人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．两等角的一组对应边平行，则（ ）
A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直D．以上都不对
2．下列命题中，正确的命题序号是（ ）
①平行于同一直线的两直线平行；
②垂直于同一直线的两直线平行；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．
A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④
3．异面直线所成角范围所构成的集合记为集合，直线与平面所成角构成的范围为集合，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
4．正四棱锥中，E是AB上一点（不与端点重合），设SE与BC所成角大小为，SE是平面ABCD所成角大小为，二面角大小为，则（ ）
A．B．C．D．
5．以下四个图中，表示直线与平行的是（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为1的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上
8．已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设l是直线，是两个不同的平面（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
12．如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．，， ， 四点共面B．
C． D．四边形 为梯形
13．已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，，，，则
B．，，，，则直线，直线
C．，，则
D．、、，、、，且、、不共线，则、重合
14．如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（ ）
A．，，，四点共面B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
15．如图，在三棱锥中，E，F，G分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．若在平面内，是平面的斜线，，，，则点到的距离为______.
17．在空间四边形中，是的中点，是的中点，对角线，异面直线与所成角大小为60°，则的长度是______．
18．两条异面直线所成的角为，则的取值范围为______．
19．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
20．已知，，若，，那么直线与平面有______个公共点．
三、解答题
21．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
22．在正方体中．
(1)与是否在同一平面内？请说明理由；
(2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由；
(3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线．
23．在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点，若，，求．
24．如图所示，的各顶点都在平面外，且直线AB、BC、AC分别与平面交于P、Q、R，试找出Q点的位置．（保留作图痕迹）
参考答案：
1．D
【分析】根据空间图形的平行关系求解即可.
【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系，
故选：D
2．B
【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④.
【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对；
对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；
对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，，
则，与假设矛盾，假设不成立，③对；
对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示：
所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线，
故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.
故选：B.
3．A
【分析】根据异面直线所成角范围、直线与平面所成角构成的范围，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为，，
所以由能推出，但由不一定能推出，
因此“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
4．A
【分析】根据题意作出辅助线，再利用线线、线面、二面角的定义得到，，，进而推得，，，，，从而根据直角三角形的性质得出，，由此即可判断的大小.
【详解】
设点为点在底面的投影点，点为的中点，作过点作直线，且点为直线的中点，
，
，
点为点在底面的投影点，
底面，底面，
，且，
为正四棱锥，点为点在底面的投影点，
点为底面的中心，
又点为的中点，，
，，
底面，底面，
，
，且平面，平面，
平面，
平面，，
，
，，
点为直线的中点，且，
，且，
又，
，，四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，平面，平面，平面，
又平面，，
在中，，
在中，，，
在中，，，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
则，
与都为锐角，则，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
且，
则，，
与都为锐角，则，，
综上所述：，
故选：A.
5．C
【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解.
【详解】
对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误；
对B，根据图示，直线与异面，B错误；
对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确；
对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误；
故选:C.
6．B
【分析】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.
【详解】解：连接交于，取中点为，连接，
由正方体可知，，又交于，为中点，所以，
即，所以四边形为平行四边形，所以
则直线与所成角为或其补角，
在中，，
所以,
则直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
7．B
【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．
【详解】如图，
∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
故选：B．
8．C
【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断.
【详解】若，则有，故可判断A错误.
若，则或，故B错误.
若，则存在直线与平行，所以，故C正确.
若，则或，故D错误.
故选：C.
9．B
【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B
10．B
【分析】易判断A错误；B项结合面面垂直判定定理可证明正确；C项可能存在；D项易判断错误.
【详解】对选项A，若，满足，则，但不满足，故A错误；
对选项B，如图，若，必存在，则，又，所以，故B正确；
对选项C，若，存在，故C项错误；
对选项D，如图，若，则，故D项错误.
故选：B
11．B
【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.
【详解】连接，，分别是，的中点，
，又由正方体的性质可知，
故就是异面直线与所成的角或所成角的补角
连接，由题可知为正三角形，即
故与所成的角为60°．
故选：B.
12．D
【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决.
【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点，
所以 且，
同理在中， 且，
所以所以四边形为平行四边形，
所以，， ， 四点共面，所以A正确;
在中,由中位线定理得
同理在中，由中位线定理得,
所以由等角定理知，，所以B正确;
在中，由中位线定理得
所以,
所以由等角定理可知，
，,,
所以，所以C正确;
由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误;
故选:D.
13．C
【分析】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.
【详解】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；
对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；
对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，
但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；
对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，
同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.
故选：C.
14．B
【分析】根据题意，作图，结合正方体的性质，证明线线平行，可得答案.
【详解】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确；
因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误；
由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；
连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确．
故选：B.
【点睛】
15．B
【分析】根据异面直线所成角的定义判断.
【详解】因为，，
所以异面直线与所成角即或其补角，
因为异面直线所成角的范围为，
所以异面直线与所成角的大小为.
故选：B.
16．
【分析】作图分析，利用余弦定理及直角三角形的边角关系，确定角度关系式，利用同角三角函数基本关系求得，进而在求得答案．
【详解】解：如图，设点在平面的射影点为，过作于，作于，连接
，
又
，
又，，
．
．
．
．
则点到的距离为.
故答案为：.
17．1或
【分析】取的中点，连接，易知，或60°，在三角形中，由余弦定理即可求出答案.
【详解】取的中点，连接，则，
因为异面直线与所成角大小为60°，
所以或60°，
又因为，所以，
所以在三角形中，由余弦定理可得：
或.
故答案为：1或
18．
【分析】根据异面直线的定义求出的取值范围，再根据余弦函数的性质得到的取值范围.
【详解】解：因为两条异面直线所成的角为，所以，
所以.
故答案为：
19．
【分析】连接，设截面交棱于点，连接、，利用面面平行的性质分析可知点为的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，利用梯形的面积公式可求得截面的面积.
【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，
由勾股定理可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：
（1）直接法：截面的定点在几何体的棱上；
（2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；
（3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
20．
【分析】结合点、线、面的位置关系，作出图形，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，且，，可得直线与平面相交，
所以直线与平面有且仅有个公共点.
故答案为：.
21．证明见解析
【分析】设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证.
【详解】如图，梯形中，因为，
所以与必交于一点，
设交于点，则，
又因为，
所以，
又因为，所以，
所以共点．
22．(1)是，理由见解析
(2)是，理由见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由两平行直线可确定一平面，可得答案；
（2）由不共线三点可确定一平面，可得答案；
（3）如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线.
【详解】（1）是，平行直线确定一平面；
（2）是，不在同一直线上三点确定一平面
（3）如图，设，又平面，
平面，平面，平面，则平面，
平面，故平面与平面的交线为；
如图，设.
因平面，平面，平面，平面，
则平面，平面.故平面与平面的交线为.
23．
【分析】根据三角形中位线性质和余弦定理可用表示出，结合可化简得到结果.
【详解】分别为中点，分别为中点，
，，，，
在中，由余弦定理得：，
即；
同理：在中，由余弦定理得：；
，，
.
24．答案见解析.
【分析】利用立体几何基本定理推得落在面与面的交线上，从而得解.
【详解】因为面，，
所以落在面与面的交线上，
因为面，面，所以面，
因为，，所以，
所以面，故，
又，所以，
由此作出点的位置，如图，