人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题，共9页。试卷主要包含了已知单位向量a，b，则·的值为等内容，欢迎下载使用。

1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．3 D．5
2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( )
A．16 B．256 C．8 D．64
4．设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．12
6．已知|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(2)，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ的值为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．1
7．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
8．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是________．
9．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b.求：
(1)c·d；
(2)|c＋2d|.
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝eq \r(7).
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，t∈R，且a⊥c，求t的值及|c|.
11．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
12．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－3b))＝12，则b在a上的投影向量为( )
A.eq \f(1,4)a B．2b C.eq \r(2)a D．2eq \r(2)b
13．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
14．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________.
15．已知向量a≠b，|b|≠0，若对任意的t∈R，|a－tb|≥|a－b|恒成立，则必有( )
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
6.2.4 向量的数量积(二)
1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A
7.9 8.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)，3))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，＋∞))
9.解 (1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)
＝2a2－2b2＋3a·b
＝2×4－2×1＋3×2×1×eq \f(1,2)＝9.
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2
＝16a2＋9b2＋24a·b
＝16×4＋9×1＋24×2×1×eq \f(1,2)＝97，
∴|c＋2d|＝eq \r(97).
10.解 (1)由|a－b|＝eq \r(7)，
得a2－2a·b＋b2＝7，
∴1－2×1×2×cs θ＋4＝7，
∴cs θ＝－eq \f(1,2).
又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3).
(2)∵a⊥c，c＝ta＋b，
∴a·(ta＋b)＝0，
∴ta2＋a·b＝0，
∴t＋1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
∴t＝1，
∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋4＝3，
∴|c|＝eq \r(3).
11.CD 12.A
13.A [因为(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，
即eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
又因为eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以△ABC是等腰三角形.]
14.eq \f(3,5) 1
解析 ∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(|b|2,|a||b|)
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(3,5)，
∴a在b方向上的投影向量为
|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)＝5×eq \f(3,5)·eq \f(b,|b|)＝b，
即b＝λb，解得λ＝1.
15.C [因为|a－tb|≥|a－b|恒成立，
两边平方，化简得
b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0，
对任意的t∈R恒成立，
又|b|≠0，则Δ＝4(a·b)2－4b2(2a·b－b2)≤0，
即(a·b－b2)2≤0，
所以a·b－b2＝0，
所以b·(a－b)＝0，
即b⊥(a－b).]
16.(1)证明 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cs 120°－|b||c|cs 120°
＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解 因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c
＝cs 120°＝－eq \f(1,2)，
所以k2－2k>0，
解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).