人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为V，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是（ ）
A．4B．8C．D．4或
5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
10．以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．
C．D．
12．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
13．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
15．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．已知平行六面体各棱长均为，在由顶点出发的三条棱上，取，，，则棱锥的体积是该平行六面体体积的______.
17．已知A、B、C是球面上三点，且，，若球心O到平面ABC的距离为，则该球表面积为______.
18．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为6，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子圆锥形部分的高度最小为______.
19．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d，高为h，则圆锥形量杯侧面上刻度V（容积）与液面深度x的函数关系为______.
20．如图，已知正三棱锥的顶点S在一个半球面上，底面的三个顶点 在半球底面的圆周上，若 ，则该三棱锥的体积为______．
三、解答题
21．在万吨水压机上，有四根圆柱形钢柱，高18米，内径0.4米，外径1米（内径和外径均指直径）.求这四根钢柱的质量.（精确到1吨，钢的密度7.9克/立方厘米）.
22．如图，在三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，与AB、AC所成的角均为，且，求该棱柱的体积.
23．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
24．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），求球取出后，容器中水面的高度.
参考答案：
1．D
【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比.
【详解】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L，
被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l，
因为 ,即有,
又因为,所以,即有,且,
而，
故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ，
故选：D
2．D
【分析】设该正四面体的内切球半径为，求出该四面体的体积，利用等体积法求出的值，再利用球体的体积公式可求得结果.
【详解】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.
【详解】由题意知，设球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，
对于球，表面积，
对于圆柱，侧面积，
因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以，
得，则，
又，所以.
故选：A.
4．A
【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可.
【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，
则且，解得，，
所以正四棱柱的体积为.
故选：A.
5．D
【分析】根据侧面积与底面积的关系可以求出半径与母线长的关系，再利用底面周长与侧面弧长相等
可以建立方程求出圆心角.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为侧面积是底面积的2倍，
所以，
又，解得.
故选：D.
6．D
【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，由已知及圆柱的表面积公式结合二次函数性质即可得到表面积的最大值．
【详解】设圆柱底面半径为r，高为h，
因为圆柱的轴截面周长为(C为定值)，所以，
所以圆柱的表面积为
，
当时，圆柱的表面积有最大值为．
故选：D．
7．B
【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
【详解】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故选：B
8．D
【分析】首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积.
【详解】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,
所以球的体积.
故选：D
9．A
【分析】由题意可得，，进而说明平面，再求得球的半径，根据即可求得答案.
【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径
O为中点，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，
∴三棱锥的体积为9，
故选∶A．
10．C
【分析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，从而可求出其表面积
【详解】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，
所以圆锥的表面积为．
故选：.
11．A
【分析】由棱锥与球的体积公式求解，
【详解】由题意得正方形的中心即为外接球球心，设，则，
球的体积为，
而，故正八面体的体积，
得，
故选：A
12．C
【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径
【详解】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：C
13．A
【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可.
【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且，
所以四边形为正方形，
设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，
根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，，
而正方形边长为，所以，
由，解得，
所以.
故选：A.
14．C
【分析】利用等体积转化计算可得答案.
【详解】因为是的中点，
，
，
.
故选：C.
15．C
【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.
【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，
所以拼成的几何体的表面积为.
故选：C.
16．
【分析】设点到直线平面的距离为，点到直线的距离为，利用锥体和柱体的体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
在平行六面体中，该平行六面体的棱长为，
设点到直线平面的距离为，点到直线的距离为，
因为，则点到直线的距离为，
，
因为，故点到平面的距离为，
.
故答案为：.
17．
【分析】如图，根据题意可知BC为平面ABC截球所得小圆的直径，根据球的截面圆性质求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径，
如图，设小圆的半径为r，得，
解得，又球心O到平面ABC的距离，
根据球的截面圆性质，得球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：.
18．12
【分析】利用球的体积和圆锥的体积公式，结合球的体积等于圆锥的体积即可求解.
【详解】解：设圆锥的高为，则圆锥的体积为圆锥，
球的体积为球
由题意可知，圆锥球，即，解得.
所以杯子高度的最小值为.
故答案为: .
19．
【分析】根据圆锥的平行于底面的性质求解.
【详解】由圆锥平行底面的性质知()，
故答案为：．
20．##
【分析】根据题意求出半球的半径，根据棱锥的体积公式即可求得答案。
【详解】设半球的半径为R，
∵底面为正三角形，正三棱锥各顶点都在半球面上，
其中三顶点在底面圆周上，设O为底面三角形的中心，
为正三棱锥的高，连接, ,
∴ ,即，
所以三棱锥的体积为 ，
故答案为：
21．375（吨）
【分析】求出四根钢柱的体积后利用密度公式即可求解.
【详解】解：由题意得：
四根圆柱形钢柱的体积为：，
故根据密度公式可得四根钢柱的质量为：（吨）
22．
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，设为点在底面上的投影，为边上的中点，从而可得即为三棱柱的高，求出，再根据柱体的体积公式即可得解.
【详解】解：因为为正三角形，且，
所以三棱锥为正三棱锥，
设为点在底面上的投影，为边上的中点，
则为的中心，，
在中，，则为正三角形，
所以，
在中，，
即三棱柱的高为，
，
所以三棱柱的体积.
23．(1)
(2)（克）
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.
【详解】（1）该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．
24．
【分析】由题可知，球体取出后，柱体水面下降的高度对应的体积即为球体的体积，根据等量关系计算即可.
【详解】设圆柱体水面下降的高度为，而球体半径为，
则有，即，解得，
则容器中水面的高度为cm.