人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第一课时免费当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第一课时免费当堂达标检测题，共4页。

[A组 必备知识练]
1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \f(1,2)AB，则 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：如图．
∵∠C＝90°，sin A＝ eq \f(BC,AB)＝ eq \f(1,2)，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角是120°.
答案：C
2．已知|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2 eq \r(3)，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3
C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3)
解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cs 120°
＝ eq \r(3)×2 eq \r(3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－3.
答案：B
3．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中错误的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝ eq \r(a2)
解析：A.若a⊥b，则a·b＝0，故A错误．B.a与b夹角的范围为[0，π]，故B错误．C.若a⊥b，则a·b＝0，故C正确．D.|a|＝ eq \r(a2)，故D正确．
答案：AB
4．若e1，e2是夹角为 eq \f(π,3)的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝( )
A．1 B．－4
C．－ eq \f(7,2) D． eq \f(7,2)
解析：由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cs eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1e2＝－ eq \f(7,2).
答案：C
5．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．
解析：向量a在向量b上的投影向量为|a|cs 60°e＝2× eq \f(1,2)e＝e.
答案：e
6．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
解析：设夹角为θ.由a·b＝|a||b|cs θ，得1＝2cs θ，∴cs θ＝ eq \f(1,2).
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
答案：60°
7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
解析：依题意可得|a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝ eq \r(9－2＋|b|2)＝5，解得|b|＝3 eq \r(2).
答案：3 eq \r(2)
[B组 关键能力练]
8．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则 eq \(BD,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))等于( )
A．－ eq \f(3,2)a2 B．－ eq \f(3,4)a2
C． eq \f(3,4)a2 D． eq \f(3,2)a2
解析：如图， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))，∴ eq \(BA,\s\up6(→))与 eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为30°.
连接AC，与BD的交点设为O，则 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(BO,\s\up6(→))，| eq \(BO,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)a，
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)a，
∴ eq \(BD,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝a· eq \r(3)a×cs 30°＝ eq \f(3,2)a2.
答案：D
9．在边长为1的等边三角形ABC中，设 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ eq \f(3,2) B．0
C． eq \f(3,2) D．3
解析：a·b＝ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝| eq \(BC,\s\up6(→))|| eq \(CA,\s\up6(→))|cs (180°－∠BCA)＝－| eq \(BC,\s\up6(→))|| eq \(CA,\s\up6(→))|cs 60°＝－ eq \f(1,2).
同理b·c＝－ eq \f(1,2)，c·a＝－ eq \f(1,2)，则a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(3,2).
答案：A
10．在△ABC中，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝13，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝5，| eq \(CA,\s\up6(→))|＝12，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))的值是________．
解析：根据题意，| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝| eq \(BC,\s\up6(→))|2＋| eq \(CA,\s\up6(→))|2，
∴cs B＝ eq \f(5,13).
eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为π－B，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝13×5×cs (π－B)＝13×5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝－25.
答案：－25
11．已知在△ABC中，AB＝AC＝4， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形状是________．
解析：由题意得 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC，
即8＝4×4×cs ∠BAC，
所以cs ∠BAC＝ eq \f(1,2).
又因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，所以△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
[C组 素养培优练]
12．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－b－a|＝1，求|c|的取值范围．
解：如图所示．
令 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则| eq \(OD,\s\up6(→))|＝ eq \r(2).
又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心，半径为1的圆上，易知当点C与O，D共线时，| eq \(OC,\s\up6(→))|取到最值，最大值为 eq \r(2)＋1，最小值为 eq \r(2)－1，
所以|c|的取值范围为[ eq \r(2)－1， eq \r(2)＋1].