人教版新课标A必修5第二章 数列2.2 等差数列教学设计

这是一份人教版新课标A必修5第二章 数列2.2 等差数列教学设计，共8页。教案主要包含了指导思想与理论依据，教学背景分析，教学目标设计，教学过程与教学资源设计，教学效果评价设计，关于信息技术使用的反思等内容，欢迎下载使用。

一、指导思想与理论依据
1.强调基本知识和技能的掌握和应用
以落实基本知识和技能为基础设计数学学习活动，活动中学生要巩固等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识，并进一步提高应用这些知识解决问题的技能，感受数学思想方法．
2.重视探究学习活动过程
充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展操作、观察、比较、概括、猜想、证明、交流等多种形式的活动，体验数学问题的提出、形成、解决、应用的过程，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，增强学习数学能力．
3.倡导利用信息技术进行数学试验
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，信息技术是动手实践、自主探索的重要工具，首先它将表达式、数值、图形进行多元联系表示，从不同的侧面来刻画同一个数学对象，而且它运算快捷，计算准确，操作方便，可以帮助我们从一些繁琐、枯燥和重复性的工作中解脱出来，迅速完成大量的数学实验，使得我们有更多的时间和精力思考和分析数学现象、求解数学问题、解释数学结果，改善学习数学的方式，显然信息技术能够有力地促进创新精神的发展．
二、教学背景分析
本节课是一节复习等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识的习题课，教学大纲对这些知识的要求是理解、掌握和应用，本课探究的问题就是对这些知识的灵活应用，具体教学内容是探究等差数列的前n项和Sn的最大（小）值问题的解决方法，和探究已知两个等差数列的前n项和Sn的比值，求通项之比的问题的解决方法，课后探究中的问题等差数列各项取绝对值后组成的新数列的前n项和Sn问题，这些问题的解决既要用到等差数列的基本知识，还要用到函数方程思想、数形结合思想，既能体现基本知识和技能又能展现数学思维能力水平，因此这些问题在各种考试中经常出现，因而选取这两个问题作为这节课的教学内容．
本课之前学生已经学习了等差数列的前n项和公式，学生对等差数列的概念性质理解比较深刻，对通项公式、前n项和公式掌握比较熟练，但是还没达到能够灵活运用的程度，需要进一步的体验和学习能够体现数学思想展现思维能力的解决问题的方法，因此很有必要学习本课．
高一开学以来，每个学生都有一台TI－92图形计算器，学生对它的使用比较熟练，因此在学习过程中设计探究性学习活动，充分利用图形计算器的运算快捷、计算准确、操作方便的特点，使用图形计算器进行数学试验，展示数列的表达式、数据、图像等来观察分析内在联系；还用它构建出符合要求的实例，进行观察、归纳、猜想、验证，并且反思探究过程提炼出证明的方法，并且能够应用它解决同类问题，这样既能够学会知识又能够掌握技能，还可以感受数学思想方法的应用，更重要的是能够体验进行数学试验探究问题的过程与方法，提高学习能力．
三、教学目标设计
知识技能目标：在复习巩固等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识的基础上，综合应用这些基本知识解决等差数列相关问题；感受应用函数思想、数形结合思想研究解决数列问题的思想方法．
过程方法目标：在对问题的探究过程中，体验观察、归纳、猜想、验证、证明的问题解决过程，提高分析问题和解决问题的能力，培养思维的创新性、灵活性．
情感价值目标：在应用TI手持技术的探索试验过程中，感受TI手持技术在数学实验活动中的作用，激发我们探究数学问题的兴趣和欲望，体验从特殊归纳一般，从一般应用到特殊的辩证思想．
本课的教学重点是等差数列性质、通项公式、前n项和公式应用；教学难点是能够灵活应用等差数列性质、函数思想解决相关问题．
对于问题一是等差数列的前n项和Sn的最大（小）值问题，先求出前n项和Sn然后分析出特征，由二次函数配方方法求出最小值，再用TI图形计算器作出数列的图像，显示出各项数值，观察分析前n项和Sn取得最小值的时刻an的变化规律，从而得出第二种解法，并进一步认识关键是分析确定前n项和Sn取得最大（小）值的时刻．
对于问题二是已知两个等差数列的前n项和Sn的比值，要求通项之比的问题，设计为“特殊－归纳－猜想－证明－应用”的探究式学习模式，先由特殊的满足条件的等差数列归纳猜想出一般的结论，然后归纳出应用等差数列的前n项和Sn衍生出的公式an=S2n-1进行证明，最后应用解决问题，对于解法二这节课并未给出，留在以后研究．解法如下：
解法二：令Sn=(5n+3)·nk, S’n=(2n-1)·nk；
由an=Sn− Sn−1=2k(5n−1),得a9=88k；由bn=S’n−S’n−1=k(4n-3),得b9=33k
课后探究问题是等差数列各项取绝对值后组成的新数列的前n项和Sn问题，解决的关键是探究新数列和原数列两个数列的前n项和Sn之间的关系，该题的主要目的是为了巩固探究性学习方法，同时检验同学们的学习效果和能力，因此同样设计为“特殊－归纳－猜想－证明－应用”的自主探究式学习模式．
四、教学过程与教学资源设计
1．复习：
等差数列的概念；
等差数列的通项公式；等差数列的前n项和公式．
等差数列的性质：
若m+n=p+q,则: am+an=ap+aq (m, n, p, q ∈N* )．
活动设计：教师显示课件提出问题，学生回答．
2．展示例题分析解答方法
例1．已知等差数列{ an },，求数列{ an }的前n项和Sn的最小值；
解法一：
．
∴ 当n=9时,Sn取得最小值S9=-153 ．
活动设计：教师提出问题，引导学生思考，分析已知和所求，然后求出Sn，师生共同分析整理求最小值的方法——配方法，教师板书，并强调关键是找到取得最小值的时刻．
设计意图：根据最近发展区原则：通过题目分析复习等差数列前n项和Sn的求法，再联系二次函数相关知识求解最小值，展现原有的认知结构，为等差数列前n项和Sn的最小值求法相关知识的同化和顺应创造条件，便于正确建构相关知识．
3．再探究Sn取得最小值时，an的变化规律
探究：在TI图形计算器上作出数列an和Sn的图像，并显示an和Sn的值，观察分析Sn取得最小值时，an的变化规律，逐步认识到当an的符号发生改变之前的时刻就是Sn取得最小值的时刻．
活动设计：教师巡视辅导，学生操作、观察、分析、整理，由1-2名学生展示的成果，讲解过程和结果，做出的结果类似图1-4．
设计意图：由多元联系表示的原则，同时展现数列的通项表达式、数据、图像，便于观察分析Sn取得最小值时，an的变化规律进而分析求Sn最小值的另一种方法．观察Sn图像发现当Sn图像上的处于最低位置时，an图像上的点刚好处于越过x轴之前的位置，进而认识到当an的符号发生改变之前的时刻就是Sn取得最小值的时刻，再从数据表中验证规律，培养观察分析能力，体验数形结合数学思想方法．

图1 图2

图3 图4
4．整理解法二
解法二:由an =4n-37 ≤ 0,得n≤，∴ 当n≤9时,an<0,当n>9时,an>0;
∴ 当n=9时,Sn取得最小值S9=-153 ,Sn无得最大值．
活动设计：师生共同整理，教师强调求的最小值的关键是找到取最小值的时刻．
5．总结方法：
对等差数列前项和的最大(小)值问题有两种方法:
(1)利用an的单调性
当an>0，d<0，前n项和有最大值．可由an≥0，且an+1≤0，求得n的值．
当an<0，d>0，前n项和有最小值．可由an≤0，且an+1≥0，求得n的值．
(2)利用Sn的函数特征
由利用二次函数配方法求得最值时n的值．
活动设计：师生共同整理解决该问题的思想方法，提升思维层次．
6．反馈练习：
在等差数列{an}中, ＝36, 公差d＝－6, 求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
解法1：∵＝＋3d, ∴36＝－18, ＝54,
∴ ．
．
即当n＝8或n＝9时，＝＝270最大．
解法2：由已知解得＝54, d＝－6, an＝54－6(n－1),
由an≥0得n≤9且＝0, ∴当n＝8或n＝9时，＝＝270最大．
活动设计：学生练习，巩固方法，教师展示学生结果，讲评时注意结合图像（如图5-6），分析本题有两个时刻取得最大值．

图5 图6
7．例题二
例2．等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn和S’n，且，求．
探究内容：请你任意确定两个等差数列，分别计算，（如图7）
观察；猜想
完成后再换两个等差数列，做同样的探究．
图7
活动设计：由学生自己任意确定2个等差数列来探究，然后观察、分析、归纳、猜想结果，最后思考证明方法，由学生展示学习成果，结果类似于图8-13，然后师生共同分析整理证明方法．
如取，分别计算
探究如下图．

图8 图9

图10 图11

图12 图13
发现规律：；；；； ．．．猜想：
8．证明
证明：，
或者
活动设计：教师引导学生根据猜想的结论，寻求an与Sn的联系（an=S2n-1）分析出证明方法，然后师生共同整理证明方法，教师板书．
9．解答例2
解：
活动设计：学生完成，由一般应用到特殊．
10．练习：
两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第11项的比．
解：=====.
活动设计：学生练习，巩固学习成果．
11．小结：
(1)注意用函数思想解决等差数列相关问题．
(2)注意灵活应用等差数列的性质解决相关问题．
若m+n=p+q,则: am+an=ap+aq (m, n, p, q ∈N* )．
等差数列的增减性解决前n项和Sn的最值问题．
(3)TI图形计算器可以帮助我们快速的做大量的数学试验，便于探究规律；同时它可以方便快捷的作出图像，便于数形结合分析问题．
归纳、猜想、证明也是很重要的方法．
活动设计：由学生小结，教师整理．
12．课后探索：
已知等差数列{}的前n项和为，数列{}的前n项和，，探究与的关系；请你取不同的等差数列进行探究，如：
，求数列的前n项和．
，求数列的前n项和．

图14 图15

图16 图17

图18 图19
活动设计：课后由学生自己任意确定1个等差数列来探究，在图形计算器中输入，计算出，数列{}的前n项和为，数列{}的前n项和，作出图像（图14-15），显示数值表（图16-19），观察分析与的关系，然后写出求解过程．
从图像和数值可以看出，进而认识更一般的情况，在当等差数列an的符号发生改变之前的时刻就是分段的时刻，最后需要推理演算．
设计意图：课内学到的方法延伸到课外，借此进一步提高主动探究学习的意识和能力，同时也用来评价学生形成主动探究的意识．
13．作业：
1．已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值．
2．在等差数列中，求的最小值．
3．已知在等差数列｛an｝中，a10=23,a25=−22,Sn为其前n项和．
(1) 求S10. (2) 求的最大值；(3)求使Sn＜0的最小的正整数n．
4．设等差数列{}的前n项和为，已知>0，<0，指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由．
活动设计：课后由学生独立完成，主要目的学生完成自我的评价．
五、教学效果评价设计
评价目的：知识技能落实
(1) 完整解答练习1的人数，教师巡视时检查或学生举手示意，超过90%的同学应该掌握．
(2) 完整解答练习2的人数，教师巡视时检查或学生举手示意，超过90%的同学应该掌握．
(3) 评定每个同学完成作业的效果，统计全班5个等次的人数，评价方法见附表，全班达到良好以上的人数要超过90%．
评价目的：过程体验
(1) 能够用计算器准确做出数列图形的人数，应该超过95%，教师巡视时检查或学生举手示意．
(2) 能够用计算器准确构造出满足例2条件实例的人数，应该超过95%，教师巡视时检查或学生举手示意．
(3) 能够解释由计算器做出的结果的人数，应该超过80%教师巡视时检查或学生举手示意．
(4) 能够根据由计算器做出的结果猜想出结论的人数，应该超过80%，教师巡视时检查或学生举手示意．
评价目的：情感态度
(1) 在课后探索问题中能够用计算器准确做出数列图形的人数，教师课后逐一检查统计．
(2) 在课后探索问题中能够由上述结果猜想出结论的人数，教师课后逐一检查统计．
(3) 在课后探索问题中能够推证上述结论的人数，教师课后逐一检查统计．
该部分只需统计人数占全班的比例，主要是看学生能否去自主探究学习，是否提高学习兴趣．
评价目的：教学过程的调控
教学活动中出现和教师事先设计不一致的情况的次数，以及教师的处理效果（教师课后的自我评价）
附：作业评价指标
每个题目分5个方面评分，每项记2分共10分，每题分5个等级
8.5-10分(优等)、7-8.5分(良好)、5.5-7分(合格)、3.5-5.5分(不合格)、3.5分以下(很差)．
六、关于信息技术使用的反思
信息技术使用的关键是看能否利用信息技术平台进行高层次的数学思维活动，本节课的设计应该能够体现这一个特点，可见信息技术学习数学有帮助，对改善学习数学方法有利．
图形计算器在本节课的学习中起着重要的作用，首先将表达式、数值、图形进行多元联系表示，从不同的侧面来刻画同一个数学对象，学生对数列的图像认识更加深刻，数列及其前n项和的图像是相应函数图像上的一个个孤立的点，可以借助函数方法研究数列，但又有不同，如一元二次函数在对称轴的地方取得最大（小）值，而等差数列的前n项和是在离对称轴最近的整数处取得最大（小）值，而且容易由图像和数值分析出当an的符号发生改变之前的时刻就是Sn取得最小值的时刻，培养数形结合的能力．
图形计算器运算快捷，计算准确，操作方便，可以帮助我们迅速完成大量的数学实验，构造出具有共同属性的事例，便于探究规律，验证猜想，如果没有技术的支持，例2的探究不可能在短时间内完成，更不可能构造大量的例子．图形计算器的使用，代替了许多简单的、繁琐的手工数值计算，节约了大量的时间，不用担心计算的错误，使得我们有更多的时间和精力集中在观察、归纳、分析、证明上．正因为如此，图形计算器的使用能够激发同学们探究学习数学问题的热情，形成利用信息技术辅助数学思维的习惯，增强主动获取知识的能力．
题目
评价指标
1
2
3
4
平均得分
①结果正确
2
2
2
2
②思路方法正确
3
3
3
3
③证明或计算准确
3
3
3
3
④格式规范、书写整齐
2
2
2
2
作业评定结果