高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2. 正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3. 培养学生观察分析、抽象的能力，感受从特殊到一般的思想，提高数学运算能力，体会数学的理性精神和美学意义.
二、教学重难点
1. 根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
2. 根式概念和分数指数幂概念的理解
三、教学过程
1.概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……观察细胞分裂的过程，1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是什么？
同学们观察细胞分裂的过程，得到细胞分裂次数与相应细胞个数的关系：.
【设计意图】创设细胞分裂的数学情境，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“求指数幂”的问题是自然、清楚、明白的.
【问题情境】在上面问题中只能取正整数，而对于式子，取负数整数或零也有意义，那么能否取分数呢？
【设计意图】引发学生思考，讨论，指数能否进一步推广到分数指数幂，引出课题.
1.2探究典例，形成概念
问题1：（1）16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？（2）-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？（3）如果 ，，，参照上面的说法，这里的分别叫什么名称？
活动：让学生计算，并思考讨论，进行总结归纳.
【预设的答案】；-3；是的立方根，是的4次方根，是的5次方根.
【活动预设】感受在求平方根、立方根，判断个数的过程中，立方根可以直接写出结果，平方根有两个，同学们容易漏掉负的平方根.
【设计意图】让学生计算，类比平方根、立方根的概念，引导学生归纳得出4次方根、5次方根，为引入次方根的概念做铺垫.
教师讲授：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中.
【设计意图】推广到一般情形，理解次方根所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成次方根概念.
活动：求值：（1）-8的立方根=___（2）16的4次方根= ___ （3）32的5次方根=____ （4）-32的5次方根=___ （5）0的7次方根= ____ （6）的立方根=____
【预设的答案】.
【活动预设】学生在求次方根的过程，大部分可以快速正确写出结果，有的却不好表示.
【设计意图】通过变式训练，巩固次方根的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.
问题2：（1）一般地，当n为奇数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ， 分别有解吗？(2)一般地，当为偶数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ，分别有解吗？有几个解？
【预设的答案】(1)当为奇数时,实数的次方根存在,方程有一个解；(2) 当为偶数时,当，方程有两个解；当，方程有一个解；当,方程无解.
【设计意图】引入次方根概念后，进一步让学生思考次方根的有解问题，引导学生用分类讨论的思想解决问题，为引入根式符号表示次方根做铺垫.
教师讲授：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
读法：的次方根；次根号下；开次方.
【设计意图】形成根式的概念，同学们熟练根式的三种读法.
问题3：(1);;. 观察思考，你能得到什么结论？
(2);;..观察思考，你能得到什么结论？
【预设的答案】当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，的次方根用符号表示. 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，记为.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0.
【设计意图】通过探究活动，思考交流，让学生发现规律，总结归纳的次方根的性质.让学生体会分类讨论的数学思想,类比立方根的情况，得到奇次方根的性质，类比平方根，得到偶次方根的性质.
问题4：分别等于什么？
【预设的答案】2，-2,2
【设计意图】学生计算思考，根式的概念源于方根的概念，根据次方根的意义就能得到常用的等式
问题4：表示的=一等成立吗？如果不成立，那么等于什么？计算，，，，，你能得出什么结论呢？
【预设的答案】5，-9,25，，
【设计意图】=是否对任意的正整数都成立，是不能由次方根的意义直接得出的，因此安排一个探究活动，在具体的教学活动中，可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳得出结论：当
当，
问题5：观察下列式子的变形:
你能得出什么结论？
【设计意图】让学生观察式子，思考回答，总结一般结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题6：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
正确吗？
【设计意图】引发学生思考，为引入正分数指数幂做铺垫.
教师讲授：规定正分数指数幂的意义，即
例如. 那么
因为
规定正分数指数幂的意义，即
注：0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用，如下：
【设计意图】形成分数指数幂的概念，并使指数的范围从整数推广到了有理数；给出了有理数指数幂的运算性质.
2.初步应用，理解概念
例1．求下列各式的值
（1）（2）（3）（4）
【预设的答案】,
【设计意图】通过练习，的次方根的性质的应用.
例2．化简
,
【设计意图】进一步的次方根的性质的应用，区分两个公式.
例3．求值.
, ,
【预设的答案】4,,
例4．用分数指数幂的形式表示下列各式.
,
【预设的答案】,
【设计意图】通过一些具体的根式与分数指数幂的互化，巩固、加深对概念的理解.
3.归纳小结，文化渗透
【设计意图】梳理本节课的知识点.