初中数学北师大版八年级下册4 分式方程同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版八年级下册4 分式方程同步达标检测题，共21页。

【知识点1 工程问题】
工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
【题型1 工程问题】
【例1】（2023•罗平县二模）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【变式1-1】（2023秋•黄浦区期中）一项工程由甲、乙两队合做共需4天完成，如果甲队单独做共需6天完成，那么由乙单独一天能完成这件工程的（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023•浙江自主招生）某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．又已知请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案中花钱最少的方案为 ；需付最少费用 元．
【变式1-3】（2023•洛江区模拟）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【知识点2 行程问题】
行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程
追击问题：（快－慢）×时间=距离
【题型2 行程问题】
【例2】（2023秋•昌平区期中）为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
【变式2-1】（2023•德州）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
【变式2-2】（2023秋•河南期末）一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的流速为 km/h．
【变式2-3】（2023•峨山县模拟）截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【知识点3 销售问题】
销售问题需要抓住的等量关系式为：
利润=售价－进价
利润率=
【题型3 销售问题】
【例3】某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【变式3-1】（2023•绵阳模拟）某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（ ）元．
A．508B．520C．528D．560
【变式3-2】（2023•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 元．
【变式3-3】（2023•岳麓区校级模拟）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【知识点4 方案问题】
方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
【题型4 方案问题】
【例4】（2023•淄川区二模）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知用900元购买甲种树苗的棵数与用600元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少10元．
（1）求甲种树苗每棵多少钱？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
【变式4-1】（2023•云岩区模拟）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（）1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【变式4-2】（2023•泰州二模）某商店准备购买A、B两种商品， ①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元 ，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
在“①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元”，“②A、B两种商品各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案？
【变式4-3】（2023•章丘区二模）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高． 日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
专题5.4 分式方程的应用-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 工程问题】
工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
【题型1 工程问题】
【例1】（2023•罗平县二模）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【分析】设二班单独整理这批器材需要x分钟，由题意：一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
【变式1-1】（2023秋•黄浦区期中）一项工程由甲、乙两队合做共需4天完成，如果甲队单独做共需6天完成，那么由乙单独一天能完成这件工程的（ ）
A．B．C．D．
【分析】设乙队单独做共需x天完成，根据甲、乙两队合做共需4天完成，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙队单独做共需x天完成，
依题意，得：4（）＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴乙单独一天能完成这件工程的．
故选：D．
【变式1-2】（2023•浙江自主招生）某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．又已知请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案中花钱最少的方案为 A ；需付最少费用 40000 元．
【分析】设乙队单独完成此项工程需用x天，则甲队单独完成此项工程需用（x﹣10）天．由题意：由甲、乙两个工程队合做，12天可完成，列出分式方程，解方程，再求出三种方案需要的费用，即可求解．
【解答】解：设乙队单独完成此项工程需用x天，则甲队单独完成此项工程需用（x﹣10）天．
依题意得：1，
解这个方程得x1＝4，x2＝30，
经检验，知x1＝4，x2＝30都是原方程的解，
∵x＝4不合题意，
∴x＝30，
则x﹣10＝20，
即单独完成此项工程甲队需20天，乙队需30天；
请甲队单独完成此项工程的费用为：2000×20＝40000（元），
请乙队单独完成此项工程的费用为：1400×30＝42000（元），
请甲、乙两队合作完成此项工程的费用为：（2000+1400）×12＝40800（元），
∵40000＜40800＜42000，
∴单独请甲队完成此项工程花钱最少，
故答案为：A；40000元．
【变式1-3】（2023•洛江区模拟）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝每天支付给甲队的费用×甲队工作时间+每天支付给乙队的费用×乙队工作时间结合改造总费用不超过63万元，列出一元一次不等式，解之取其最小值即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，
依题意，得：4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴x＝45．
答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
依题意，得：3m+2.463，
解得：m≥15，
答：至少安排甲队工作15天．
【知识点2 行程问题】
行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程
追击问题：（快－慢）×时间=距离
【题型2 行程问题】
【例2】（2023秋•昌平区期中）为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
【分析】设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合二班比一班少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出一班的平均车速．
【解答】解：设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，
依题意得：，
解得：x＝44，
经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意．
答：一班的平均车速是44千米/时．
【变式2-1】（2023•德州）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，由题意：小王家距上班地点18km，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
则x+10＝40，
即小王乘公交车上班平均每小时行驶40km，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•河南期末）一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的流速为 20 km/h．
【分析】直接利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：江水的流速为20km/h．
故答案为：20．
【变式2-3】（2023•峨山县模拟）截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【分析】（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，由题意：甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．列出分式方程，解方程即可；
（2）由55+45＝100＞80，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，
根据题意得：，
解得：x＝55，
经检验：x＝55是原分式方程的解，
答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h．
（2）∵55+45＝100＞80，
∴该长途汽车从甲地到乙地超速．
【知识点3 销售问题】
销售问题需要抓住的等量关系式为：
利润=售价－进价
利润率=
【题型3 销售问题】
【例3】某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【变式3-1】（2023•绵阳模拟）某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（ ）元．
A．508B．520C．528D．560
【分析】设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据每个进价比上次优惠1元，求出购进计算器的个数，再根据总售价﹣成本＝利润，即可得出答案．
【解答】解：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据题意得：
1，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则这笔生意该店共盈利：[50×（20+60﹣4）+4×50×90%]﹣（880+2580）＝520（元）；
故选：B．
【变式3-2】（2023•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．
【分析】设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出x的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，
根据题意得：2300，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则600，
1500，
1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．
答：该超市可以捐助5280元．
故答案为：5280．
【变式3-3】（2023•岳麓区校级模拟）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【分析】（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，由题意：用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）①由题意：销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，列出不等式组，即可求解；
②设销售这批丝绸的利润为y元，求出销售这批丝绸的利润y（元）与m（件）的函数关系式，再由一次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝400，
经检验，x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）①根据题意得：，
解得：16≤m≤25，
∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400）•（50﹣m）＝100m+10000，
∵100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝25时，y最大＝12500（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．
【知识点4 方案问题】
方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
【题型4 方案问题】
【例4】（2023•淄川区二模）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知用900元购买甲种树苗的棵数与用600元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少10元．
（1）求甲种树苗每棵多少钱？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣10）元，根据“用900元购买甲种树苗的棵数与用600元购买乙种树苗的棵树相同”列出方程并解答；
（2）设再购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（10﹣m）棵，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过230元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣10）元，
依题意得：．
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的根，且符合题意；
答：甲种树苗每棵30元；
（2）设再次购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（10﹣m）棵，
依题意得：30m+20（10﹣m）≤230，
解得：m≤3．
又∵m为非负整数，
∴m可以为0，1，2，3，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买10棵乙种树苗；
方案2：购买1棵甲种树苗，9棵乙种树苗；
方案3：购买2棵甲种树苗，8棵乙种树苗；
方案4：购买3棵甲种树苗，7棵乙种树苗．
【变式4-1】（2023•云岩区模拟）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（）1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： 甲、乙两队合作4天 ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【分析】（1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程为：4（）1，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作4天；
（2）根据题意先求得规定的天数，然后算出A、C两方案的价钱之后，再根据题意选择节省工程款的方案．
【解答】解：（1）根据题意及所列的方程可知被损毁的部分为：甲、乙两队合作4天；
故答案为：甲、乙两队合作4天；
（2）解：解方程，得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，
所以规定的工期为8天．
如期完成的两种施工方案需要的费用分别为：
A方案：1.1×8＝8.8（万元）；
C方案：4×1.1+8×0.5＝8.4（万元），
∵8.8＞8.4，
∴C方案更省钱．
【变式4-2】（2023•泰州二模）某商店准备购买A、B两种商品， ①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元 ，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
在“①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元”，“②A、B两种商品各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）选①，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（x+10）元，根据题意列出分式方程，解方程，检验后即可求出答案；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据题意得出一元一次不等式组，求出m的取值范围，由m为整数，即可求出购买方案．
【解答】解：（1）选①，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（x+10）元，
根据题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
选②，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（20﹣x）元，
根据题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴20﹣x＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
根据题意得：，
解得：15≤m≤16，
∵m为整数，
∴m＝15或16，
∴商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买B商品16个．
【变式4-3】（2023•章丘区二模）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【分析】（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，由题意：花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．列出分式方程，求解即可；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，根据表中的数据列方程组求解即可；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，由题意：手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，列出二元一次方程，求其正整数解，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100