数学七年级下册第五章 生活中的轴对称2 探索轴对称的性质精品复习练习题

这是一份数学七年级下册第五章 生活中的轴对称2 探索轴对称的性质精品复习练习题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在锐角三角形ABC中AB=5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长度为( )
A. 76B. 136C. 156D. 176
3.如图，在▵ABC中，▵ABC的面积为 10，AB=2 2，BD平分∠ABC，E、F分别为BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
4.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 3cm
5.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠PAQ的度数为( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
6.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ΔABC，则与ΔABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有
．( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
7.将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC(图中阴影部分)，若∠ACB=45°，则重叠部分的面积为( )
A. 2 2cm2
B. 2 3cm2
C. 4cm2
D. 4 2cm2
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,8)和(6,0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )
A. (0,6)
B. (0,8)
C. (0,2)
D. (0,3)
9.如图，在△ABC中，△ABC的面积为 10，AB=2 2，BD平分∠ABC，E、F分别为BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
10.小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示−3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8(A在B的左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则点A表示的数为( )
A. −4B. −5C. −3D. −2
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，△ABC的面积是6，∠C=90°，AB=5，D、E分别是BC、AB上的动点，连接AD、DE，则AD+DE的最小值是______．
12.阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A，点B落在点B，连接OA′．
①如图1，当点B′在OA′上时，求∠COD= ______；
②如图2，当点B在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′= ______．
13.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为______．
14.在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A=90°)硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸，重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为______，最大值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知点P在∠MON内.如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
(1)若∠MON=50°，求∠GOH的度数；
(2)如图2，若OP=6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
16.(本小题8分)
如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE.已知AB=5，DE=9，BD=8，设BC=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长．
(2)当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式 x2+4+ (12−x)2+9的最小值．
17.(本小题8分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，△ADC与△ABC关于AC对称，E为边AC上一点，连接BE并延长交CD于点F，作AG⊥BF交BC于点G．
(1)求证：AG=BF；
(2)探究：当ACBG为何值时，点G与点F关于AC对称．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
(1)如图1，当点P落在BC上时，求∠BEP的度数；
(2)如图2，当PF⊥AC时，求∠AEF的度数．
19.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题．
(1)连接AB，延长AB到E，使BE=AB；
(2)分别画直线AC，射线AD；
(3)在射线AD上找点P，使PC+PB最小，并写出此画图的依据是__________．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长和△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E=CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为15，AB=5，
∴12×5⋅CE=15，
∴CE=6．
即CM+MN的最小值为6．
故选：D．
过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=2，AC=3，
∴∠B+∠C=90°，
由折叠得∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB=2，DE=CE，
∴∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，
∴∠ADE=180°−(∠ADB+∠EDC)=90°，
∵AD2+DE2=AE2，DE=CE=3−AE，
∴22+(3−AE)2=AE2，
∴AE=136，
故选：B．
由折叠得∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB=2，DE=CE，则∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，所以∠ADE=90°，由勾股定理得22+(3−AE)2=AE2，求得AE=136，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明∠ADE=90°是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：如图，作CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴FH=E′F，
∴CH是点C到直线AB的最短距离(垂线段最短)，
∵△ABC的面积为 10，AB=2 2，
∴CH=2 102 2= 5，
∴CF+EF的最小值是CF+E′F=CF+FH=CH= 5．
故选：D．
作CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，再根据BD是∠ABC的平分线可知FH=E′F，再利用三角形的面积求出CH即可解决问题．．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
4.【答案】A
【解析】解：∵点P关于OA的对称点是P1，
∴P1M=PM．
∵点P关于OB的对称点是P2，
∴PN=P2N.
∵△PMN的周长=6cm，P1M=PM，PN=P2N，
∴P1P2=P1M+MN+P2N=PM+PN+MN=6cm，
故选：A．
根据轴对称的性质可知P1M=PM，PN=P2N；因为△PMN的周长已知，则可把其中的两边PM，PN代换为P1M，P2N，则根据P1P2是相关线段的和即可求出其长．
本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ABC=∠AED=90°，
∵∠BCD+∠CDE=230°，
∴∠BAE=(5−2)×180°−90°−90°−230°=130°，
作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″交BC于P，交ED于Q，则A′A″即为△APQ的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAE=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAE=∠A″，
且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAE+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″=2(∠A′+∠A″)=2×50°=100°，
故选：C．
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案．
此题主要考查了轴对称−最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，根据已知得出P，Q的位置是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查轴对称的性质；找准对称轴后画图是正确解答本题的关键．解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF所在直线，BC的中垂线都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【解答】
解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴BD=CD=2cm，
∴Rt△BCD中，BC= 22+22=2 2(cm)，
∴重叠部分的面积为12×2 2×2=2 2(cm)，
故选：A．
过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到重叠部分的面积．
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8.【答案】C
【解析】解：作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴一点C点，如图所示：
′
∵点A、B的坐标分别为(1,3)和(2,0)，
∴B′的坐标是(−2,0)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，将A、B′坐标分别代入，
3=k+b0=−2k+b，解得k=1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=x+2，
∴点C的坐标为(0,2)，
故答案为：C．
如解析图作B点关于y轴的对称点B′，连接AB交y轴一点C点，根据两点之间线段最短，这时4ABC的周长最小，求出直线AB′的解析式为y=x+2即可求出点C的坐标．
此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式．
9.【答案】D
【解析】解：如图，CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴FH=E′F，
∴CH是点C到直线AB的最短距离(垂线段最短)，
∵△ABC的面积为 10，AB=2 2，
∴CH=2 102 2= 5，
∵CF+E′F的最小值是CF+E′F=CF+FH=CH= 5．
故选：D．
作CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，再根据BD是∠ABC的平分线可知FH=E′F，再利用三角形的面积求出CH即可解决问题．．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
10.【答案】B
【解析】设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+8，由题意得a+a+82=1+(−3)2，解得a=−5.故选B．
11.【答案】245
【解析】解：作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D.
则AD=A′D，
∴AD+DE=A′D+DE≥A′E．
即AD+DE的最小值为A′E．
∵△ABC的面积是6，∠C=90°，AB=5，
∴BC=2×65=2.4，
∴AB=10，AA′=12，
∵S△AA′B=12AB⋅A′E=12AB⋅AE=2S△ABC=2×6=12，
∴A′E=12×25=245，
即AD+DE的最小值为245．
故答案为：245．
作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D.则AD=A′D，所以AD+DE=A′D+DE≥A′E.即AD+DE的最小值为A′E．
此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
12.【答案】90° 30°
【解析】解：①由折叠知∠AOC=∠A′OC，
∴∠AOA′=2∠AOC，
由折叠知∠BOD=∠B′OD，
∴∠BOB′=2∠BOD，
∵点B′落在OA′上，
∴∠AOA′+∠BOB′=180°，
∴2∠AOC+2∠BOD=180°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
即∠COD=90°，
故答案为：90°；
②由折叠知∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD，
∵∠AOC=44°，∠BOD=61°，
∴∠AOA′=2∠AOC=2×44°=88°，∠BOB′=2∠BOD=2×61°=122°，
∴∠A′OB′=∠AOA′+∠BOB′−180°=88°+122°−180°=30°，
即∠A′OB′=30°，
故答案为：30°．
①由折叠得出∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD，再由点B′落在OA上，得出∠AOA′+∠BOB′=180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA′=88°，∠BOB′=122°，即可得出结论．
本题考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
13.【答案】80°
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°−50°=80°，
故答案为：80°．
据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
14.【答案】8 ， 8+2 2
【解析】解：如图，
BC=4，AC=4× 22=2 2，CI=BD=CE=12AC= 2，DI=BC=4，
∴四边形BCID周长=4+4+2 2=8+2 2；
如图，
AF=AI=IC=FC=2，
∴四边形AFCI周长为2x4=8；
故答案为：8，8+2 2．
根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM=∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON=∠PON．
∵∠MON=∠MOP+∠NOP=50°，
∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON=2∠MON=100°；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.P
∴PA=P′A，PB=P″B，OP′=OP，OP″=OP，∠P′OM=∠POM，∠PON=∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP=6，
∴P′P″=OP′=OP″=6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″=60°．
∵∠P′OP″=∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON=2∠MON，
∴∠MON=30°．
【解析】(1)根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么∠GOM=∠POM，∠HON=∠PON，那么∠GOH=2∠MON；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.那么△PAB的周长最小值即为P′P″的长，易得△OP′P″为等边三角形，那么∠P′OP″=60°，所以∠MON=30°．
本题考查轴对称的综合应用．根据轴对称的性质可得关于轴对称的两个图形，对称轴两边的对应角相等，对应边相等是解决本题的关键．
16.【答案】(1)AC+CE= x2+25+ x2−16x+145．
(2)点C在直线AE上．
(3)构图略，最小值为13．

【解析】略
17.【答案】(1)证明：设AG交BF于点H，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∵△ADC与△ABC关于AC对称，
∴∠DCA=∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴∠ABG=∠BCF=90°，
∵AG⊥BF于点H，
∴∠AHB=90°，
∴∠BAG=∠CBF=90°−∠BAF，
在△ABG和△BCF中，
∠BAG=∠CBFAB=BC∠ABG=∠BCF，
∴△ABG≌△BCF(ASA)，
∴AG=BF．
(2)解：当ACBG=2 2时，点G与点F关于AC对称，
理由：连接GF，
∵ACBG=2 2，
∴AC=2 2BG，
∵AC= AB2+BC2= BC2+BC2= 2BC，
∴ 2BC=2 2BG，
∴BC=2BG，
∴BG=CG，
∵△ABG≌△BCF，
∴BG=CF，
∴CG=CF，
∵CA平分∠GCF，
∴AC垂直平分GF，
∴点G与点F关于AC对称．
【解析】(1)设AG交BF于点H，由AB=BC，∠ABC=90°，得∠BCA=∠BAC=45°，由轴对称的性质得∠DCA=∠BCA=45°，则∠BCD=90°，而∠AHB=90°，则∠BAG=∠CBF=90°−∠BAF，即可根据“ASA“证明△ABG≌△BCF，得AG=BF；
(2)解：当ACBG=2 2，则AC=2 2BG，而AC= 2BC，所以 2BC=2 2BG，则BC=2BG，可证明BG=CG，由全等三角形的性质得BG=CF，所以CG=CF，而CA平分∠GCF，由等腰三角形的“三线合一”得AC垂直平分GF，所以点G与点F关于AC对称，则当ACBG=2 2时，点G与点F关于AC对称．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，证明△ABG≌△BCF是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵△AEF沿EF折叠得到△PEF，
∴△AEF≌△PEF，
∴AE=PE，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE=PE，
∴BE=EP，
∴∠B=∠EPB=42°，
∴∠BEP=180°−∠B−∠EPB=180°−42°−42°=96°；
(2)由(1)得△AEF≌△PEF，
又∵PF⊥AC，
∴∠AFP=90°，
∴∠AFE=∠PFE=12∠AFP=45°，
∵∠B=42°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
在△AEF中，∠AEF=∠PEF=180°−∠BAC−∠AFE=65°．
【解析】(1)证明BE=EP，可得∠B=∠EPB=42°，从而得到∠AEP=∠B+∠EPB=42°+42°=84°，即可求解；
(2)根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形的内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF、∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．
本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
19.【答案】两点之间线段最短
【解析】解：(1)如图，线段BE即为所求；
(2)如图，直线AC，射线AD即为所求；
(3)如图，点P即为所求．依据是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
(1)根据线段的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直线，射线的定义画出图形即可；
(3)根据两点之间线段最短解决问题．
本题考查作图−应用与设计作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCB′=90°，
∴∠ECD+∠FCD=12×90°=45°，
即∠ECF=45°；
(2)由折叠可得：∠DEC=∠AEC=90°，BF=B′F=1，
∴∠EFC=45°=∠ECF，
∴CE=EF=4，
∴BE=4+1=5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= BE2+CE2= 52+42= 41，
设AE=x，则AB=x+5，
∵Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AE2+CE2=AB2−BC2，
即x2+42=(x+5)2−41，
解得：x=165，
∴AE=165，AB=AE+BE=165+5=415
∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．
【解析】(1)由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，再根据∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC= 41，设AE=x，则AB=x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2=AB2−BC2，即x2+42=(x+5)2−41，求得x=165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．
本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．