇偶两种情况求1 + 2 + 3 + … + n的过程，渗透分类与整合、转化与化归的思想方法，体现首尾配对的局限性和分类讨论的必要性，为引出倒序相加作铺垫.
通过再现梯形面积公式的推导过程，借助几何图形的直观性，起到启迪学生思维，唤醒学生重新思考的作用，引发学生类比探求新方法的欲望，为从“倒置”过渡到“倒序”作准备.
环节二
探索求和规律，演绎“推”公式
问题4 你能说出图4.2 - 5中隐含的求和思想和运算方法吗？它对避免分类讨论有何帮助？
师生活动 教师引导学生探讨，先从“形”的角度对①式进行直观分析，结合“倒置平移”中所受到的启发，得出其实质就是“算两次”的思想方法，即构造一个全等的图形，把不规则图形化为规则图形，实现化简求和的目的；再从“数”的角度对①式进行恒等变形，得到2Sn=21+2+3+⋯+n=nn+1，其本质也相当于把Sn “加两次”，即
Sn=1+2+3+⋯+n，
Sn=n+n−1+（n−2）+⋯+1，
将上述两式相加，可得
2Sn=n+1+n−1+2+n−2+3+⋯+1+n
=1+n+1+n+⋯+1+n=nn+1
n个
其结果变成n个（n+1）相加.由此自然引出了“倒序相加”的求和方法.
教师总结：我们通过类比得到的这种推导方法就叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单的求和，即把n个数的和转化为这n个数的平均数的自相加.从中我们还可以发现如下规律：
（1）所求的和可以用首项、末项和项数来表示；
（2）数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和.
问题5 倒序相加法妙在何处？这种方法能推广到求公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn吗？
师生活动 教师引导学生分析，倒序相加法的妙处在于：利用上述规律（2），通过算两次的思想，将n个不同数求和转化为n个相同数12n+1求和.
在此基础上，教师进一步引导学生利用等差数列的对称性得到：与首末两项“等距离”的两项的和都等于首末两项的和，即a1+an=a2+an−1=a3+an−2=…=an+a1，再将Sn转化为n个a1+an的和，从而运用倒序相加法得到公式（1）： Sn=na1+an2.
接下来，引导学生通过两种途径导出求和公式的其他形式.
途径1：先利用通项公式an=a1+n−1d表示Sn的各项，再化归为利用①式求和.即
Sn=a1+a1+d+⋯+[a1+n−1d]=na1+[1+2+3+…+n−1]d
=na1+nn−12d.
途径2：直接将通项公式an=a1+n−1d代入公式（1），化简得到
公式（2）：Sn=na1+nn−12d
整理得公式（3）：Sn=d2n2+a1−12dn
将前n个连续正整数的求和作为基础，通过数形结合探求新的解决方法，体现从特殊到一般导出“倒序相加法”的过程，符合学生的认知实际.
从特殊到一般，将几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，使得“倒序相加法”的产生过程不突兀，学生对倒序相加法带来的方便会更清晰，理解会更深刻，也更容易接纳.
环节三
挖掘几何意义，类比“释”公式
问题6 根据等差数列前n项和公式的结构特征，你能分别说出它们的几何意义吗？
师生活动 通过小组合作讨论，教师引导学生从三种求和公式的结构特征入手分析，结合从前面探究活动中得到的启发，总结归纳如下：
（1）从教科书在“边空”中的提示出发，建立公式与平均数的联系，即“等差数列的前n项和等于前n项的平均数的n倍”，并发现“前n项的平均数等于首项与末项的平均数”的几何意义如图4.2 - 6所示，即a1+an2相当于梯形的中位线.
（2）从类比梯形的面积出发，建立公式与几何图形之间的联系：公式（1）的几何意义为如图4.2 - 7所示的梯形的面积，其中a1，an分别表示该梯形的上底和下底，n表示梯形的高；公式（2）的几何意义为如图4.2 - 8所示的梯形的面积，与公式（1）的差别在于该梯形被分割成两部分面积（一个三角形和一个平行四边形）.
（3）从二次式的特征出发，建立公式与一元二次函数的联系
①当d=0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点（如图4.2 - 9所示）；
②当d≠0时，Sn可以看成二次函数y=d2x2 +a1−12dxx∈R当x=n时的函数值，其几何意义是一条过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点，其中，当d>0时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（如图4.2 - 10所示）；当d<0时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（如图4.2 - 11所示）.
追问 若将公式（3）变形为受-号Sn2=d2n+a1−12d，你还能说出它的几何意义吗？
师生活动 公式（3）的这个变式，也就是将二次式转化为一次式，即数列Snn仍是一个等差数列，其几何意义是点列1，S11，2，S22，…，n，Snn，…在直线y=d2x++a1−12d上，限于课堂容量，可将此问题留给学生课后思考探究：
通过数形结合的方式，明确公式的几何意义，有助于学生深入理解公式，并在理解的基础上记忆公式，而不是机械地记住公式.追问意在进一步沟通等差数列前n项和公式与通项公式的联系，帮助学生从整体上把握公式，
环节四
小结归纳提升，建构“精”公式
问题7 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）推导等差数列的前n项和公式时，用了哪些方法？蕴含了哪些数学思想？
（2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？
师生活动 让学生先独立思考，然后在信息技术平台上提交自己的总结.教师适度抽样点评，并及时补充完善.
小结本节课学习内容和思想方法，为下一节课学习公式的应用奠定基础.本课时把重心放在公式的推导方法和推导过程上是值得的，将应用公式集中放在下一课时，有利于体现公式应用的层次性.
环节五
课堂目标检测，类比“悟”公式
已知函数f（x）=4x4x+2（x∈R）.
若x1+x2=1，试求fx1+fx2的值；
利用倒序相加法计算f0+f1n+f2n+…+fn−1n+f1的值.
检测目标 本题主要检测学生对倒序相加法的迁移能力，测评学生运用化归与转化的思想方法进行运算求解的能力.
环节六
分层布置作业，迁移“用”公式
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第22~23页练习第1、2、3题.
（2）选做题：教科书第23页练习第4、5题.
2.拓展性作业
课后查阅相关文献资料，探寻等差数列前n项和公式的其他推导方法.
本课时的重心在推导公式上，因此基础性作业侧重学生对等差数列前n项和公式结构的理解记忆；拓展性作业侧重引导学生对等差数列前n项和公式的进一步探究，促进学生弄清等差数列前n项和公式的来龙去脉.
作业设计
板书设计
教学反思
课题：等差数列的前n项和公式
课型：
课时教学目标
（1）能推导等差数列前n项和公式；能说明等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；说明等差数列前n项和公式的代数特征与几何特征.
（2）能用等差数列前n项和公式解决问题
教学重点和难点
（1）教学重点：等差数列前n项和公式的推导.
（2）教学难点：倒序相加方法的发现.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
重温经典算法，归纳“探”公式
问题情境 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图4.2-4中的1，3，6，10，15，…，由于这些数能够表示成三角形，因此将其称为三角形数.
问题1 如果图4.2-4中的石子有100层，那么第1层到第100层一共用了多少粒石子？
师生活动 教师引导学生将问题抽象为求1 + 2 + 3 + … + 100，让学生独立解决问题，并进行全班展示、交流，教师在总结学生解法的基础上介绍高斯（*）的算法，
“注：见教科书第18页关于高斯的简介.
追问1 高斯采用的是什么算法？数列1，2，3，…，n，…是什么数列？高斯在求和过程中利用了数列1，2，3，…，n，…的什么性质？高斯求和法的实质是什么？
师生活动 教师引导学生发现高斯巧算的“秘密”，也就是其求和过程用的就是首尾配对法，即利用性质a1+a100=a2+a99=⋯=a50+a51，通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，实现了“化和为积”.
追问2 如果图4.2 - 4中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？
师生活动 学生很自然地将问题先转化为计算1 + 2 + 3 + … + 101.教师再引导学生明确求解的关键是将奇数项的求和问题转化为偶数项的求和问题.学生经过合作学习，相互讨论，形成以下两种求解思路。
思路1： 先拿出一项，再首尾配对.如可先拿出中间项，再首尾配对，即
原式=（1 + 101） + （2 + 100） + … + （50 + 52） + 51；
也可先拿出末项，再首尾配对，即
原式=（1 + 2 + 3 + … + 100） + 101=（1 + 100） + （2 + 99） + … + （50 + 51） + 101.
思路2： 先凑成偶数项，再配对.如可通过前面补零，凑成偶数项配对，即
原式=0 + 1 + 2 + 3 + …+ 100 + 101 = （0 + 101） + （1 + 100） + …+ （50 + 51）；
也可通过后面增项减项，凑成偶数项配对，即
原式=（1 + 2 + 3 + … + 101 + 102） －102 = （1 + 102） + （2 + 101） + …+ （51 + 52） －102.
问题2 如果图4.2 - 4中的石子有n层，那么第1层到第n层一共用了多少粒石子？
师生活动 学生将问题转化为计算Sn=1+2+3+⋯+n后，教师同样引导学生仿照问题1的转化思路，从奇偶分析法人手探求：
（1）当n为偶数时，直接运用高斯算法求解；
（2）当n为奇数时，学生经过小组合作讨论，借鉴前面的研究经验，通过不同的配项方式（增项、补项等），得到“化奇为偶”的不同化归方法，教师再让学生分组展示.
问题3 毕达哥拉斯学派是如何利用直观图形来研究“石子堆”的数量问题的？
师生活动 教师借助信息技术工具，引导学生回顾初中推导梯形面积公式的方法，帮助学生追寻毕达哥拉斯学派研究“石子堆”问题的方法，由此获得避免分类讨论的启发.
追问 为什么要“倒置”一个全等梯形？梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？能否借助这样的策略研究“石子堆”的数量问题？
师生活动 教师引导学生分析，“倒置”是为了补成平行四边形，将不规则或不熟悉的图形转化为规则或熟悉的图形；并引导学生归纳如图4.2 - 5所示的求解方法：平行四边形n行中的每行石子的粒数均为n+1，共有nn+1粒石子，所以原图案共有12nn+1粒石子.
在此基础上，教师介绍：毕达哥拉斯学派正是利用这种直观的拼图方法，求出了从1开始的连续n个正整数之和，即Sn=1+2+3+⋯+n=nn+12.
重温高斯算法，挖掘它蕴含的等差数列的对称性，提炼出将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”的本质，为推导等差数列的求和公式作准备.
如何实现“化奇为偶”是突破高斯算法的关键，同时，这种化归与转化的思想也为接下来解决更一般的求和问题提供了研究思路.
推广前面求1 + 2 + 3 + … + 101的方法，展现分奇偶两种情况求1 + 2 + 3 + … + n的过程，渗透分类与整合、转化与化归的思想方法，体现首尾配对的局限性和分类讨论的必要性，为引出倒序相加作铺垫.
通过再现梯形面积公式的推导过程，借助几何图形的直观性，起到启迪学生思维，唤醒学生重新思考的作用，引发学生类比探求新方法的欲望，为从“倒置”过渡到“倒序”作准备.
环节二
探索求和规律，演绎“推”公式
问题4 你能说出图4.2 - 5中隐含的求和思想和运算方法吗？它对避免分类讨论有何帮助？
师生活动 教师引导学生探讨，先从“形”的角度对①式进行直观分析，结合“倒置平移”中所受到的启发，得出其实质就是“算两次”的思想方法，即构造一个全等的图形，把不规则图形化为规则图形，实现化简求和的目的；再从“数”的角度对①式进行恒等变形，得到2Sn=21+2+3+⋯+n=nn+1，其本质也相当于把Sn “加两次”，即
Sn=1+2+3+⋯+n，
Sn=n+n−1+（n−2）+⋯+1，
将上述两式相加，可得
2Sn=n+1+n−1+2+n−2+3+⋯+1+n
=1+n+1+n+⋯+1+n=nn+1
n个
其结果变成n个（n+1）相加.由此自然引出了“倒序相加”的求和方法.
教师总结：我们通过类比得到的这种推导方法就叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单的求和，即把n个数的和转化为这n个数的平均数的自相加.从中我们还可以发现如下规律：
（1）所求的和可以用首项、末项和项数来表示；
（2）数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和.
问题5 倒序相加法妙在何处？这种方法能推广到求公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn吗？
师生活动 教师引导学生分析，倒序相加法的妙处在于：利用上述规律（2），通过算两次的思想，将n个不同数求和转化为n个相同数12n+1求和.
在此基础上，教师进一步引导学生利用等差数列的对称性得到：与首末两项“等距离”的两项的和都等于首末两项的和，即a1+an=a2+an−1=a3+an−2=…=an+a1，再将Sn转化为n个a1+an的和，从而运用倒序相加法得到公式（1）： Sn=na1+an2.
接下来，引导学生通过两种途径导出求和公式的其他形式.
途径1：先利用通项公式an=a1+n−1d表示Sn的各项，再化归为利用①式求和.即
Sn=a1+a1+d+⋯+[a1+n−1d]=na1+[1+2+3+…+n−1]d
=na1+nn−12d.
途径2：直接将通项公式an=a1+n−1d代入公式（1），化简得到
公式（2）：Sn=na1+nn−12d
整理得公式（3）：Sn=d2n2+a1−12dn
将前n个连续正整数的求和作为基础，通过数形结合探求新的解决方法，体现从特殊到一般导出“倒序相加法”的过程，符合学生的认知实际.
从特殊到一般，将几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，使得“倒序相加法”的产生过程不突兀，学生对倒序相加法带来的方便会更清晰，理解会更深刻，也更容易接纳.
环节三
挖掘几何意义，类比“释”公式
问题6 根据等差数列前n项和公式的结构特征，你能分别说出它们的几何意义吗？
师生活动 通过小组合作讨论，教师引导学生从三种求和公式的结构特征入手分析，结合从前面探究活动中得到的启发，总结归纳如下：
（1）从教科书在“边空”中的提示出发，建立公式与平均数的联系，即“等差数列的前n项和等于前n项的平均数的n倍”，并发现“前n项的平均数等于首项与末项的平均数”的几何意义如图4.2 - 6所示，即a1+an2相当于梯形的中位线.
（2）从类比梯形的面积出发，建立公式与几何图形之间的联系：公式（1）的几何意义为如图4.2 - 7所示的梯形的面积，其中a1，an分别表示该梯形的上底和下底，n表示梯形的高；公式（2）的几何意义为如图4.2 - 8所示的梯形的面积，与公式（1）的差别在于该梯形被分割成两部分面积（一个三角形和一个平行四边形）.
（3）从二次式的特征出发，建立公式与一元二次函数的联系
①当d=0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点（如图4.2 - 9所示）；
②当d≠0时，Sn可以看成二次函数y=d2x2 +a1−12dxx∈R当x=n时的函数值，其几何意义是一条过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点，其中，当d>0时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（如图4.2 - 10所示）；当d<0时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（如图4.2 - 11所示）.
追问 若将公式（3）变形为受-号Sn2=d2n+a1−12d，你还能说出它的几何意义吗？
师生活动 公式（3）的这个变式，也就是将二次式转化为一次式，即数列Snn仍是一个等差数列，其几何意义是点列1，S11，2，S22，…，n，Snn，…在直线y=d2x++a1−12d上，限于课堂容量，可将此问题留给学生课后思考探究：
通过数形结合的方式，明确公式的几何意义，有助于学生深入理解公式，并在理解的基础上记忆公式，而不是机械地记住公式.追问意在进一步沟通等差数列前n项和公式与通项公式的联系，帮助学生从整体上把握公式，
环节四
小结归纳提升，建构“精”公式
问题7 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）推导等差数列的前n项和公式时，用了哪些方法？蕴含了哪些数学思想？
（2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？
师生活动 让学生先独立思考，然后在信息技术平台上提交自己的总结.教师适度抽样点评，并及时补充完善.
小结本节课学习内容和思想方法，为下一节课学习公式的应用奠定基础.本课时把重心放在公式的推导方法和推导过程上是值得的，将应用公式集中放在下一课时，有利于体现公式应用的层次性.
环节五
课堂目标检测，类比“悟”公式
已知函数f（x）=4x4x+2（x∈R）.
若x1+x2=1，试求fx1+fx2的值；
利用倒序相加法计算f0+f1n+f2n+…+fn−1n+f1的值.
检测目标 本题主要检测学生对倒序相加法的迁移能力，测评学生运用化归与转化的思想方法进行运算求解的能力.
环节六
分层布置作业，迁移“用”公式
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第22~23页练习第1、2、3题.
（2）选做题：教科书第23页练习第4、5题.
2.拓展性作业
课后查阅相关文献资料，探寻等差数列前n项和公式的其他推导方法.
本课时的重心在推导公式上，因此基础性作业侧重学生对等差数列前n项和公式结构的理解记忆；拓展性作业侧重引导学生对等差数列前n项和公式的进一步探究，促进学生弄清等差数列前n项和公式的来龙去脉.
作业设计
板书设计
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