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第十五章 分式（单元重点综合测试）（解析版）
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第十五章 分式（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（ ）A． B． C． D．2．化简结果正确的是（ ）A． B．1 C． D．3．下列分式变形正确的是（ ）A． B． C． D．4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．07．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（ ）A． B． C． D．8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义9．已知，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ）A． B． C． D．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ）A．且 B．且 C．且 D．且二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是 ．12．若分式的值等于，则的值为 ．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为 ．14．若，对任意自然数都成立，则 ．15．定义运算，如：，则方程的解为 .16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为 .三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解分式方程：(1)； (2)．18．计算： (1) (2)19．先化简，再求值：，其中20．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．第十五章 分式（单元重点综合测试）班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意；B ，是分式，故该选项符合题意；C ，是多项式，故该选项不符合题意；D ，是单项式，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．2．化简结果正确的是（ ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据分式的加减法法则计算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．3．下列分式变形正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算， 逐一判断即可解答；【详解】解：A、，故 A 不符合题意；B、，故 B 符合题意；C、 ， 故C不符合题意；D、 ，故 D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍【答案】C【分析】根据分式的性质，将分式中的和都扩大到原来的3倍，进而化简，即可求解．【详解】解：∵∴分式的值缩小到原来的故选：C．【点睛】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得：，当时，，故选：C．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．7．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据0指数幂，负指数幂直接计算即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，，，∴，故选：D．【点睛】本题考查0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握，．8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义【答案】B【分析】根据分式有意义的条件和分数值为零的条件逐一判断，即可得到结论．【详解】解：A、当时，无意义，原判断错误，不符合题意；B、，，无论为何值，的值总为正数，原判断正确，符合题意；C、当时，是整数，原判断错误，不符合题意；D、当时，有意义，原判断错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值为零的条件是分子是0，分母不是0．9．已知一列数，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列关系得到，，，即可得到数列是个循环数列，3个一循环即可得到答案；【详解】解：∵，，，，∴，，，∴数列是3个一循环的数列，∵，∴，故选：A；【点睛】本题考查数列的规律，解题的关键是根据题意得到数列规律．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围．【详解】解：，去分母得，解得，∵方程的解为非负数，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范围是且，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是 ．【答案】【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．【详解】解：分式和的最简公分母是，故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法是解此题的关键，找最简公分母的方法是：①系数找分母各个系数的最小公倍数，②相同字母找字母的最高次幂，③对于在一个分母中单独有的因式，也作为一个因式．12．若分式的值等于，则的值为 ．【答案】1【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为 ．【答案】【分析】设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．14．若，对任意自然数都成立，则 ．【答案】/【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到，进而得到关于a、b的方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．【详解】解：，，对任意自然数都成立，，即，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．15．定义运算，如：，则方程的解为 .【答案】/【分析】先根据新运算得出，求出，再方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，经检验，是原方式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为 .【答案】0或【分析】转化成整式方程求出方程的解，根据无解得出的值．【详解】解：方程两侧同乘得：，整理得，方程无解，，，当或时方程无解，，故答案为：0或．【点睛】本题考查了分式方程无解时情况，转化成整式方程进行分析是最基本的方法．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解分式方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)原分式方程无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：当时，，原分式方程的解为：；（2）解：，，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．18．计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解；（2）根据单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算，然后合并同类项，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘法，积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．19．先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：原式，把代入得；【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．20．已知：代数式(1)当m为何值时，该式无意义？(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；【答案】(1)时，该式无意义(2)【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；所以时，该式无意义．（2）由题意得，该式的值为正数时，，即．【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个(2)A款纪念品降价以前的售价50元【分析】（1）设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元一次方程组，即可解答；（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，利用按照原价销售的个数加上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．【详解】（1）解：设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据题意可得，解得，答：A款纪念品购进的个数为30个；（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，根据题意可得，解得，经检验，为原方程的解，答：A款纪念品降价以前的售价50元．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．（2）猜想的第n个等式为：．利用分式运算进行证明即可．【详解】（1）第6个等式：；（2）猜想的第n个等式为：证明如下：左边，右边，左边=右边∴【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．23．（1）已知关于x的分式方程．①当时，求方程的解．②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值；（2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值．【详解】解：（1）①当时，分式方程为：，去分母得到，解得：，检验：当时，，∴是原方程的根；②，去分母得到，解得：，由题意得：，解得：，∴，解得：，∴a的值为3；（2），去分母得到，解得，∵方程有整数解，∴或且，解得：或3或0或4且，∴或0或4，∴此时整数m的值为3或0或4．【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．①甲商场的商品打几折？②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元(2)①打8折；②20或22或24或26【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元；（2）解：①设甲商场的商品打a折，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：甲商场的商品打8折；②总费用为元，∵总费用为500多，∴，解得：，又∵n为正整数，且，∴n可以为10，11，12，13，∴2n可以为20，22，24，26．答：学校购进B奖品的总数量为20件或22件24件或26件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25．对于分式A与B，若（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式，，，则A是B的“3级牵挂分式”．(1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（ ）A． B． C． D． (2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，①求E（用含x的式子表示）；②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．(3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值．【答案】(1)D(2)①；②当时，；当时，(3)【分析】（1）根据定义列式计算即可；（2）①分式P是分式Q的“2级牵挂分式”列式求出E的值即可；②根据，再根据P的值为正整数，x为正整数，求出结果即可；（3）由M是N的“1级牵挂分式”，得出，整理得出，列出a、b的方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：∵分式是分式C的“级牵挂分式”∴，故选：D．（2）解：①可得，，∵P是Q的“2级牵挂分式”，∴，∵；②由①可得：，∵P的值为正整数，x为正整数，∴当时，；当时，．（3）解：，，由M是N的“1级牵挂分式”，可得：，∴，整理得，由上式恒成立，得，解得：．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
第十五章 分式（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（ ）A． B． C． D．2．化简结果正确的是（ ）A． B．1 C． D．3．下列分式变形正确的是（ ）A． B． C． D．4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．07．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（ ）A． B． C． D．8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义9．已知，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ）A． B． C． D．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ）A．且 B．且 C．且 D．且二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是 ．12．若分式的值等于，则的值为 ．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为 ．14．若，对任意自然数都成立，则 ．15．定义运算，如：，则方程的解为 .16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为 .三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解分式方程：(1)； (2)．18．计算： (1) (2)19．先化简，再求值：，其中20．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．第十五章 分式（单元重点综合测试）班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意；B ，是分式，故该选项符合题意；C ，是多项式，故该选项不符合题意；D ，是单项式，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．2．化简结果正确的是（ ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据分式的加减法法则计算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．3．下列分式变形正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算， 逐一判断即可解答；【详解】解：A、，故 A 不符合题意；B、，故 B 符合题意；C、 ， 故C不符合题意；D、 ，故 D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍【答案】C【分析】根据分式的性质，将分式中的和都扩大到原来的3倍，进而化简，即可求解．【详解】解：∵∴分式的值缩小到原来的故选：C．【点睛】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得：，当时，，故选：C．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．7．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据0指数幂，负指数幂直接计算即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，，，∴，故选：D．【点睛】本题考查0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握，．8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义【答案】B【分析】根据分式有意义的条件和分数值为零的条件逐一判断，即可得到结论．【详解】解：A、当时，无意义，原判断错误，不符合题意；B、，，无论为何值，的值总为正数，原判断正确，符合题意；C、当时，是整数，原判断错误，不符合题意；D、当时，有意义，原判断错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值为零的条件是分子是0，分母不是0．9．已知一列数，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列关系得到，，，即可得到数列是个循环数列，3个一循环即可得到答案；【详解】解：∵，，，，∴，，，∴数列是3个一循环的数列，∵，∴，故选：A；【点睛】本题考查数列的规律，解题的关键是根据题意得到数列规律．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围．【详解】解：，去分母得，解得，∵方程的解为非负数，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范围是且，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是 ．【答案】【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．【详解】解：分式和的最简公分母是，故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法是解此题的关键，找最简公分母的方法是：①系数找分母各个系数的最小公倍数，②相同字母找字母的最高次幂，③对于在一个分母中单独有的因式，也作为一个因式．12．若分式的值等于，则的值为 ．【答案】1【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为 ．【答案】【分析】设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．14．若，对任意自然数都成立，则 ．【答案】/【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到，进而得到关于a、b的方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．【详解】解：，，对任意自然数都成立，，即，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．15．定义运算，如：，则方程的解为 .【答案】/【分析】先根据新运算得出，求出，再方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，经检验，是原方式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为 .【答案】0或【分析】转化成整式方程求出方程的解，根据无解得出的值．【详解】解：方程两侧同乘得：，整理得，方程无解，，，当或时方程无解，，故答案为：0或．【点睛】本题考查了分式方程无解时情况，转化成整式方程进行分析是最基本的方法．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解分式方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)原分式方程无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：当时，，原分式方程的解为：；（2）解：，，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．18．计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解；（2）根据单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算，然后合并同类项，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘法，积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．19．先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：原式，把代入得；【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．20．已知：代数式(1)当m为何值时，该式无意义？(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；【答案】(1)时，该式无意义(2)【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；所以时，该式无意义．（2）由题意得，该式的值为正数时，，即．【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个(2)A款纪念品降价以前的售价50元【分析】（1）设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元一次方程组，即可解答；（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，利用按照原价销售的个数加上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．【详解】（1）解：设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据题意可得，解得，答：A款纪念品购进的个数为30个；（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，根据题意可得，解得，经检验，为原方程的解，答：A款纪念品降价以前的售价50元．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．（2）猜想的第n个等式为：．利用分式运算进行证明即可．【详解】（1）第6个等式：；（2）猜想的第n个等式为：证明如下：左边，右边，左边=右边∴【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．23．（1）已知关于x的分式方程．①当时，求方程的解．②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值；（2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值．【详解】解：（1）①当时，分式方程为：，去分母得到，解得：，检验：当时，，∴是原方程的根；②，去分母得到，解得：，由题意得：，解得：，∴，解得：，∴a的值为3；（2），去分母得到，解得，∵方程有整数解，∴或且，解得：或3或0或4且，∴或0或4，∴此时整数m的值为3或0或4．【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．①甲商场的商品打几折？②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元(2)①打8折；②20或22或24或26【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元；（2）解：①设甲商场的商品打a折，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：甲商场的商品打8折；②总费用为元，∵总费用为500多，∴，解得：，又∵n为正整数，且，∴n可以为10，11，12，13，∴2n可以为20，22，24，26．答：学校购进B奖品的总数量为20件或22件24件或26件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25．对于分式A与B，若（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式，，，则A是B的“3级牵挂分式”．(1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（ ）A． B． C． D． (2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，①求E（用含x的式子表示）；②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．(3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值．【答案】(1)D(2)①；②当时，；当时，(3)【分析】（1）根据定义列式计算即可；（2）①分式P是分式Q的“2级牵挂分式”列式求出E的值即可；②根据，再根据P的值为正整数，x为正整数，求出结果即可；（3）由M是N的“1级牵挂分式”，得出，整理得出，列出a、b的方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：∵分式是分式C的“级牵挂分式”∴，故选：D．（2）解：①可得，，∵P是Q的“2级牵挂分式”，∴，∵；②由①可得：，∵P的值为正整数，x为正整数，∴当时，；当时，．（3）解：，，由M是N的“1级牵挂分式”，可得：，∴，整理得，由上式恒成立，得，解得：．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
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