高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时免费当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时免费当堂达标检测题，共4页。

[A组 必备知识练]
1．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b|
B．|a＋b|＝|a|＋|b|
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．|a|＝ eq \r(a2)
解析：因为a·b＝|a||b|cs θ(θ为a，b夹角)，
所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，
|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，a(b·c)也是向量，但这两个向量不一定相等，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cs 0＝|a|2，
所以|a|＝ eq \r(a2)，所以D正确．
答案：D
2．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A．e1在e2方向上的投影向量为cs θ e2
B．e eq \\al(2,1)＝e eq \\al(2,2)
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．e1·e2＝1
解析：因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cs θ e2＝cs θ e2，故A正确；
e eq \\al(2,1)＝e eq \\al(2,2)＝1，故B正确；
(e1＋e2)(e1－e2)＝e eq \\al(2,1)－e eq \\al(2,2)＝0，
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cs θ＝cs θ，故D错误．
答案：ABC
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2
＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
答案：B
4．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝( )
A．1 B． eq \r(3)
C．2 D． eq \r(3)或2
解析：|a－b|＝ eq \r(|a－b|2)＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(22－2×2＋22)＝ eq \r(4)＝2.
答案：C
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________．
解析：∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
∴λ＝ eq \f(3,2).
答案： eq \f(3,2)
6．已知向量 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(AB,\s\up6(→))，| eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝________．
解析：∵ eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(AB,\s\up6(→))，∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))·( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＝ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))2＝ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))－9＝0，
即 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝9.
答案：9
7．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1.若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：
(1)c·d；(2)|c＋2d|.
解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b
＝2×4－2×1＋3×2×1× eq \f(1,2)＝9.
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b
＝16×4＋9×1＋24×2×1× eq \f(1,2)＝97，
∴|c＋2d|＝ eq \r(97).
8．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝ eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值．
解：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cs α＋4＝9，
所以|a|＝3.
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cs α＋1＝8，
所以|b|＝2 eq \r(2).
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e eq \\al(2,1)－9e1·e2＋2e eq \\al(2,2)＝9－9×1×1× eq \f(1,3)＋2＝8，
所以cs β＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(8,3×2\r(2))＝ eq \f(2\r(2),3).
[B组 关键能力练]
9．若平面四边形ABCD满足 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝0，( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：由 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形．由( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得 eq \(DB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形．
答案：C
10．设向量a，b满足|a＋b|＝ eq \r(10)，|a－b|＝ eq \r(6)，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②，得4a·b＝4，∴a·b＝1.
答案：A
11．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量．若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
解析：由题意得(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＞0，
即k|e1|2＋k|e2|2＋(k2＋1)e1·e2＞0.
∵e1⊥e2，∴e1·e2＝0.又∵|e1|＝|e2|＝1，
∴2k＞0，即k＞0.
又∵k＝1时，两向量相等，夹角为0，∴k≠1.
∴k的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞).
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
12．已知平面上三点A，B，C满足| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \(CA,\s\up6(→))|＝5，求 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))的值．
解：由题意知B＝90°，
所以原式＝0＋4×5cs (180°－C)＋5×3cs (180°－A)
＝－20cs C－15cs A
＝－20× eq \f(4,5)－15× eq \f(3,5)＝－16－9＝－25.
[C组 素养培优练]
13．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cs 120°－|b||c|cs 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解：因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cs 120°＝－ eq \f(1,2)，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).