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初中人教版第十六章 二次根式16.1 二次根式精品综合训练题
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这是一份初中人教版第十六章 二次根式16.1 二次根式精品综合训练题，共29页。
1．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意；
C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
2．（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）已知，，且，则
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
3．（2020下·江西宜春·八年级统考期末）若，，求的值．
【答案】
【分析】由题意对利用提取公因式法分解因式，并代入利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式以及平方差公式是解题的关键．
【易错必刷二 求二次根式中的参数】
1．（2023下·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A．2B．4C．5D．20
【答案】C
【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．
【详解】解：，
是整数，
满足条件的最小正整数为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
2．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
3．（2021下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；
（2），
∴，
∴，
解得：，
∴xy=21，
∴xy的平方根为±．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
【易错必刷三 二次根式有意义的条件】
1．（2024上·四川泸州·八年级统考期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
2．（2024上·广西贵港·八年级统考期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长．
【答案】或/或
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形三边关系、根式有意义的条件等知识，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．根据根式有意义的条件求出a，b的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为；
当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为．
∴该三角形的周长是13或14．
【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】
1．（2024下·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．=B．=4
C．D．==9
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的性质逐项化简即可得出答案．
【详解】解：，故A错误；
==2，故B错误；
=，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
2．（2024·全国·八年级竞赛） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2024下·八年级课时练习）化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
【易错必刷五 复合二次根式的化简】
1．（2022上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
【易错必刷六 二次根式的乘除法】
1、（2023下·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；
【详解】解： ，无意义，①错误； ，②错误； 成立的前提是，③错误；④，④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
3．（2024上·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，计算二次根式的乘法，负整数指数幂，然后进行加减运算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式计算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【易错必刷七 最简二次根式的判断】
1．（2024上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】A．被开方数含分母，不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B．被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C．被开方数含小数，不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D．是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D．
2．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在、、、中最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．
【详解】解：是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有，
故答案为：．
3．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【易错必刷八 化为最简二次根式】
1．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．
【详解】解：，运算正确，故A不符合题意；
当，时，不成立，故B符合题意，
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选B
2、（2023上·河北承德·八年级统考期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．
【详解】∵是最简二次根式，
∴．
故答案为：4（答案不唯一）．
3（2024·全国·八年级课堂例题）化简下列各式：
(1)（a>0）；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键
（1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分；
（2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去；
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【易错必刷九 已知最简二次根式求参数】
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0，B．，0C．1，D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
2．（2023下·湖北咸宁·八年级统考期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键．
3．（2022·全国·八年级假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【易错必刷十 同类二次根式】
1．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
故选：D．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是同类二次根式．根据同类二次根式的定义“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”解答即可．
【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：6．
3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
∵b的算术平方根为2，c是8的立方根，
∴，
∴．
【易错必刷十一 二次根式的加减运算】
1．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；
综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
2．（2024·全国·九年级竞赛）已知正整数满足等式，则 ．
【答案】123或
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先把化成最简二次根式，再把满足正整数的所有值列举出来代入计算即可．
【详解】解：，正整数满足等式，
，，即，
或，，即，
或，
故答案为：123或．
3．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键．
（1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案；
（2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案；
【详解】（1）
；
（2）
；
【易错必刷十二 二次根式的混合运算】
1．（2024上·山东菏泽·八年级统考期末）若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】原式
.
故答案为：．
3．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式的加减混合运算等知识．
（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先计算括号，再计算乘除．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【易错必刷十三 分母有理化】
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）下面运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式意义以及性质等知识，根据二次根式意义以及性质逐项判断即可．
【详解】A．、无意义，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确．
故选：D．
2．（2024上·四川雅安·八年级统考期末）已知，则＝ ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可．
【详解】∵，
∴
；
故答案为：．
3．（2024上·山东济南·八年级统考期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键．
【易错必刷十四 已知字母的值化简求值】
1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式，在两人的解法中（ ）
A．甲正确B．乙正确C．都不正确D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：当时，，
∴
，
∴乙计算正确．
观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，
故选B．
2．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据减法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
则
，
故答案为：1
3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
【易错必刷十五 已知条件式化简求值】
1．（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
2．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，即，
∴是负数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键．
3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
则．
（2）解：∵，，
∴，，
则．
【易错必刷十六 比较二次根式的大小】
1．（2021上·八年级课时练习）的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
【答案】B
【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可．
【详解】解:
=
∵有意义，
∴,，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．
2．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等．
3．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
【易错必刷十七 二次根式的应用】
1．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为B．大长方形的宽为
C．大长方形的面积为300D．大长方形的长为
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、解题的关键是根据图形可知大长方形的长是小长方形宽的3倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断．
【详解】解：由题意大长方形的长为，宽为，
故面积为，
所以A、B、C正确，
D错误，符合题意．
故选：D．
2．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．
请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，直接利用已知计算公式得出p的值，进而利用面积公式计算得出答案．
【详解】解：∵a，b，c分别表示三边之长，p表示周长的一半，即，
，
的面积为：．
故答案为：．
3．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形术板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B．
(1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ；
(2)图①中阴影部分的面积为 ；
(3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)不能截出，理由见详解
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
故答案为：6；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
1．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意；
C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
2．（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）已知，，且，则
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
3．（2020下·江西宜春·八年级统考期末）若，，求的值．
【答案】
【分析】由题意对利用提取公因式法分解因式，并代入利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式以及平方差公式是解题的关键．
【易错必刷二 求二次根式中的参数】
1．（2023下·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A．2B．4C．5D．20
【答案】C
【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．
【详解】解：，
是整数，
满足条件的最小正整数为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
2．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
3．（2021下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；
（2），
∴，
∴，
解得：，
∴xy=21，
∴xy的平方根为±．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
【易错必刷三 二次根式有意义的条件】
1．（2024上·四川泸州·八年级统考期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
2．（2024上·广西贵港·八年级统考期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长．
【答案】或/或
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形三边关系、根式有意义的条件等知识，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．根据根式有意义的条件求出a，b的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为；
当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为．
∴该三角形的周长是13或14．
【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】
1．（2024下·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．=B．=4
C．D．==9
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的性质逐项化简即可得出答案．
【详解】解：，故A错误；
==2，故B错误；
=，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
2．（2024·全国·八年级竞赛） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2024下·八年级课时练习）化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
【易错必刷五 复合二次根式的化简】
1．（2022上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
【易错必刷六 二次根式的乘除法】
1、（2023下·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；
【详解】解： ，无意义，①错误； ，②错误； 成立的前提是，③错误；④，④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
3．（2024上·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，计算二次根式的乘法，负整数指数幂，然后进行加减运算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式计算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【易错必刷七 最简二次根式的判断】
1．（2024上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】A．被开方数含分母，不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B．被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C．被开方数含小数，不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D．是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D．
2．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在、、、中最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．
【详解】解：是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有，
故答案为：．
3．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【易错必刷八 化为最简二次根式】
1．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．
【详解】解：，运算正确，故A不符合题意；
当，时，不成立，故B符合题意，
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选B
2、（2023上·河北承德·八年级统考期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．
【详解】∵是最简二次根式，
∴．
故答案为：4（答案不唯一）．
3（2024·全国·八年级课堂例题）化简下列各式：
(1)（a>0）；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键
（1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分；
（2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去；
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【易错必刷九 已知最简二次根式求参数】
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0，B．，0C．1，D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
2．（2023下·湖北咸宁·八年级统考期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键．
3．（2022·全国·八年级假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【易错必刷十 同类二次根式】
1．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
故选：D．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是同类二次根式．根据同类二次根式的定义“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”解答即可．
【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：6．
3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
∵b的算术平方根为2，c是8的立方根，
∴，
∴．
【易错必刷十一 二次根式的加减运算】
1．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；
综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
2．（2024·全国·九年级竞赛）已知正整数满足等式，则 ．
【答案】123或
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先把化成最简二次根式，再把满足正整数的所有值列举出来代入计算即可．
【详解】解：，正整数满足等式，
，，即，
或，，即，
或，
故答案为：123或．
3．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键．
（1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案；
（2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案；
【详解】（1）
；
（2）
；
【易错必刷十二 二次根式的混合运算】
1．（2024上·山东菏泽·八年级统考期末）若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】原式
.
故答案为：．
3．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式的加减混合运算等知识．
（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先计算括号，再计算乘除．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【易错必刷十三 分母有理化】
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）下面运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式意义以及性质等知识，根据二次根式意义以及性质逐项判断即可．
【详解】A．、无意义，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确．
故选：D．
2．（2024上·四川雅安·八年级统考期末）已知，则＝ ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可．
【详解】∵，
∴
；
故答案为：．
3．（2024上·山东济南·八年级统考期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键．
【易错必刷十四 已知字母的值化简求值】
1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式，在两人的解法中（ ）
A．甲正确B．乙正确C．都不正确D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：当时，，
∴
，
∴乙计算正确．
观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，
故选B．
2．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据减法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
则
，
故答案为：1
3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
【易错必刷十五 已知条件式化简求值】
1．（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
2．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，即，
∴是负数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键．
3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
则．
（2）解：∵，，
∴，，
则．
【易错必刷十六 比较二次根式的大小】
1．（2021上·八年级课时练习）的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
【答案】B
【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可．
【详解】解:
=
∵有意义，
∴,，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．
2．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等．
3．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
【易错必刷十七 二次根式的应用】
1．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为B．大长方形的宽为
C．大长方形的面积为300D．大长方形的长为
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、解题的关键是根据图形可知大长方形的长是小长方形宽的3倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断．
【详解】解：由题意大长方形的长为，宽为，
故面积为，
所以A、B、C正确，
D错误，符合题意．
故选：D．
2．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．
请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，直接利用已知计算公式得出p的值，进而利用面积公式计算得出答案．
【详解】解：∵a，b，c分别表示三边之长，p表示周长的一半，即，
，
的面积为：．
故答案为：．
3．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形术板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B．
(1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ；
(2)图①中阴影部分的面积为 ；
(3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)不能截出，理由见详解
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
故答案为：6；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
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